高中数学典型例题解析(第一章集合与常用逻辑用语)

1、第一章集合与常用逻辑用语§ 1.1 集合的概念与运算一、知识导学1 .集合：一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合2 .元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元3 .子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素假设a皂A那么awB,那么称集合A为集合B的子集,记为AJB或B3A;如果AEB,并且A/B,这时集合A称为集合B的真子集,记为A建B或B#A.4 .集合的相等：如果集合A、B同时满足A三B、B=A,那么A=B.5 .补集：设ACS,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记为CsA.6 .全集：如果集合S包含所要研究的各个集合,这

2、时S可以看做一个全集,全集通常记作U.7 .交集：一般地,由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A-B.8 .并集：一般地,由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A一B.9 .空集：不含任何元素的集合称为空集,记作中.10 .有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11 .无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12 .集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法Venn图.13 .常用数集的记法：自然数集记作N,正整数集记作N+或N*,整数集记作Z,有理数集记作Q实数集记作R二、疑难知识导析1 .符号三,6,=,*,=,表示集合与集合之间的

3、关系,其中“三包括“箓和“=两种情况,同样“二包括“节和“=两种情况.符号三,更表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2 .在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定性,在表示一个集合时,要特别注意它的“互异性、“无序性3 .在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质4 .对由条件给出的集合要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围.用集合表示不等式组的解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集,但由于不好用文氏图形表示,容易被无视,如在关系式6U刃中,B=G易漏掉的情况5 .假设集合中的元素是用坐标形式表示的,要

4、注意满足条件的点构成的图形是什么,用数形结合法解之.6 .假设集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8 .要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用9 .含有n个元素的集合的所有子集个数为：2n,所有真子集个数为：2n-1三、经典例题导讲例1集合M=y|y=x2+1,xF,N=y|y=x+1,xCF,那么MAN=()A.(0,1),(1,2)B.(0,1),(1,2)C.y|y=1,或y=2D.y|y>1-V=x2+1/n'x=0x=1错解：求MAN

5、及解方程组,得,或,.选By=x+1y=1y=2错因：在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而无视了集合的元素是什么.事实上MN的元素是数而不是实数对(x,y),因此MN是数集而不是点集,MN分别表示函数y=x2+1(xCR),y=x+1(xCF)的值域,求MAN即求两函数值域的交集.正解：M=y|y=x2+1,xCR=y|y>1,N=y|y=x+1,xCF=y|y6R.MnN=y|y>1ny|(yR)=y|y>1,.应选D.注：集合是由元素构成的,熟悉集合要从熟悉元素开始,要注意区分x|y=x2+1、y|y=x2+1,xCR、(x,y)|y=x2+1,xR,这

6、三个集合是不同的.例2A=x|x23x+2=0,B=x|ax2=0且AUB=A求实数a组成的集合C.错解：由x23x+2=0得x=1或2.当x=1时,a=2,当x=2时,a=1.错因：上述解答只注意了B为非空集合,实际上,B$时,仍满足AUB=A当a=0时,B=4),符合题设,应补上,故正确答案为C=0,1,2.正解：AUB=A,BUA又A=x|x23x+2=0=1,2B=力或(址2)/.C=0,1,2例3mA,nB,且集合A=(x|x=2a,awZ),Byx|x=2a+1,awZ),又C=1x|x=4a+1,awZ,那么有：()A.mm三AB.mmwbC.n+n=CD.n+n不属于A,B,C

7、中任意一个错解：.mA,n=2a,awZ,同理n=2a+1,awZ,n+n=4a+1,应选C错因是上述解法缩小了n+n的取值范围.正解：/mA,.设m=2a1,a1wZ,又nB,.n=2a2+1,a?wZ,n+n=2(a1+a2)+1,而21+22Z,n+neB,应选B.例4集合A=x|x23x-10<0,集合B=x|p+1<x<2p-1,假设声A,求实数p的取值范围.错解：由x23x10WO得一2WxW5.,-2<p+1欲使B=A,只须333-3<p<32p-1<5p的取值范围是一3<p<3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合

8、的子集这一结论,即BR时,符合题设.正解：当Bw中时,即p+1W2p1=p>2.由B=A得：2Wp+1且2p1W5.由一3wpW3.2<p<3当B=中时,即p+1>2p1=pv2.由、得：p<3.点评：从以上解容许看到：解决有关AAB=*、AUB=*,A三B等集合问题易无视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.例5集合A=a,a+b,a+2b,B=a,ac,ac2.假设A=B,求c的值.分析：要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素确实定性、互异性,无序性建立关系式.解：分两种情况进

