山东建筑大学概率论作业及答案PPT课件

1、1概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业4（2.12.2）概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业5（2.3） 概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业6（2.82.11） 概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业8（2.9） 第二章自测题第二章自测题 概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业7（2.62.8） 22. 同时掷同时掷3枚质地均匀的硬币，则至多有枚质地均匀的硬币，则至多有1枚硬币正面向上的枚硬币正面向上的概率为概率为_3. 一、填空题一、填空题 1. 常数常数 时，时， （其中（其中 ）可以作为离散型随机变量的概率分布可以作为离散型随机变量的概率分布. 概率论与数理统计作业概率

2、论与数理统计作业4（2.12.2）_b (1)kbpk k1,2,.k )2( PX )2( XP，则，则121594. 0312e3二、选择题二、选择题 1. 设随机变量设随机变量 （ 是任意实数）是任意实数）(B) XX101ppp123450.10.30.30.20.2xxxxx33!neP Xnn1,2,.n 33!neP Xnn0,1,2,.n 是离散型的，则是离散型的，则( )可以成为可以成为的分布律的分布律 (C) (D) (A)D2. 设设 与与 分别为随机变量分别为随机变量 与与 的分布函数，为使的分布函数，为使)(1xF)(2xF1X2X12( )( )( )F xaF x

3、bF x52,53ba32,32ba23,21ba23,21ba是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 ； （B）（C）； （D）（A）（A）4三、计算题三、计算题1. 进行某种试验，已知试验成功的概率为进行某种试验，已知试验成功的概率为3/4，失败的概率为，失败的概率为1/4，以，以 表示首次成功所需试验的次数，试写出表示首次成功所需试验的次数，试写出 的分布律的分布律，并计算出，并计算出 取偶数的概率取偶数的概率.XXX113()( ), 1,2,44kP XkkX1(2 )mP Xm取偶数的概率为取偶数的概率为解解2111

4、3( )44mmX 服从几何分布服从几何分布131414511652将一颗骰子抛掷两次，以将一颗骰子抛掷两次，以 表示两次所得点数之和，以表示两次所得点数之和，以1X2X1X2X表示两次中得到的较小的点数，试分别求表示两次中得到的较小的点数，试分别求 和和的分布律的分布律.123456789101112123456543213636363636363636363636X21234561197531363636363636X解解63.一批零件中有一批零件中有9个合格品与个合格品与3个废品。安装机器时从中任取个废品。安装机器时从中任取1个。个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取如

5、果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布和分布函数，并作出分布函数的图像。出的废品数的概率分布和分布函数，并作出分布函数的图像。 解解设在取得合格品以前已取出的废品数为设在取得合格品以前已取出的废品数为 X0 1 2 3、 、43)0( XP44911941)1( XP220910911241)2( XP220110110111241)3( XPX)(ixP104344922013222090,0,3,01,421( )()12,2221923,2201,3.xxF xP Xxxxxxyo123174. 20个产品中有个产品中有4个次品，个次品，（1）不放回抽样，

6、抽取）不放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布；个产品，求样品中次品数的概率分布；（2）放回抽样，抽取）放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布。个产品，求样品中次品数的概率分布。解解(1)不放回抽样，设随机变量不放回抽样，设随机变量 X 表示样品中次品数表示样品中次品数0 1 2 3 4X 所有可能取的值为 、 、6416620()iiC CP XiCX)(ixP102066. 04508. 00578.0322817. 040031. 0(2)放回抽样，设随机变量放回抽样，设随机变量 Y 表示样品中次品数表示样品中次品数0 16Y所有可能取的值为 、 、 、kkkCkYP

7、 66)54()51()(YP102621. 03932. 00819. 0322458. 040154. 0560015. 00001. 00 1 2 3 4i 、 、0 16k 、 、 、85. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概可以直接出厂；以概率率0.30需进一步调试后以概率需进一步调试后以概率0.80可以出厂，以概率可以出厂，以概率0.20定为定为不合格不能出厂。现该厂新生产了不合格不能出厂。现该厂新生产了 （ ）台仪器（假设）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求各台仪器的生产过程相互独立），求 (1) 全部能出厂的概率

