线性规划的有关概念及图解法

1、3.3.2简单的线性规划问题第1课时线性规划的有关概念及图解法【学习目标】1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题问题导学预可新知夯实基础< x+2yW8,4xW 16,引例已知x, y满足条件4 4ywi2,| x>0,' y>0.该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x+3y的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.知识点一线性约束条件及目标函数1 .在上述问题中，不等式组是一组对变量x, y的约束条件，这组约束条件都是关于x, y的二次不

2、等式，故又称线性约束条件2 .在上述问题中，是要研究白目标，称为目标函数.因为它是关于变量 x, y的二次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数 .知识点二线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.知识点三可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解（x, y）叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域,阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使式取最大值的可 行解称为最优解.思考辨析判断正谩1 .可行域内每一个点都满足约束条件.

3、(，)2 .可行解有无限多个，最优解只有一个.(X)3 .不等式Ax+ By+ C>0表示的平面区域一定在直线Ax+ By+ C= 0的上方.(X )题型探究类型一最优解问题命题角度1问题存在唯一最优解,x+2y< 8,4xw 16,例1已知x, y满足约束条件4 4y< 12, x> 0,' y>0,该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值解设区域内任一点 P(x, y), z=2x+3y,则 y=-|x+ f, 33启迪思维探究重点2x+3y的最大值.这是斜率为一2,在y轴上的截距为Z的直线，如图尸$工+

4、配一H=033由图可以看出，2 zz 一当直线y=；经过直线x=4与直线x+2y8=0的交点M(4,2)时，截距；的值最大,3 33此时 2x+3y= 14.反思与感悟图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤(1)确定线性约束条件，线性目标函数;(2)作图画出可行域；(3)平移一一平移目标函数对应的直线z= ax+by,看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；(4)求值一一解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.跟踪训练1 已知1Wx+ y< 5, - 1 <x-y< 3,求2x 3y的取值范围.

5、考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值1Wx+yW5,解作出二元一次不等式组5所表示的平面区域(如图阴影部分所示)即为可行一 1 w x y w 3域.设 z=2x 3y,变形得 y = 一拉是直线在y轴上的截距， 当直线截距最大时，z的值最小，由图可知，当直线z= 2x 3y经过可行域上的点 A时，截距最大,即z最小.x y= - 1,解方程组5得A点坐标为(2,3),x+ y= 5,zmin = 2x- 3y=2X 2-3X 3=- 5.当直线z= 2x- 3y经过可行域上的点 B时，截距最小,即z最大.x-1z, 33则得到斜率为2,且随z变化的一组平行直线. 3x- y= 3,解方

6、程组f得B点坐标为（2, 1）.|x+y= 1,Zmax= 2x 3y= 2X2-3X（-1）=7.-5<2x- 3y<7,即2x- 3y的取值范围是5,7.命题角度2问题的最优解有多个x- y>0,例2已知x, y满足约束条件$x+ y< 2,若目标函数z= ax+ y的最大值有无数个最优解,y R 0,求实数a的值.考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题解 约束条件所表示的平面区域如图（阴影部分），由 z= ax+ y,得 y= ax+z.当a = 0时，最优解只有一个，过A（1,1）时取得最大值；当a>0, y=ax+ z与x+y=2重合时，最优解有无

7、数个，此时a=1;当a<0, y=ax+z与x y=0重合时，最优解有无数个，此时 a=1.综上，a= 1或a= 1.反思与感悟当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界（实线）重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2给出平面可行域（如图阴影部分所示），若使目标函数z=ax+y取最大值的最优 解有无穷多个，则 a等于（）A.1 B.3 C.4 D.5 453 考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案 B 一, _5-2解析 由题息知，当直线y=ax+z与直线AC重合时，取优解有无否多个，则a=16-3,即a = 5,故选B. 55类型二生活中的线性规划问题例3营养

8、专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪， 花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg?将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07考点实际生活中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用解 设每

9、天食用x kg食物A, y kg食物B,总成本为z,< 0.105x+0.105y>0.075,7x+ 7y>5?I 0.07x+0.14y>0.06,I 7x+ 14yA6,则 0.14x+0.07y>0.06,即14x+7y>6,| xR0，x>0,y>0,y> 0.目标函数为 z=28x+ 21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示,2a莘+2卜=022 久久777*把目标函数z=28x+ 21y变形为y= 4x+看， 32 1、一，4 八 它表示斜率为-3,且随z变化的一族平行直线，3看是直线在y轴上的截距，当截