9、行讨论.(1)假设a+b=ac且a+2b=ac：消去b得：a+ac22ac=0,a=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故aw0.c22c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解.(2)假设a+b=ac2且a+2b=ac,消去b得：2ac2aca=0,aw0,2cc1=0,1即(c1)(2c+1)=0,又cw1,故c=.2点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验.例6设A是实数集,满足假设aCA,那么1WA,a=1且1".1-a假设2CA,那么A中至少还有几个元素求出这几个元素.A能否为单元素集合请说明理由.假设aC

10、A,证实：11CA.a求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：2CA3一1CAnCA32CA21A中至少还有两个兀素：一1和一2,E,、,一+1如果A为单兀素集合,那么a=1 -a即a2-a1=0该方程无实数解,故在实数范围内,A不可能是单元素集(3)aCA=A=CA=匚A,即1CA1-a.11-a-1a1由知aCA时,1SA,11CA.现在证实a,1-1,1三数互不相等1 -aaa1-a假设a=-,即a2-a+1=0,方程无解,.aw-1-a1-a假设a=1,即a2-a+1=0,方程无解,a51aa假设11=-,即a2-a+1=0,方程无解,1二w.a1-aa1-a综上所述,集合A中至少有

11、三个不同的元素.点评：的证实中要说明三个数互不相等,否那么证实欠严谨例7设集合A=a|a=n2+1,ncn+,集合B=b|b=k2-4k+5,kcn+,试证:9B.证实：任设aea,2 +.那么a=n2+1=(n+2)4(n+2)+5(nen),nCN*,n+2cN*aCB故启三E显然,1wA=g|a=n2+1,nWN),而由B=b|b=k2-4k+5,kcn+=b|b=(k-2)2+1,kcn+知1eB,于是awb由、得庶B.点评：1判定集合间的关系,其根本方法是归结为判定元素与集合之间关系.2判定两集合相等,主要是根据集合相等的定义.四、典型习题导练1 .集合A=x|x2-3x-10<

12、;0,xCZ,B=x|2x2x6>0,xCZ,贝UAAB的非空真子集的个数为A.16B.14C.15D.322 .数集1,2,x23中的x不能取的数值的集合是A.2,-2B.-2,-$5c±2,±V5D."5,3 .假设P=y|y=x2,x6R,Q=y|y=x2+1,xCR,贝UPAQ等于()A.PB.QC.*D.不知道4 .假设P=y|y=x2,x£R,Q=(x,y)|y=x2,x£R,那么必有()A.PAQ=*B.p£QC.P=QD.pMQ1.25 .右集合Mkx|<1,N=x|xWx,那么MN=()xAx|-1<

13、;x：1Bx|0<x<1C.x|-1:二x:二0D.06 .集合A=x|x2+(m+2)x+1=0,x£R,假设A<nR+=4>,那么实数m的取值范围是7 .设awR,函数f(x)=ax22x2a.假设f(x)>0的解集为a,B=x|1<x<3,AnB#e,求实数a的取值范围.8 .集合A=&|x2+ax+12b=0和b=&|x2一ax+b=01满足CiAnB=fc,AnCiB=U,I=R,求实数a,b的值.1 1.2.常用逻辑用语一、知识导学1 .逻辑联结词：“且、“或、“非分别用符号“A“V“表示.2 .命题：能够判断真假

14、的陈述句.3 .简单命题：不含逻辑联结词的命题4 .复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题,复合命题的根本形式：p或q；p且q；非p5 .四种命题的构成：原命题：假设p那么q；逆命题：假设q那么p；否命题：假设p那么rq;逆否命题：假设"iq那么-Ip.6 .原命题与逆否命题同真同假,是等价命题,即“假设p那么q"Q"假设q那么p.7 .反证法：欲证“假设p那么q,从“非q出发,导出矛盾,从而知“假设p那么非q为假,即“假设p那么q为真.8 .充分条件与必要条件：p=q:p是q的充分条件；q是p的必要条件；p台q:p是q的充要条件.9 .常用的全称量词：“对所

15、有的、“对任意一个“对一切“对每一个“任给等；并用符号“V表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10 .常用的存在量词：“存在一个、“至少有一个、“有些、“有一个、“有的、“对某个；并用符号“三表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析2 .基此题型及其方法(1)由给定的复合命题指出它的形式及其构成；(2)给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题,并能利用真值表判断复合命题的真假；(3)给定命题,能写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并能运用四种命题的相互关系,特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否认是不同的.(4)判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方

16、法：利用定义(5)证实p的充要条件是q;方法：分别证实充分性和必要性(6)反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证实命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证实方法,是间接证法之一注：常见关键词的否认：关键词是都是(全是)>(<)至少有一个至多什-个任意存在否认不是不都是(全是)<(之)一个也没有至少有两个存在任意2.全称命题与特称命题的关系:全称命题p:vxM,p(x),它的否认p:mxwM,->p(x);特称命题p：三xwM,p(x),它的否认p:vxwM,-1P(x)；即全称命题的否认是特称命题,特称命题的否认是全称命题.否认一个全称命题可以通过

