线性代数模拟试卷五及答案

1、线性代数模拟试卷五一、选择题(每小题3分，共30分)(1)若A为4阶矩阵，则13A =()(A) 4 A(B) 34 A(C) 431A(D) 3 A(2)设A, B为n阶方阵，A#0且AB = 0,则()(A) B = 0(B) BA = 0(C)(A + B)2 =A2 +B2(D) A =0或 B =0(3) A, B, C均为n阶方阵，则下列命题正确的是()(A) AB = BA(B) A#0,B#0则 AB#0(C) AB =|A B(D)若AB = AC,则B=C(4) (A + B)2 = A2+2AB+B2成立的充要条件是()(A) AB = BA (B) A = E(C) B

2、 = E(D) A = B(5)线性方程组”一1)X+2y =a有唯一解，则卜为()2x (k -1)y = b(A)任意实数(B)不等于土石 (C)等于±V5(D)不等于0(6)若A为可逆阵，则(A")=()(A) A A(B)AA"(C)A"A(D)|a，A*(7)含有4个未知数的齐次方程组 AX = 0 ,如果R(A) =1 ,则它的每个基础解系中解向量的个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3第1页（共3页）(8)设A为m m n矩阵，齐次方程组AX = 0仅有零解的充要条件是 A的(A)列向量线性无关(C)行向量线性无关(B)列向量线

3、性相关(D)行向量线性相关(9)已知矩阵A=(A)3-1，下列向量是A的特征向量的是(B)1、0，(C)(D)(10)二次型 f(X1,X2,X3)=X1222+ 4x2 +4x3 +21X1X22X1X3+4x2X3 为正 je 二次型，则儿的取值范围是()(A) -2 ：1(C) -3一2(D) 2、计算题(第1、2小题每题5分,第3、4小题每题10分，共30分)1、计算行列式D4(5分)第2页(共3页),3 22、设 A= 3 1<3 215 ,求A的逆A-1。(5分)301-11,B =20。（10 分）-1<5 3,0Q 13、求矩阵方程AX + B = X ,其中A =

4、 -1 1 L o4、求向量组% = （-1 1 4 3T,% = （2 -1 3 53，%=（1 0 7 8T, % = （5 -3 2 7 T的秩，并求出它的一个最大无关组。（10分）三、证明题（第1小题9分，第2小题6分，共15分）1、已知向量组四,%, %线性无关，回=%,22 ="1 +32,23 =G1 +仪2 +口试证向量组团/，身线性无关。（9分）2、设A、B分别为m, n阶可逆矩阵，证明：Sa、“ r o b、H = 0 A 可逆，且 H） B 。（6 分）B 0）A0 ）四、综合题（第1小题15分，第2小题10分，共25分）X /.X1 x2 x3 = 11、九取

5、何值时，非齐次线性方程组|xi+Kx2+x3=，.，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。（15分）2、已知A为n阶方阵，且满足A2 -2A-3E =0（1）证明：A-2E可逆，并求（A2E）。（5分）（2）若 A =1,求 |4A+6E 的值。（5分）第5页（共3页）线性代数模拟试卷四参考答案与评分标准一、选择题 每题3分,B（6） C计算题(30 分)共10题，共(2) D(7) D(30 分)30分(3) C(8) A(4) A(9) D(5) B(10) A第1页（共3页）xaaaxaaax +3aaaaaxaaa -xx -a000x -a00a

6、axaa -x0x -a000x -a0aaaxa -x00x -a000x-a1、2小题每题5分,3、4小题每题第共30分。D4=(x-a)3(x 3a)或以其它方式计算视情况酌情给分,结果正确得5分。2、对（A,E）作初等行变换,A变为E时，E则变为A(A,E)=3376-123-1-322= (E,A,)4分-121276-123-1-322也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆，视情况都可酌情给分。3、由AX乃水，得（A E）X =-B,求X ,我们同样可以用上面题目的方法,对（A-E,-B ）进行初等变换，当A-E变为E时，-B则变为一 4_X =(A E) B ,'-1 1(A

7、E,B)= -1 0L 001-2-1 1 )1-2 0 - 0-5 3) <010-11-11-1-10-3-331 0 0 3 -1、 0 1 0 2 0 =(E,-(A-E)JB) .8分100111,3f r1_则，X =-(A-E) B= 2J-1.,10 分0 4、作矩阵A=(% a21 0 1口，011最简形矩阵0 0 010 0 02, .6分71«3«4 尸4<321-1 03758经过初等行变换可化为行-520,得R（A）= 2,即向量组%,a2,u3,a4的秩为-1>可取%, 口2为向量组的一个最大无关组 .10分由题意可知向量组中的

8、任何两个（因对应分量不成比例）都可以做为它的一个最大无关组。三、证明题（15分）第1小题9分，第2小题6分，共15分。1、证明:设有A,%,%使+%久+%03 =0 , 2分即 %(%)+%(% +%)十%(口1 +以2 +豆3)=。， .4分亦即(匕 +% +%)口1 +(% +%尸2 +%口3 =0 , .6分, 1 23=0因Ot1,O（2,Ot3线性无关，故有，九2十%=0， 8分7-3=0故方程组只有零解 % =% =% =0,所以向量组P1,P2,P3线性无关。.分.2、证明：HH-= '°<BaY 00八AB） £。八。0 _= Em 方En J

9、.4分第4页（共3页）.6分.6分（1）当儿#1且入2 2时，方程组有唯一解;.8分故H可逆且H四、综合题（25分）第1小题15分，第2小题10分，共25分。1、计算线性方程组的系数行列式1九九一11九=（九一1）（九十2）02 九?九当A #0 ,方程组有唯一解，即(2)当九=2时，方程组的增广矩阵为,z-21111门0-1 0、B=1-21-2 01-10J124,10001 ,则R(A) =2,R(B) =3,方程组无解;10分（3）当九=1时，方程组的增广矩阵为q 1 1B= 1 1 1d 1 11 01； <01 1 10 0 0, R(A) = R(B)=1 ,0 0 0；.12分方程组有无穷多个解，可得通解为X1 = 1 - x2 - x3（x2, x3可任意取值）.15分.1分2、由 A 为 n 阶方阵， A A2E = 3E =3n #0, .3 分A _A2E ¥0,，A 2E可逆，