专升本高数复习资料二

1、第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 函数的概念 . 函数的定义: (), 定义域: (), 值域: ().分段函数: .隐函数: () .反函数: () ()()定理:如果函数: (), (), () 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性.函数的单调性: ()、 当时,若()(),则称()在内单调增加( )；若()(),则称()在内单调减少( )；若()(),则称()在内严格单调增加( )；若()(),则称()在内严格单调减少( )。 .函数的奇偶性：()关于原点对称 偶函数：()() 奇函数：()() .函数

2、的周期性： 周期函数：()(), (，) 周期：最小的正数 .函数的有界性： () , () 基本初等函数.常数函数： ， (为常数).幂函数： , (为实数).指数函数： , (、).对数函数： ,(、).三角函数： , .反三角函数： , 复合函数和初等函数1. 复合函数： () , ()() , .初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。二、 例题分析例1. 求下列函数的定义域：解:对于有: 解得: ±对于有 的定义域: 解: 由得： ，解得: 由 得： , 的定义域: 例.设()的定义域为（，）则() 的

3、定义域为解： 即() 的定义域为: (),应选.例.下列()及()是相同函数的为解：. ， 应选例.求，的反函数及其定义域。解：，在()内，函数是严格单调的反函数：例.设则其反函数 。解： 在.内是严格单调增加的 又 取 即： （应填）例.设函数和是定义在同一区间上的两个偶函数，则为 函数。解：设 是偶函数（应填“偶”）例. 判断的奇偶性。解: 为奇函数 例.设 ，则的周期为 。解法一: 设的周期为,而 解法二： (应填)例. 指出函数那是由些简 单函数复合而成的？解：令 ， 则 ， 则 ， 则 是由：，复合而成的。例. 已知,则等于解: 或 （应选）例. 已知求的表达式。解:解得 §

4、; 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限: 称数列以常数为极限;或称数列收敛于.定理: 若的极限存在必定有界.函数的极限： 当时，的极限：当时，的极限： 左极限： 右极限：函数极限存的充要条件：定理：无穷大量和无穷小量1 无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。 再某个变化过程是指：2 无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。3 无穷大量及无穷小量的关系： 定理：4 无穷小量的比较： 若,则称是比较高阶的无穷小量； 若 （为常数），则称及同阶的无穷小量； 若，则称及是等价的无穷小量，记作：； 若,则称是比较低阶的无穷小量。定理：若： 则：两面夹定理1 数列极限存在的判定准则： 设：

5、（、） 且： 则： 2 函数极限存在的判定准则： 设：对于点的某个邻域内的一切点 （点除外）有： 且： 则：极限的运算规则 若： 则： 推论：两个重要极限 或 二、 例题分析例1 求数列的极限。解： 例计算 解：误解：例3 下列极限存在的是解：. 不存在. 应选 不存在例.当时，及是等价无穷小量， 则 。解： (应填)例.计算 (,)解: 又: 由两面夹定理可得:例.计算下列极限解: 解: 解法一: 共轭法解法二： 变量替换法 设： 当时， 解法一：共轭法解法二：变量替换法 设： 当时，解法一：解法二：解：设： 当时，结论：解法一： 又 解法二：解法三：应用罗必塔法则解法一：解法二： 设当时，

6、解法三：例.当时，若及为等价无穷小量，则必有 。解： （应填）结论：例.若，则 。解： （应填）例.已知，求的值。解：由当时，原式成立。例.证明：当时，及是等价无穷小量。证：只要证明 成立，即可。 设： 当时，结论：§ 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在处连续：在的邻域内有定义， 左连续： 右连续：2. 函数在处连续的必要条件： 定理：在处连续在处极限存在3. 函数在处连续的充要条件： 定理：4. 函数在上连续： 在上每一点都连续。 在端点和连续是指： 左端点右连续； 右端点左连续。5. 函数的间断点：若在处不连续，则为的间断点。间断点有三种情况： 在处无定义； 不存在；在

7、处有定义，且存在， 但。 两类间断点的判断： 第一类间断点：特点：和都存在。可去间断点：存在，但，或在处无定义。 第二类间断点：特点：和至少有一个为， 或振荡不存在。无穷间断点：和至少有一个为函数在处连续的性质1. 连续函数的四则运算： 设，2. 复合函数的连续性： 则：3. 反函数的连续性：函数在上连续的性质 .最大值及最小值定理：在上连续在上一定存在最大值及最小值。2. 有界定理： 在上连续在上一定有界。 .介值定理： 在上连续在内至少存在一点 ，使得：， 其中： 推论： 在上连续，且及异号 在内至少存在一点，使得：。 .初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。三、 例题分析