17、“举反例来说明三、经典例题导讲例1把命题“全等三角形一定相似写成“假设p那么q的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：假设两个三角形全等,那么它们一定相似逆命题：假设两个三角形相似,那么它们全等.否命题：假设两个三角形不一定全等,那么它们不一定相似逆否命题：假设两个三角形不一定相似,那么它们不一定全等错因：对“一定的否认把握不准,“一定的否认“一定不,在逻辑知识中求否认相当于求补集,而“不一定含有“一定的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比拟,注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：假设两个三角形不全等,那么它们不相似逆否命题：假设两个三

18、角形不相似,那么它们不全等例2将以下命题改写成“假设p那么q的形式,并写出否命题.a>o时,函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.错解：原命题改为：假设a>o时,x的值增加,那么函数y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件,将“随着看作结论,而x的值增加,y的值也增加看作研究的对象,那么原命题改为假设a>o时,那么函数y=ax+b的值随着x的值增加而增加,其否命题为假设aEo时,那么函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加两个字上,将x值的增加当做条件,又不把a>o看作前提,就变成两个条件的命

19、题,但写否命题时又没按两个条件的规那么写,所以就错了正解：原命题改为：a>o时,假设x的值增加,那么函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：a>o时,假设x的值不增加,那么函数y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当x的值增加时,假设a>o,那么函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时,假设a<o,那么函数y=ax+b的值不增加.例3h>0,设命题甲为：两个实数a、b满足a-b<2h,命题乙为：两个实数a、b满足a1|<h且b1|<h,那么A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既

20、不充分也不必要条件错解：a-b<2h=(a1)(b-1)<2h=h+h=|a1|<h,|b11<h故此题应选C.错因：1对充分、必要、充要条件的概念分不清,无从判断,凭猜想产生错误;2不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误"0a-1<hf_h<a_1<h正解：由于|,所以,|b-1<h-h<b-1<h两式相减得-2h；ab：二2h故ab<2h即由命题甲成立推出命题乙成立,所以甲是乙的必要条件由于(|a-2<h|b-2<h同理也可得a-b<2h因此,命题甲成立不能确定命题乙一定成立,所以甲不是乙的

21、充分条件,故应选B.例4命题甲：a+b¥4,命题乙：a#1且b#3,那么命题甲是命题乙的.错解：由逆否命题与原命题同真同假知,假设a=1且b=3那么a+b=4成立,所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因：对命题的否认不正确.a01且b#3的否认是a=1或b=3.正解：当a+b¥4时,可选取a=1,b=5,故此时a#1且b*3不成立丫a=1.同样,a#1,且b03时,可选取a=2,b=2,a+b=4,故此时a+b=4.因此,甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a#1且b#3为真时,必须a#1,b#3同时成立.例5p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么

22、p是q成立的A.充分不必'要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：此题考查简易逻辑知识.由于p=r=s=q但r成立不能推出p成立,所以p=q,但q成立不能推出p成立,所以选A解：选A例6关于x的一元二次方程mCZ222mx-4x+4=0x4m肝4m4m-5=0求方程和都有整数解的充要条件.解：方程有实根的充要条件是=164M4xm之0,解得m<1.5万程有实根的充要条件是A=16m2-44m2-4m-5>0,解得m215.-WmW1.而m=Z,故m=-1或m=0或m=1.4当m=1时,方程无整数解.当m=0时,无整数解；当m=1时,都有整数.从而都

23、有整数解m=1.反之,m=1都有整数解.,都有整数解的充要条件是m=1.例7用反证法证实：假设a、b、cR,且x=a22b+1,y=b22c+1,2z=c2a+1,那么x、y、z中至少有一个不小于0.证实：假设x、y、z均小于0,即：2x=a-2b+1<0-；一2y=b-2c+1<0；2z=c-2a+1<0；+得x+y+z=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2<0,这与(a1)2+(b1)2+(c-1)2之0矛盾,那么假设不成立,x>y、z中至少有一个不小于0.例8命题p:方程x2+m杆1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.

24、假设"p或q为真,“p且q为假,求m的取值范围.分析：“p或q为真,那么命题p、q至少有一个为真,“p且q为假,那么命题p、q至少有一为假,因此,两命题p、q应一真一假,即命题p为真,命题q为假或命题p为假,命题q为真.解：假设方程x2+m杆1=0有两不等的负根,那么-4.一,r解得m>2,即命题p：2假设方程4x2+4(mr2)x+1=0无实根,那么A=16(mr2)216=16(n24m3)<0解得：1VRK3.即q：1<m<3.因“p或q为真,所以p、q至少有一为真,又“p且q为假,所以命题p、q至少有一为假,或;m'21<m<3因此,命题p、q应一真一假,即命题p为真,命题