中考九年级数学学练测《等腰三角形》讲义

1、 12016怀化等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为 ( )A16 cm B17 cmC20 cm D16 cm或20 cm 2等腰三角形的一个内角是80，则它的顶角的度数是 ( )A80 B80或20C80或50 D20小题热身小题热身CB 3如图231，在ABC中，ABAC，D为BC中点，BAD35，则C的度数为 ( ) A35 B45 C55 D60图图231C 42017丽水等腰三角形的一个内角为100，则顶角的度数是_【解析】 根据三角形的内角和等于180，又等腰三角形的一个内角为100，这个100的内角只可能是顶角，故填100.100 52016遵义如图232，

2、在ABC中，ABBC，ABC110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连结BD，则ABD_度【解析】 在ABC中，ABBC，ABC110，AC35，AB的垂直平分线DE交AC于点D，ADBD，ABDA35.图图23235 6如图233，BD是ABC的角平分线，ABD36，C72，则图中的等腰三角形有_个图图2333 一、必知5 知识点 1等腰三角形的概念和性质定义：有两_相等的三角形是等腰三角形性质：(1)等腰三角形是_，顶角平分线所在直线是它的对称轴；(2)等腰三角形的两个底角相等(简称_)；(3)等腰三角形的顶角_，底边上的_和高线互相重合(简称等腰三角形三线合一)考点管理考点管理边边轴对

3、称图形轴对称图形等边对等角等边对等角平分线平分线中线中线【智慧锦囊】等腰三角形常见结论：(1)等腰三角形两腰上的高线相等；(2)等腰三角形两腰上的中线相等；(3)等腰三角形两底角的平分线相等；(4)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半；(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线；(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高线 2等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形(简称等角对等边)拓展：(1)一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形；(2)一边

4、上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形；(3)一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形 3等边三角形的性质定理：等边三角形的各个角都等于60. 4等边三角形的判定：判定定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角等于60的_三角形是等边三角形 5线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离_ _判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的_ _上等腰等腰相等相等垂直平分垂直平分线线【智慧锦囊】(1)等腰三角形的性质常用于证明角相等、线段相等、直线垂直，其用途较广，题型变化多；(2)已知等腰三角形，常添的辅助线是作底边上的高线(或顶角平分线

5、或底边上的中线)；(3)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线 二、必会2 方法 1分类讨论在等腰三角形中，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰进行讨论，还要注意构造三角形的条件，满足三边关系；同样在条件中没有明确底角和顶角时，也要进行分类讨论 2方程思想与等腰三角形有关的角度计算，常用方程思想，结合三角形内角和等于180来解，是中考的热点考题等腰三角形的性质2017滨州如图234，在ABC中，ABAC，D为BC上一点，且CDAD，ABBD，则B的度数为 ( )A40 B36 C30 D25图图234B【解析】 ABAC，BC，ABBD，BADBDACCAD，CDAD，

6、CCAD，BADCADBC180，5B180，B36.【点悟】根据等腰三角形的性质进行角度计算，常与三角形内角和结合，利用方程求解 12018中考预测如图235，在ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且ACCDBDBE，A50，则CDE的度数为 ( ) A50 B51 C51.5 D52.5图图235D2如图236，在ABC中，已知ABAC，AD平分BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM2MB，AN2NC.求证：DMDN.证明： AM2MB，AN2NC，ABAC，AMAN，AD平分BAC，MADNAD，图图236线段的垂直平分线的性质与判定 2017益阳如图237，在ABC中，ABA

7、C，BAC36，DE是线段AC的垂直平分线，若BEa，AEb，则用含a，b的代数式表示ABC的周长为_图图237【解析解析】 ABAC，BEa，AEb，ACABab，DE是线段是线段AC的垂直平的垂直平分线，分线，AECEb，ECABAC36，ABCACB72，BCEACBECA36，BEC180ABCECB72，CEBCb，ABC的周长为的周长为ABACBC2a3b.2a3b 12016长沙如图238，在ABC中，AC8，BC5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则BCE的周长为_图图23813 22017酒泉如图239，一张三角形纸片ABC，C90，AC8 cm，BC6 c