8、例1. 分段函数，在处是否连续？解： 由函数连续的充要条件定理可知:在 处连续。例设函数，试确定常数的值，使在定义域内连续。解：的定义域为： 当时， 是初等函数，在有定义不论为何值，在内都是连续的。 当时， 是初等函数，在有定义不论为何值， 在内都是连续的。 当时，（无穷小量乘以有界函数还等于无穷小量）只有当时，在处连续，只有当时，在定义域内连续。例证明方程至少有一个根在及之间。证：设， 在 上连续 满足介值定理推论的条件。由定理可得：在内至少存在一点，使得； 即：在及之间至少有一个根。例4 讨论函数的间断点。解：的定义域为： 在处无定义； 是函数的间断点。若补充定义：，则函数在连续； 函数的

9、可去间断点。例.讨论函数的间断点。解： 的定义域为： 当时，函数无定义， 是函数的间断点； 若补充定义：，则函数在处连续； 是可去间断点。 是无穷间断点。第二章 一元函数微分学§ 导数及微分一、主要内容导数的概念 导数：在的某个邻域内有定义， 左导数：右导数： 定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在； 则： （或：）.函数可导的必要条件： 定理：在处可导在处连续 . 函数可导的充要条件： 定理：存在， 且存在。 .导函数： 在内处处可导。 .导数的几何性质： 是曲线上点 处切线的斜率。 求导法则 .基本求导公式： .导数的四则运算： .复合函数的导数： ，或 注意及的区

10、别： 表示复合函数对自变量求导； 表示复合函数对中间变量求导。.高阶导数： 函数的阶导数等于其导数的导数。微分的概念 .微分：在的某个邻域内有定义， 其中：及无关，是比较高 阶的无穷小量，即： 则称在处可微，记作： .导数及微分的等价关系： 定理：在处可微在处可导，且： .微分形式不变性： 不论是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。二、 例题分析例.设存在，且， 则等于解： （应选）例设其中在处连续；求。解： 误解： 结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说可导，所以不一定存在。例设在处可导，且，求：解：设 当时，例设是可导的奇函数，且， 则等于：解： (应选)（结论：可导

11、奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数。）例设在处是否可导？解法一：在处连续在处可导。解法二：在处连续当时，在处可导。例设 求的值，使处处可导。解：的定义域： 当时， 是初等函数，在内有定义， 不论和为何值，在内连续； 当时， 是初等函数，在内有定义， 不论和为何值，在内连续； 只有当时，在处连续； 当时，处处连续； 当时， 只有当时，在处可导； 当，处处可导。例求下列函数的导数解：解：解： （ 为常数）解法一：解法二: 解法一：解法二:设解法一：解法二:设解：（对数法）解法一：（对数法）解法二：（指数法）解法一：（对数法）设解法二：（指数法）解法一：解法二：设例已知，求。解：设例求下

12、列函数的二阶导数解：解法一：解法二：例设，求：。解：结论：对于，若，则例设，求。解：例求下列函数的微分解法一：解法二：解法一：解法一：§ 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理 .罗尔定理: 满足条件: .拉格朗日定理：满足条件:罗必塔法则：（ 型未定式）定理：和满足条件：在点的某个邻域内可导，且； 则：注意：法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 若不满足法则的条件，不能使用法则。 即不是型或型时，不可求导。 应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 若和还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： 若函数是型可采用代数变 形，化成或型；若是型可

13、 采用对数或指数变形，化成或型。导数的应用1 切线方程和法线方程：设：切线方程：法线方程：2 曲线的单调性： .函数的极值：极值的定义：设在内有定义，是内的一点；若对于的某个邻域内的任意点，都有：则称是的一个极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点）。 极值存在的必要条件：定理：称为的驻点 极值存在的充分条件： 定理一：当渐增通过时，由（）变（）；则为极大值； 当渐增通过时，由（）变（）；则为极小值。定理二： 若，则为极大值； 若，则为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 曲线的凹向及拐点：若；则在内是上凹的（或凹的），（）；若；则在内是下凹的（或凸的），（）； 。曲

14、线的渐近线： 水平渐近线： 铅直渐近线：二、例题分析例1 函数在，上是否满足罗尔定理的条件？若满足，求出的值。解：是初等函数，在，上有定义； 在，上连续。在（，）内有定义；在（，）内可导。 又 满足罗尔定理的条件。由定理可得： 解得： 不在（，）内，舍去；例。证明：当时，不等式成立。证法一：（采用中值定理证明）设：是初等函数 ，在上有定义，在上连续。 在（）内有定义在（）内可导。满足拉格朗日定理的条件，由定理可得： ； 证毕。证法二：（采用函数的单调性证明）设：即：；证毕。例证明：证：设：；证毕。例证明：当时，。解：设：， ； 证毕。例求下列极限： 解： 解： 解：令：当时，； 解法一：解法二