8、全部能出厂的概率 ； (2)其中恰好有两件不能出厂的概率其中恰好有两件不能出厂的概率 ； (3)其中至少有两件不能出厂的概率其中至少有两件不能出厂的概率 . n2n()0.94nP Xn222(2)0.940.06nnP XnC(2)P Xn解解出厂率出厂率0.70.3 0.80.94p 出厂产品数出厂产品数( , )XB n p (3)至少有两件不能出厂的概率至少有两件不能出厂的概率.(1) 全部能出厂的概率全部能出厂的概率(2)恰好有两件不能出厂的概率恰好有两件不能出厂的概率 110.940.060.94nnn 1()(1)P XnP Xn 96. 设离散型随机变量设离散型随机变量X313

9、17 . 0114 . 010)(xxxxxFX的分布函数为的分布函数为求求的分布列。的分布列。XP0.40.30.311310Xcccc167,85,43,21c(1|0)P XXX7已知随机变量已知随机变量 只能取只能取-1，0，1，2四个值，相应概率依次为四个值，相应概率依次为1）确定常数）确定常数2）计算）计算3）求）求的分布函数的分布函数1167854321cccc3716cX)(ixP0137/837/1237/72137/10(1,0)(0)P XXP X825 xFX1 x01x10 x2x037/837/20121 x37/3011的密度函数为的密度函数为概率论与数理统计作业

10、概率论与数理统计作业5（2.3） X01( )2120 xxf xxx其它1.5P X 1.5P X X 其它021112xxkxfk一、填空题一、填空题1.设随机变量设随机变量的密度函数的密度函数，则，则 ；2. 设随机变量设随机变量则则_.875. 0870212以以 表示对表示对 的三次独立重复观察中事件的三次独立重复观察中事件X其他10 02)(xxxfYX21X 2YP3. 设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为出现的次数，则出现的次数，则 .64912011224P Xxdx1(3, )4YB13二二. 函数函数211x 可否是连续随机变量可否是连续随机变量X的分布函数，如

11、果的分布函数，如果X的可能值充满区间：的可能值充满区间： ,（2） 0 , （1）解解（1）10)( F所以所以 函数函数211x 不可能是连续随机变量不可能是连续随机变量X的分布函数的分布函数 ,x（2）0)( F1)0( F且函数单调递增且函数单调递增所以所以 函数函数可以是连续随机变量可以是连续随机变量X的分布函数的分布函数00 111)(2xxxxF141. 随机变量随机变量X的概率密度为的概率密度为 10112xxxAxf当当当当求：（求：（1）系数）系数A ；（；（2）随机变量）随机变量 落在区间落在区间X1 1(, )2 2内的概率；（内的概率；（3）随机变量）随机变量 的分布函

12、数。的分布函数。X解解 dxxf)(1 1A（1） 2121XP 2121211dxx（2）31 xdxxfxF)()(1 x011 x xdxx1211xarcsin121 1 x1三、计算题三、计算题（3）15解解 dxxf)( dxeAx121 A2. 2. （拉普拉斯分布）（拉普拉斯分布）设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为 xAexfx,)(求（求（1）系数）系数 A；（；（2）X 落在区间落在区间(0,1)(0,1)内的概率；内的概率；（3） X 的分布函数。的分布函数。02dxeAx02xAeA2 10XP1021dxex1021xe)1 (211e316. 0 x

13、F xxdxe21 xxdxe21xe21（1）（2）（3）0 x0 x001122xxxe dxe dxxe21116X111000)(2xxAxxxF(0.30.7)PX( )f x3. 设连续型随机变量设连续型随机变量的分布函数为的分布函数为:(1) 求系数求系数 A;(3) 概率密度函数概率密度函数1A4 . 0(2)其它1002xx4) 四次独立试验中有三次恰好在区间四次独立试验中有三次恰好在区间 内取值的概率内取值的概率.(0.3,0.7) 四次独立试验中，四次独立试验中，X 恰好在区间恰好在区间 内取值的次数内取值的次数(0.3,0.7)(4,0.4)YB334(3)0.4 0.

14、6P YC= 0.1536= 0.1536174设设 , 求方程求方程 有实根的概率有实根的概率. 0,6)X(22540 xXxX所求概率为所求概率为)016204(2XXP) 14(XXP或) 1()4(XPXP21解解185. 某种元件的寿命某种元件的寿命 (以小时计以小时计)的概率密度函数的概率密度函数 X( )f x .1000,1000, 0,10002xxx某仪器装有某仪器装有3只这种元件，问仪器在使用的最初只这种元件，问仪器在使用的最初1500小时内没有小时内没有一只元件损坏和只有一只元件损坏的概率各是多少？一只元件损坏和只有一只元件损坏的概率各是多少？一个元件使用一个元件使用