8、m，现将纸片折叠：使点A与点B重 合，那么折痕长等于_cm.图图239 变式跟进2答图 3在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得锐角为50，则B_ 变式跟进变式跟进3答图答图20或或70等腰三角形的判定 2017连云港如图2310，已知等腰三角形ABC中，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，且ADAE，连结BE，CD，相交于点F.(1)判断ABE与ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.【解析】 (1)根据全等三角形的判定SAS可证明ABE ACD，然后证ABEACD；(2)根据(1)的结论可得ABAC，从而得ABCACB，ABE

9、ACD，图图2310FBCFCB，FBFC，得点A，F均在线段的垂直平分线上，即可证出结论解：(1)ABEACD.理由：ABAC，BAECAD，AEAD，ABE ACD.ABEACD；(2)证明：ABAC，ABCACB.由(1)可知ABEACD，FBCFCB，FBFC.又ABAC，点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC. 1如图2311，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件： EBODCO；BECD；OBOC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定 ABC是等腰三角形(用序号写出所有成立的 情形)? (2)请选择(1)中的

10、一种情形，写出证明过程图图2311 解： (1)； (2)选. 证明：在BOE和COD中， EBODCO，EOBDOC，BECD， BOE COD(AAS)， BOCO，OBCOCB， EBOOBCDCOOCB， 即ABCACB， ABAC，即ABC是等腰三角形 2如图2312，点E，F在BC上，BECF，AD，BC，AF与DE交于点O. (1)求证：ABDC； (2)试判断OEF的形状，并说明理由 【解析】 (1)证明ABF DCE； (2)由等角对等边可判断其形状图图2312解：(1)证明：BECF，BEEFCFEF，即BFCE.又AD，BC，ABF DCE(AAS)，ABDC；(2)OE

11、F为等腰三角形理由：ABF DCE，AFBDEC，OEOF，OEF为等腰三角形【点悟】判定等腰三角形的一般方法是“两边相等”和“等角对等边”这两种，这就涉及证明线段相等或角相等的问题，结合三角形全等可以解决等边三角形的性质与判定 2018中考预测如图2313，ABC是等边三角形，D，E分别是AB，BC边上的动点(与点A，B，C不重合)，并始终保持BDCE.(1)当点D，E运动到如图所示的位置时，求证：CDAE.(2)把图中的ACE绕着A点顺时针旋转60到ABF的位置(如图)，分别连结DF，EF.找出图中所有的等边三角形(ABC除外)，并对其中一个给予证明 图2313 证明： (1)ABC是等边

12、三角形， BCCA，BECA60， 又BDCE，BCD CAE(SAS)， CDAE；(2)图中有2个等边三角形，分别是BDF，AFE.由题意知，ACE ABF，BFCE，ABFECA60，又BDCE，BDCEBF，BDF是等边三角形，AFAE，FAE60，AFE是等边三角形【点悟】在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立在对一些几何图形的基本性质(如本题是等边三角形的基本性质)的掌握之上，借助这些图形的特性，可以启发我们寻找解答问题的思路和方法 如图2314，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F. (1)求

13、F的度数； (2)若CD2，求DF的长 解： (1)ABC为等边三角形， ABACB60， DEAB，EDFB60， EFDE，DEF90， F180DEFEDF30；图图2314 (2)DEAB，DECA60. DEF90，CEF30F，CECF， 又EDFCEDACB60， CDE为等边三角形，CDCE， DFDCCFDCCE2CD， CD2，DF4. 必明3 易错点 1等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形 2解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形，在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅助线的语句不能限制太多，如“作一边上的高线并且要平分这条边”、“作一个角的平分线并且垂直于对边”等，这些都是不正确的 3在解有关等腰三角形的问题时，不要总认为腰大于底，实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形分类讨论防漏解 1已知等腰三角形的一个内角为70角，则另外两个内角的度数是 ()A55，55 B70，40C55，55或70，40 D以上都不对【错解】A或B【错因】没有分情况讨论，70角有可能是顶角或底角【正解】C 22017武汉如图2315，在RtABC中，C90，以ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ()A【错解】A，B或D图图2315【错因】没有考