“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

1、2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间2018年3月18日9:0011：00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.若关于x的方程4x24mx3m10有两个相等的实数根，则m34m24m2的值为（）A.3B.2C.1D.12 .如图，ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n（mn）。坐标原点。为AD的中点，A、D、E在y轴上。若二次函数ax2的图像过C、F两点,A.向1B.应1C.2731D.2421（第2题图）（第

2、3题图）（第4题图）1,BC ,过D、G的直线父23 .如图，G为4ABC的重心，点D在CB延长线上，且BDAEAC于点E，则记（）D.4.如图，H、O分别为4ABC的垂心、外心,BAC45,若ABC外接圆的半径为2,贝UAH()A.2x/3B,22C,4D.V315 .满足方程x24xy19y2151的整数对屋，丫）有（）A.0对B.2对C.4对D.6对二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6 .已知a,b,c为正整数，且abc。若bc,ac,ab是三个连续正整数的平方，则a2b2c2的最小值为。7 .如图，ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上。若函数y4（x0）x8

3、.如图，ABC是边长为8的正三角形，D为AB边上一点，OOi为AACD的内切圆，。2为4CDB的边DB上的旁切圆。若OOi、。2的半径都是r,则r。9 .若实数x满足x2x3x2018,则4x。其中x表示不超过x的最大整数。10 .网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含

4、矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这n个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为。三、解答题(共4题，每小题20分，共80分)11 .已知二次函数y2x24bxc的图像交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点，且x2 &x1x2262,。右函数y 2x 4bx c在b51 x b 3上的最小值为6,求b, c的值。12 .如图，在圆内接四边形ABCD中，ABAD,M是BC边的中点，点N在对角线BD上，且满足BANCAM。(第12题图)求证：MN/AC。13已知关于x的方程x2kxk99990的两根都是

5、素数，求k的值。14.一个由36个单位小方格组成的66的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求n的最大值。2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间2018年3月18日9:0011：00满分150分一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分)。每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)1 .若关于x的方程4x24mx3m10有两个相等的实数根，则m34m24m2的值为()A.3B.2C.1D.1【答案】A【解答】依题意，16m2

6、16(3m1)0。因此，m23m10。.22m3m1,m3m1。.322_2_._m4m4m2m(3m1)4m4m2m3m2123。2 .如图，ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n(mn)。坐标原点。为AD的中点，A、D、E在y轴上。若二次函数yax2的图像过C、F两点，则()mA.731B,721C.2731D.2421【答案】B【解答】依题意，点C坐标为(m,m),点F的坐标为2由二次函数m 2一 am2yax2的图像过C、F两点，得（第2题图）,消去a,得n22mnm20。m2na（n）2（口）2210,解得正1（舍负根）。mmmn213.如图，G为4ABC的重心，点D在CB延

7、长线上，且BD1,-BC,过D、G的直线父2AC于点E,则空（）ACA.B.C.D.【答案】【解答】如图，连AG,并延长交BC于点F1VG为4ABC的重心，且BD-BC,2一AG2F为BC中点，且-,DBBFFCGF1过点F作FM/DE,交AC于点M。贝(JCMCF1生AG2CECD3?EMGF1设CMk,WJCE3k,EM2k,AE4k。AC7k,AEAC4k47k7另解：如图，连AG,并延长交BC于点F1G为4ABC的重心，且BD1BC,2F为BC中点，且旭2,DBBFFCGF1FD2AG2DC3'GF1一AFC中,利用梅涅劳斯定理，得DCCA住2CE2(CE31,-。3EA1EA

8、4AE4-oAC74.如图，H、O分别为4ABC的垂心、外心,BAC45,若ABC外接圆的半径为（第4题图）2,贝UAH（）A.2点B.2金C.4D.731【答案】B【解答】如图，连结BO并延长交。于点D,连HC、DA。V。为4ABC的外心，BD为。直径，DCBC,DAAB。又H为zABC的垂心，AHBC,CHAB0AH/DC,CH/DA。一四边形AHCD为平行四边形，AHDC。VBAC45,4ABC外接圆的半径为2,BDCBAC45,BD4。AHDC2艮5.满足方程x24xy19y2151的整数对屋，丫）有（）A.0对B.2对C.4对D.6对【答案】C【解答】方程x24xy19y2151化为

9、（x2y）215115y2。依题意，A15115y2为完全平方数。由A15115y20,得y2包。结合y为整数，得y21510。故，y20,1,4,9。当y2当y2当y20时，A15115y2151,不是完全平方数1时，A15115y2136,不是完全平方数,4时，A15115y291,不是完全平方数。当y29时，A15115y21642。、八y29y3方程化为y2，即2，或(x2y)216(x6)216y3(x6)216y3，或y3x64x6x10x2x，或，或y3y3y2,或x103y3满足方程的整数对有（103)、(2,3)、3)、(10,3),共4对。(第7题答题图)、填空题(共5小题