15、1500小时的概率为小时的概率为(1500)pP X215001000dxx32328(0)327P Y解解仪器中仪器中3只元件损坏的个数只元件损坏的个数1(3, )3YB仪器在使用的最初仪器在使用的最初1500小时内没有一只元件损坏的概率小时内没有一只元件损坏的概率仪器在使用的最初仪器在使用的最初1500小时内只有一只元件损坏的概率小时内只有一只元件损坏的概率123124(1)( )( )339P YC19概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业6（2.42.5） X2 . 02 . 02 . 04 . 04321pXXY25X( )Xfx32YX YX xF13 XY yG一、填空题一、填

16、空题 1. 随机变量随机变量的概率分布为的概率分布为则则的概率分布为的概率分布为的概率密度为的概率密度为，若，若，则，则的密度函数为的密度函数为 的分布函数为的分布函数为，则，则的分布函数的分布函数为为 2. 随机变量随机变量 4 . 02 . 02 . 02 . 03113PY3. 设设12()33Xyf1()3yF20解解 1. 设随机变量设随机变量 服从二项分布服从二项分布B（3，0.4 ），求），求X32XXY的概率分布：的概率分布：iiiCiXPX 336 . 04 . 0)( 的概率分布为的概率分布为3,2,1 ,0 iY)(jyP1072. 028. 032XXY二、计算题二、计

17、算题X)(ixP216. 0432. 0064.02288. 0013的概率分布的概率分布21求随机变量求随机变量 的分布律的分布律.0.20.70.1XX4243kpsinYX2已知随机变量已知随机变量 的分布律为的分布律为1/210.30.7Y223. 设随机变量设随机变量 X的概率密度为的概率密度为 000122xxxxf当当当当求随机变量函数求随机变量函数 XYln 的概率密度。的概率密度。解解)(ln)()( yXPyYPyFYyY 的的分分布布函函数数，随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数)(yeXP yedxxf0)(的的概概率率密密度度为为所所以以，随随机机变变量量函函

18、数数 YyyYeefyf )()( 122 yyeeRy 234. 设随机变量设随机变量X服从服从0，2上的均匀分布，求：上的均匀分布，求：2XY 的概率密度函数。的概率密度函数。 解解)()()( 2yXPyYPyFYyY 的的分分布布函函数数，随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数的的概概率率密密度度为为所所以以，随随机机变变量量函函数数 Y其它其它40041)( yyyfY440012100 yyydxy245. 一批产品中有一批产品中有 a 件合格品与件合格品与 b 件次品，每次从这批产品中任取件次品，每次从这批产品中任取一件，取两次，方式为：（一件，取两次，方式为：（1）放回抽

19、样；（）放回抽样；（2）不放回抽样。设）不放回抽样。设随机变量随机变量X及及Y写出上述两种情况下二维随机变量写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y) 的概率分布的概率分布.分别表示第一次及第二次取出的次品数，分别表示第一次及第二次取出的次品数，（1）放回抽样）放回抽样 解解22)(baa 2)(baab 2)(baab 22)(bab ) 1)() 1( babaaa1100XY) 1)( babaab) 1)( babaab) 1)() 1( bababb（2）不放回抽样）不放回抽样 1100XY2501230003/352/35106/3512/352/3521/356/353/350XY

20、(, )X Y6. 盒子里装有盒子里装有3只黑球、只黑球、2只红球、只红球、2只白球，在其中任取只白球，在其中任取4只球，以只球，以表示取到黑球的只数，以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数，求表示取到红球的只数，求的联合分布律的联合分布律.XY432247(,)ijijC C CP Xi YjC 0,1,2,3,i 0,1,2,j 24ij 解解267. 设二维随机变量（设二维随机变量（X, Y）在矩形域）在矩形域dycbxa ,上服从均匀分布，求（上服从均匀分布，求（X, Y）的概率密度。的概率密度。解解（X, Y）的概率密度）的概率密度 其其它它dycbxacdabyxf , 0)(

21、1),(27试求：试求： (1)常数常数 ；(2) ；(3) (1.5)P X 8. 设随机变量设随机变量 的联合密度函数的联合密度函数(, )X Y(6), 02, 24,0, kxyxyf x y其它.k(4)P XY( , )F x y(4) 分布函数分布函数解解2402( , )(6)1f x y dydxdxkxy dy(1)18k (2)(1.5)P X 1.54021(6)8dxxy dy2732(3)(4)P XY22424021(6)8xdxxy dy2328(4) ( , )F x y( , )xyf u v dvdu 02xy或002 24xy，021(6)8xyuv d