10、距最小时，z的值最小.由图可知，当直线 z= 28x + 21y经过可行域上的点 M时，截距最小，即 z最小.7x+ 7y=5,1 4解方程组得M点的坐标为",-.:1 A kg,|14x+7y=6,7 7所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 人，4食物B7 kg.反思与感悟 （1）目标函数z=ax+by（bw0）在y轴上的截距z是关于z的正比例函数，其单调 b性取决于b的正负.当b>0时，截距b越大，z就越大；当b<0时，截距:越小，z就越大.（2）求解的最优解，和目标函数与边界函数的斜率大小有关跟踪训练3某厂拟用集装箱托运甲、乙两种

11、货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为货物体积（m3/箱）（50 kg/箱）利润（白兀/箱）甲5220乙4510托运限制2413考点 生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用答案 4,1解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x, y,则5 5x+ 4y<24,2x+ 5y< 13,x> 0, xC N ,Il y>0, ye N.目标函数z= 20x+ 10y,画出可行域如图阴影部分所示2x+ 5y= 13,由 S得 A（4,1）.5x+ 4y= 24,易知当直线z=20x+

12、10y平移经过点 A时，z取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分另I为4和1时，可获得最大利润.检测评饼达标过美达标检测-2x,1 .若变量x, y满足约束条件ix+ y<1, 则x+2y的最大值是（）iy > 1,A. 一 5 B.0 C.5 D.5 232考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 C解析 画出可行域如图阴影部分（含边界）所示.1 111.设z=x+2y,即y=2x+2z,平仃移动直线 y= - 2x+2z,当直线y=-2x+ 2过点B，3十寸，z取最大值5,所以（x+2y）max=5.卜+ y>3,2 .设变量x, y满足约束条件ix- y&g

13、t;- 1, 则目标函数z=2x+3y的最小值为（）,2x-y< 3,A.6 B.7 C.8 D.23考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 B解析作出可行域如图阴影部分（含边界）所示.由图可知，z= 2x+ 3y经过点A（2,1）时，z有最小值，z的最小值为7.3 .在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），目标函数z=x+ ay取得最小值的最优解有无数个，则 a的值为（）04,2)A. 3 B.3 C.1 D.1考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案 A1 2 一 11解析 一=，a=- 3.a 413，x+ 2yA 2,4.设变量x, y满足约束条件i

14、2x+y<4, 则目标函数z= 3x- y的取值范围是（）x.4x - y > 一 1,A. ?3，6B，3，t-c 31C. 1,6D. 6, - 1考点线性目标最优解题点求目标函数的取值范围答案 A解析 作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分（含边界）所示，T/x+2y-2=li /由z=3x y,可得y=3x z,则一z为直线y= 3x- z在y轴上的截距，r_截距越大，z越小，结合图形可知，当直线y=3xz平移到B时，z最 软二叶】印1以+1小1 一3 _3 一一小，平移到 C 时，z 取大，可得 Bq, 3 I, zmin= - 2 , C（2,0） , zmax= 6,

15、 - 一 齐占 6.5.给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数 多个，则a的值为.z=ax+ y（a>0）取得最大值的最优解有无穷.十二次L】）0x考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案35解析 将z= ax+y变形，得 y=ax+z.当它与直线AC重合时，z取最大值的点有无穷多个.kAc= 工，_a=_?' 即 a = 7. 555L规律与方法-i.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤（i）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）作图一一画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线1;（3）平移一一将直线1平行移动，以确定

16、最优解所对应的点的位置；（4）求值一一解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值 .2 .作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3 .在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.注重双基强化落实课时对点练、选择题1 .若点（x, y）位于曲线y=冈与y= 2所围成的封闭区域内，则 2xy的最小值为（）A. 6 B. 2 C.0 D.2考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析 如图，曲线

17、y=|x|与y=2所围成的封闭区域如图中阴影部分（含边界）所示，令z= 2x-y,则y=2x z,作直线y= 2x,在封闭区域内平行移动直线y=2x,当经过点 A（2,2）时，z取得最小值，此时 z= 2X（-2）-2=- 6.x+ 3y- 3>0,2 .若变量x, y满足约束条件i2x-y-3<0,则x+ y的最大值为（）x y+ 1 >0,A.9 B.§ C.1D.：7715考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析 画出可行域如图阴影部分（含边界）所示，令 z=x+y,则 y=x+z.当直线y=x+z过点A时，z最大.2x-y-3=0, I ;x-

18、 y+ 1 = 0,得 A（4,5）,，zmax=4+5 = 9.<3x+y-6>0,3.设变量x, y满足约束条件ix-y-2<0, 则目标函数z=y2x的最小值为（）ty-3<0,A.-7 B.-4 C.1D.2考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析 可行域如图阴影部分（含边界）所示,令z=0,得直线lo： y2x= 0,平移直线lo知, 当直线lo过D点时，z取得最小值.y= 3，由 S得 D(5,3).|x- y-2=0, .Zmin=3-2X 5=- 7,故选 A.y+2>0,4 .设变量x, y满足约束条件,x 5y+10W0,则目标函