10、，每小题7分，共35分)6.已知a,b,c为正整数，且abc。若bc,ac,ab是三个连续正整数的平方，则a2b2c2的最小值为。【答案】1297【解答】依题意，设bc(n1)2,则acn2,ab(n1)2,n为正整数，且n12(abc)(n1)2n2(n1)23n22,可见n为偶数，且abc3n2。22A22An4n,n2n4na,b,co222可见，n6,且当n增大时，a2b2c2的值也随之增大。又n6时，a30,b19,c6符合要求。a2b2c2的最小值为302192621297。7.如图，ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上。若函数y-(x0)x的图像过D、E两点，则矩

11、形ABCD的面积为【答案】8【解答】设口牧口川口九E(Xe,yE),则XdYdXeYe4。作EFAB于F,由E为AC中点，得F为AB中点，且1 -1EF-BC-AD02 2yD2yE。结合XeyEXdyDXd2yE,得XE2xD°OAAF,AB2AF20A2xD。矩形ABCD的面积SABAD2xDyD8。8.如图，ABC是边长为8的正三角形，D为AB边上一点，OO1为4ACD的内切圆,。2为4CDB的边DB上的旁切圆。若OOi、。2的半径都是r,【答案】【解答】于点G、H、.3如图，设OO1切4ACD的三边AC、CD、DA依次E,边DB切。2于点F,CD、CB的延长线切。2于点M、N

12、则由。O1、。2的半径都是r,ABC为正三角形，以及切线长性质定理，得AGAE.3BFBNr30CMCN833r3EFHMCMCH(8-3r)3(8届433rABAE.3一r38.3r3（第8题图）9.若实数x满足x2x3x2018,则4xo其中x表示不超过x的最大整数。【答案】1346【解答】设xam,则x2x3xa其中a为整数，0m1。2(am)3(am)6a2m3mo数。一1.当0m一时，2m3,12.当一m一时，2m23对任意实数x,x201863362x336m,其中4x4(336m)3m1°；当3m二时,22m3m011;3m2x2;1时，2m3m123。3x2x的值具有

13、形式:3x2018。6k,6k2,6k3,k为整3364m134421346。10.网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域(这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分)。已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上(含矩形的顶点)；同时，任何三个顶点不共线(除矩形边界上的顶点共线外)。若围成这n个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边

14、形个数的最大值为。9【解答】设这n个凸多边形中，有k3个三角形，k4个四边形，k5个五边形，km个m边形。则这n个凸多边形的内角和为k3(32)180k4(42)180k5(52)180Lkm(m2)180。另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为360。矩形边界线段内(不含矩形顶点)有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为180。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，具和为90。因此，这n个凸多边形的内角和为63608180490。k3(32)180k4(42)180k5(52)180Lkm(m2)18063608180490。k32

15、k43k5L(m2)km22。再考虑这n个凸多边形的边数。由于每个凸m边形有m条边，因此，这n个凸多边形的边数和为3k34k45k5Lmkm另一方面，由条件知，在矩形内部的18条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此,这n个凸多边形的边数和为1821248。3k34k45k5Lmkm48。由、，消去k3,得k42k5L(m3)km9。k49。k4的最大值为9,即这n个凸多边形中，最多有9个又如图所示的划分符合要求，此时，k34,k49四边形11 .已知二次函数y 2x2X2XX1x226若函数y2x24bx c

16、在b 1 x b 3上的最小值为 6,求b, c的值。【解答】函数y 2x2 4bx c的图像交x轴于A(x ,0)、B(x2,0)两点,2xi , x2是方程2x 4bx c 0的两个头根xiX22b , x1 x22xi2x222(xi x2)2x2 (xi x2)*2Kx2265，4 b2c226210b 9c。10分三、解答题(共4题，每小题20分，共80分)4bxc的图像交x轴于A(,0)、B(X2,0)两点，且y2x24bxc2(xb)2c2b2,在b1xb3上的最小值为6。xb1时，y6。2c2b2615分由、，解得c10,b3。b3,c10。20分12.如图，在圆内接四边形AB

17、CD中，ABAD,M是BC边的中点，点N在对角线BD上，且满足BANCAM。求证：MN/AC。【解答】VABAD,ADBABD。ACMADBABDABN。又CAMBAN,AABNACM。ABBN不二。ACCM5分设AC、BD相交于点E,BAECAB,ABEACB。ABEszaCB。ABBE0ACCB10分又M为BC边中点,CM结合ABACBNCMBNoBM结合,/日BE得CBABACBNBMBMBCBNobe15分MN/EC,即MN/AC。20分13.已知关于x的方程x2kxk99990的两根都是素数，求k的值。【解答】设方程x2kxk99990的两根分别为p、q,则由韦达定理，知pqk,pq

18、pq9999。pqk9999(p1)(q1)1000024545分显然p,q都不等于2,因此，p,q都是奇数。10分UU2254。22T中有一个数为奇数，不妨设上1 , 一 ,为奇数，则25m，其中 m 1, 2, 3, 4。1时,2时,3时,9,不是素数，舍去；49,不是素数，舍去；249 ,不是素数，舍去。4时,1249是素数。此时，2也是素数。1249 ,q 7 , k p q 1256 ,符合要求。15分54,不妨设p当P_J45054时,3,2499q不是素数，舍去;当P_J45119499p , q都是素数;当P_J45252时,99p, q都不是素数，舍去;19综上所述,q 499 , kk 518,或 kq 518,符合要求