22、vdu 222351114481616xyxxx yxy2 24xy，02 4xy，2 4xy，2021(6)8yuv dvdu 4021(6)8xuv dvdu 1251248yy23148xx29概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业7（2.62.8） 1. 随机地掷一颗骰子两次，设随机变量随机地掷一颗骰子两次，设随机变量 X 表示第一次出现的点表示第一次出现的点数数, Y 表示两次出现的点数的最大值，求表示两次出现的点数的最大值，求(X, Y)的概率分布及的概率分布及Y的边缘分布。的边缘分布。YX1234561234561/360000000000000001/361/361/361/

23、361/362/361/361/361/361/361/361/363/361/361/364/361/361/365/366/36解解). 6 , 2 , 1,(,36,361),(jijijiijijYiXP Y123456P1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/3630试问试问 取何值时，取何值时， ， 才相互独立。才相互独立。12312XYYX619118131 ,XY2. 已知随机向量（已知随机向量（，）的联合分布为）的联合分布为31 3121 91 18113131 )91( 3191 92 91 经检验经检验 时，时，X，Y独立独立.92 91 313. 设设

24、(X,Y）的分布函数为：）的分布函数为：)3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF （1）确定常数）确定常数A, B, C；（2）求）求(X,Y）的概率密度；）的概率密度；（3）求边缘分布函数及边缘概率密度）求边缘分布函数及边缘概率密度. （4） X与与Y是否独立是否独立?解解 （1） 1)2)(2(),( CBAF0)2)(2arctan(),( CxBAxF0)3arctan)(2(),( yCBAyF 对任意的对任意的x与与y，有，有,2,12 CBA)0( A32)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF （2） ),(yxf22293421yx xF

25、X),( xF)2arctan2(1x yFY),(yF )3arctan2(1y )(xfX xFX )4(22x )( yfY yFY )9(32y X与与Y的边缘密度函数为：的边缘密度函数为：X的边缘分布：的边缘分布：（3 ） Y的边缘分布函数为：的边缘分布函数为：)()(),(yfxfyxfYX X与与Y独立独立 （4 ） 33(, )X Y22, 1,0, cx yxyf x y其它.cXYXY4. 设随机变量设随机变量 的联合密度函数的联合密度函数试求：试求：(1) 常数常数 ；(2) 与与 的边缘密度函数；的边缘密度函数；(3) 与与 是否相互独立？是否相互独立？xy2xy O1

26、1( , )f x y dydx解解 （1） 211211xdxcx ydy214c dyyxfxfX),()(11x其它其它)1 (82142142122xxydyxx0（2） 34(, )X Y22, 1,0, cx yxyf x y其它.cXYXY4. 设随机变量设随机变量 的联合密度函数的联合密度函数试求：试求：(1) 常数常数 ；(2) 与与 的边缘密度函数；的边缘密度函数；(3) 与与 是否相互独立？是否相互独立？xy2xy O11解解 （2） dxyxfyfY),()(10 y其它其它25227421yydxxyy0( ,)( )()XYfx yfx fyX与与Y不独立不独立 （

27、3） 35其它, 01,1),(22yxyxf)|(|xyfXY5. 设设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为服从单位圆上的均匀分布，概率密度为，求，求 1|, 01|,12),()(2xxxdyyxfxfX (X,Y) 关于关于X的边缘密度为的边缘密度为 当当|x|1时时,有有)(),()|(|xfyxfxyfXXY 21)2(1x ,1212x 2211xyx 取其它值取其它值yxyxx, 011,121222即即 当当|x|1时时,有有)|(|xyfXY解解3611 10 010yydxydxy 其它,010,xxdyx其它(, )X Y1, |, 01,0, yxxf x y其

28、它.|( |)X Yfx y|( | )Y Xfy x6. 设随机变量设随机变量 的联合密度函数的联合密度函数求条件密度函数求条件密度函数 ，( )( , )Xfxf x y dy解解xyO12 ,010,xx其它( )( , )Yfyf x y dx1 101 010yyyy 其它37求条件密度函数求条件密度函数 ，(, )X Y1, |, 01,0, yxxf x y其它.|( |)X Yfx y|( | )Y Xfy x6. 设随机变量设随机变量 的联合密度函数的联合密度函数( )Xfx解解xyO112 ,010,xx其它( )Yfy1 101 010yyyy 其它当当 时，时，1|y|