15、： 解： 解： 解法一： （对数法）设： 解法二：（指数法） 解法一：设：解法二：解法三：设： 解：例解：设：例解：例设：，求、的值。解： 代入（）式，得: 当时，原式成立。例求曲线在点（，）处的切线方程和法线方程。解： 切线方程： 即： 法线方程： 即： 例曲线的切线在何处及直线平行？解： 的切线及平行 所要求的点为：例求曲线上任意点处的切线及坐标轴组成的三角形的面积。解：求切线方程： 切线方程为： 求、的坐标： : 代入（）式，得： : 代入（）式，得： 求三角形的面积：例求函数的单调增减区间 和极值。解：的定义域： 令，解得： 当时，无定义，是间断点 列表如下： 极大值 极小值 当时，

16、为极大值； 当时，为极大值。 单调减少区间为:(),() 单调增加区间为:(),()例作函数的图形解：的定义域：令：，解得：无一阶导数不存在的点。令：，解得：是水平渐近线列表如下： 极大值 拐点 例求下列曲线的渐近线 解：的定义域：是水平渐近线。 解：的定义域：是水平渐近线。是铅直渐近线。例设，求在上的最大值和最小值。解： 令：，解得： 舍去。 为极小值；为最大值，为最小值.结论：若连续函数在内只有一个极小（或大）值，而无极大（或小）值， 则此极小（或大）值就是在内的最小（或大）值。例欲围一个面积为的矩形场地。正面所用材料造价为元，其余三面所用材料的造价为元，求场地的长、宽各为多少米时，所用材

17、料费最少？解：设：场地的正面长为米，则：场地的侧面长为米所用材料费为元 令：，解得：（舍负） 为极小值点 函数在（）内连续，并只有一个极小值，而无极大值， 函数在处取得最小值。 当场地的正面长为米，侧面长为米时，所用材料费最少。第三章 一元函数积分学§ 不定积分一、 主要内容重要的概念及性质：原函数：设： 若： 则称是的一个原函数， 并称是的所有原函数, 其中是任意常数。不定积分： 函数的所有原函数的全体， 称为函数的不定积分；记作： 其中：称为被积函数； 称为被积表达式； 称为积分变量。 . 不定积分的性质： 或： 或： 分项积分法 (为非零常数) .基本积分公式：换元积分法： 第

18、一换元法：（又称“凑微元”法） 常用的凑微元函数有： .第二换元法： 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： (当被积函数中有时) (当被积函数中有时) (当被积函数中有时) (当被积函数中有时)分部积分法： . 分部积分公式： .分部积分法主要针对的类型： 其中： （多项式） .选规律： 在三角函数乘多项式中，令， 其余记作;简称“三多选多”。 在指数函数乘多项式中，令， 其余记作;简称“指多选多”。 在多项式乘对数函数中，令， 其余记作;简称“多对选对”。 在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为，其余记作;简称“多反选反”。 在指数函数乘三

19、角函数中，可任选一函数 为，其余记作;简称“指三任选”。简单有理函数积分： . 有理函数： 其中是多项式。 . 简单有理函数：二、例题分析：例解： 上式两边同时对求积分： 和选项是错的。 （应选） 而 选项是错的。例若，则等于解：由原函数和不定积分的定义可得： （应选）例.设是的一个原函数， 则等于解法一：由已知条件得： （应选）解法二：由已知条件得：例.若，且；则 。解：注意：称为初始条件。由此可以确 定不定积分中的任意常数。例. 解法一：解法二：解发三例已知：在点的切线斜率为 ，且过（，）点，则此曲线方程是解：在点的切线斜率为过点（，）曲线方程为： （应选）例用换元法计算下列不定积分解:

20、解: 解：解：解：解：令 解：令解：令 解：令例用分部积分法计算不定积分 （三多选多）解：令 则解：解：解法一：设循环积分公式：若：则：解法二: 解法三：解法一：解法二：例.计算下列简单有理函数的不定积分解：解 ：解：§定积分 一 主要内容（一） 1. 定积分的定义： 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于轴，曲线(),直线之间各部分面积的代数和。轴上方的面积取正号， 轴下方的面积取负号。 2. 定积分存在定理： 若：()满足下列条件之一:若积分存在，则积分值及以下因素无关：3. 牛顿莱布尼兹公式：*牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4. 原函数存在定理：5. 定积分的性质：（二）定积分的计算：1. 换元积分2. 分部积分3. 广义积分4. 定积分的导数公式(三)定积分的应1. 平面图形的面积: 及轴所围成的图形的面积 (). 求出曲线的交点，画出草图； . 确定积分变量，由交点确定积分上下限；. 应用公式写出积分式，并进行计算。2. 旋转体的体积及轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积