19、数z= 3x4y的最大值和最小值分、x+ y 8 w 0,别为()A.3 , - 11B.-3, - 11C.11, - 3D.11,3考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z= 3x 4y经过点A时，z有最小值，经过点 B时，z有最大值.易求得A(3,5), B(5,3).Zmax= 3X54X3=3, Zmin=3X3 4X 5= 11.X>1 ,5 .已知a>0, x, y满足约束条件，x+yW3, 若z= 2x+y的最小值为1,则a等于(),y>a(x-3),11 八A.4 B.2 C.1D.2考点线性规

20、划中的参数问题题点 线性规划中的参数问题答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分（含边界）所示.易知直线z= 2x+y过交点B时，z取最小值，x= 1,x=1,由f得fy=a（x3 ）y=- 2a,1 zmin = 2 2a = 1,斛佝 a = 2,故选 B.X> 1,6 .已知，x y+ 1 >0,若z= ax+y的最小值是2,则a的值为（）2xy2W0,A.1B.2 C.3 D.4考点线性规划中的参数问题题点 线性规划中的参数问题答案 B解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，又2=2乂+ y的最小值为2,若a>2,则（1,0）为最优解，解得a=2;若a<

21、; - 2,则（3,4）为最优解，解得a=-2,舍去，故a=2.3（ 0<x<V2,7 .已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组y y<2,确定.若M（x, y）为D上xW V2y的动点，点A的坐标为（<2, 1）,则z=OM oA的最大值为（）A.3 B.4 C.3 2 D.4 2考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 B解析由线性约束条件0WxW 也yW2,x< 2V，画出可行域如图阴影部分（含边界）所示，目标函数z= oM OA=42x+ V,将其化为y=q2x+z,结合图形可知，当目标函数的图象过点（42, 2）时，z最大，将点（也 2）代

22、入z=y2x+y,得z的最大值为4.8 .已知A（2,5）, B（4,1）.若点P（x, y）在线段AB上，则2x y的最大值为（）A. 1 B.3 C.7 D.8考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 C解析作出线段AB,如图所示，作直线2xy=0并将其向下平移至直线过点B（4,1）时，2x y取最大值，为2X41 = 7.二、填空题9 .已知一1Wx+yW 4且2WxyW3,则z= 2x3y的取值范围是 .（答案用区间表示） 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案3,8解析作出不等式组1 w x+ y w 4,1表示的可行域，如图中阴影部分 （含边界）所示.、2 w x 一

23、 y w 3在可行域内平移直线2x3y=0,当直线经过x-y= 2与x+ y=4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值,Zmin = 2X 3-3X 1 = 3；当直线经过x+y= 1与x y=3的交点B(1 , 2)时，目标函数有最大值,Zmax=2Xl + 3X2=8.所以 zC 3,8.x+3y>12,10 .在线性约束条件 仅+yWIO, 下，z= 2xy的最小值是 ,3x+ y>12考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 7p+ 3y>12,解析 如图作出线性约束条件 x x+ yW10,下的可行域，包含边界Ux+y>12H 2x-y=o三条直线中x+

24、3y=12与3x+y=12交于点A(3,3),x+y=10 与 x+3y=12 交于点 B(9,1),x+y=10 与 3x+ y=12 交于点 C(1,9),作一族与直线 2x- y= 0平行的直线l: 2x- y= z.即y=2x-z,然后平行移动直线l,直线l在y轴上的截距为一z,当l经过点C时，一z取最大值，此时z最小，即zmin=2X 1-9=- 7.11 .某公司租赁甲、乙两种设备生产A, B两类产品，甲种设备每天能生产 A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产 A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费 为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生

25、产 A类产品50件，B类产品140件，则所需租赁费最少为 元.考点 生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用答案 2 300解析 设需租赁甲种设备 x台，乙种设备y台,5x+ 6y > 50, 10x+ 20yA 140, x£ N , yC N.目标函数为 z=200x+300y.作出其可行域（图略），易知当x= 4, y=5时，z= 200x+300y有最小值2 300.三、解答题12x+ y>4,12.设 x,求z = x+ y的取值范围y 满足 ix y> 1, lx- 2y< 2,考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值解 作出约束条

26、件表示的可行域，如图所示,z= x+ y表示直线 y = x+ z过可行域时，在 y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A点时，z有最小值.2x+ y= 4,联立f解得A(2,0).x- 2y= 2,Zmin = 2, z 无最大值. x+yC 2 , +8).13.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资的任务.该公司有8辆载重为6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？考点 生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用解 设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆.列表分析数据A型车B型车限量车