29、1, |1,1 |( | )0, X Yyxyfx y其它.当当 时，时，10 x|1, |,( | )20, Y Xyxfy xx其它.38求求 的联合密度函数的联合密度函数 以及条件密度函数以及条件密度函数7. 设随机变量设随机变量 与与 相互独立，其密度函数分别为相互独立，其密度函数分别为XY , 0,0, 0.xXexfxx , 0,0, 0.yYeyfyy(, )X Y),(yxf|( |)X Yfx y|(| )Y Xfy x和和(), 0,0,0, xyexyf x y其它.解解当当 时，时，0y|, 0( | )0, 0.xX Yexfx yx， 当当 时，时，0 x|, 0,

30、( | )0, 0.yY Xeyfy xy3901201/81/4011/81/41/4(4) 的分布律的分布律.(3) 和和 的分布律；的分布律；1. 设随机变量设随机变量 的分布律为的分布律为概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业8（2.9） (, )X YXY(1|0)P XY1YX),max(1YXZ 2min(, )ZX YWXY试求：试求：(1) (2) 在在 的条件下，的条件下，的分布律；的分布律；解解(1)(1|0)P XY(1,0)(0)P XYP Y1438231YX(2) 在在 的条件下，的条件下， 的分布律；的分布律；012|1122555X Y4001201/81/

31、4011/81/41/4(4) 的分布律的分布律.(3) 和和 的分布律；的分布律；1. 设随机变量设随机变量 的分布律为的分布律为(, )X YXY(1|0)P XY1YX),max(1YXZ 2min(, )ZX YWXY试求：试求：(1) (2) 在在 的条件下，的条件下，的分布律；的分布律；解解(3)1012152888Z2011122Z012313228888W(4)41且相应的概率依次为且相应的概率依次为 ， ， ， ， 列出列出(X , Y)的概率分的概率分布表布表, 并并 求出的分布律求出的分布律1(0,0), ( 1,1), ( 1, ), (2,0)31613112512X

32、Y2. (X , Y)只取下列数组中的值：只取下列数组中的值：3112500XY1 00310121610120YXZ P2 34 12131026112542ijLL11L13L21L12L22L233. 电子仪器由六个相互独立的部件电子仪器由六个相互独立的部件)3 , 2 , 1; 2 , 1( ji设各个部件的使用寿命设各个部件的使用寿命ijX服从相同的指数分布服从相同的指数分布 e求仪器使用寿命的概率密度。求仪器使用寿命的概率密度。 组成，如图，组成，如图，解解各部件的使用寿命各部件的使用寿命3 , 2 , 1 , 2 , 1 , jiXij的分布函数的分布函数 0 , 0 0 ,1)

33、(xxexFxij先求三个串联组的寿命先求三个串联组的寿命3 , 2 , 1 , iYi的分布函数的分布函数) ,( max21iiiXXY iY的分布函数的分布函数 0 , 0 0 )1()(2yyeyFyi43再求仪器使用寿命再求仪器使用寿命Z 的分布函数的分布函数,),min(321YYYZ Z的分布函数的分布函数 0 , 0 0 ,)1(1 1)(32zzezFzZ进而进而 0 , 0 0 ,)2)(1(6)(23zzeeezfzzzZ44第二章自测题第二章自测题 X5 (1/2)(1,2,)kP XkAk( )f x , 010, axbx其它1/25/8P x a b 8081X2

34、10 xXx 、填空题、填空题1. 设离散型随机变量设离散型随机变量分布律为分布律为 则则A=_2. 已知随机变量已知随机变量X的密度为的密度为,且且,则则_ 3. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为概率为 ，则该射手的命中率为，则该射手的命中率为_4. 若随机变量若随机变量在（在（1，6）上服从均匀分布，则方程）上服从均匀分布，则方程有实根的概率是有实根的概率是_ _51121325445)(xf)(xF)()(xfxfa0()1( )aFaf x dx 01()( )2aFaf x dx)()(aFaF1)(2)(aFaF二、二、 选择题选择题1. 设设X的密度函数为的密度函数为，分布函数为，分布函数为，且，且那么对任意给定的那么对任意给定的都有都有 B） C） D） A）2. 下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 A）21( )1F xx xxFarctan121)()(xF1(1),020,0 xexx( )( )xF xf t dt( )1f t dt B） C） D） ，其中，其中BB46X( )F x( )f xXX( )()F xFx( )()F xFx ( )()f x