等比数列前n项和的性质及应用

1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用【学习目标】1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前 n项和公式的有 关性质解题.3.会用错位相减法求和.预匀新知夯实基删问题导学知识点一等比数列前n项和公式的函数特征 思考 若数列an的前n项和Sn=2n1,那么数列an是不是等比数列？若数列 an的前n项和 Sl = 2n+1-1 呢？r1 In 12* . - . .nCN是等比数列;答案当Sn=2n1时，Si, n=1, an= c、cSn S-1, n2当 Sn= 2n+1- 1 时，nC N不是等比数列S1, n=1,3, n=1,Sn Sn-1, n22n, n2梳理 当公

2、比qw1时，设A= -a二，等比数列的前 n项和公式是 Sn=A(qn1).即Sn是n的 q 1指数型函数 当公比q=1时，因为aw0,所以&=门a，Sn是n的正比例函数.知识点二等比数列前n项和的性质思考若公比不为一1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,&nS2n成等比数列吗？答案 设an的公比为q,则Sn, Sn-Sn, S3n3n都不为。，Sn= a+ a2+ an,S2n Sn= an+1 + an+2+ a2n=a1qn+a2qn+ anqn = qnSn,S3n S2n= a2n+a2n+ 2+ a3n=an+1qn+an + 2qn+ a2nqn=qn(S2n

3、Sn),二Sn, S2n-Sn, S3nS2n成等比数列，公比为qn.数列an为公比不为一1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn, S2n-Sn, S3n S2n仍构成等 比数列.(2)若an是公比为q的等比数列，则 Sn+m = Sn + qnSm(n, mCN*).(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其S禺前2n项中，一=q；Sgf在其前2n+1项中，S奇一S偶=ai a2+a3 a4+ai+a2n+iq ai + a2n+2一 a2n + a2n+ 1 =(q w 1).1(q)1 + q思考辨析判断正误1 .对于公比qw1的等比数列an的前

4、n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.)r . 一 an ,-、， 一一 、一 一，、，2 .当an为等差数列，bn为公比不是1的等比数列时，求数列b的刖n项和，适用错位相 减法.(，)题型探究 启迪思维探究重点类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1已知数列an的前n项和Sn= an1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列an为 等比数列.考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题证明 当 n2 时，an = Sn Sn 1 = (a 1) an j当n=1时，a1 = a1,满足上式，an= (a 1) an 1, n C N .an+1 = a, an，数列an是等比

5、数列.Si, n= 1,反思与感悟(1)已知Sh,通过an=f求通项an,应特别注意n2时，an =Sn- Sn-1, n 2Sn- Sn 1.(2)若数列an的前n项和Sn = A(qn-1),其中Aw0, qw0且qw1,则an是等比数列.跟踪训练1若an是等比数列，且前 n项和为S = 3nT+t,则t=.考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题1答案3解析 显然qw1,此时应有Sn=A(qn1),PC 1 J . , ,1又 Sn = 2 3 + t, . . t = 2. 33类型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和

6、分别为Sn, &n, &n,求证：器+脸=Sn(S2n+ S3n).考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列证明 方法一 设此等比数列的公比为 q,首项为a1，当 q = 1 时，Sn=na，S2n=2na1，S3n=3na1，S2+ S2n= n2a2+ 4n2a2= 5n2a2,Sn(S2n + S3n) = na1(2na1 + 3na1)= 5n2ai,S2+ S2n= Sn(S2n+ S3n).当 q w 1 时，Sn=(1 一 qn),1 qS2n= a1 (1 - q2n) , S3n=(1 - q3),1 - q1 - qS2+ S2n=六 2 (1 qn)2+ (

7、1 q2n)2u q,二a)n 2n 2n=q_q,2 (1-q ) (2+2q +q ).又 Sn(S2n+ S3n) =a2n 2n 2n(_“(1-q) (2+2q +q ),-S2+S2n=Sn(S2n+S3n).方法二根据等比数列的性质有S2n= Sn+ q Sn = Sn(1 + q ) , S3n = Sn+qSn+q Sn,S2 + S2n=S2+ Sn(1 + qn)2= S2(2+ 2qn+ q2n),Sn(S2n + S3n)=S2(2+2qn+ q2n).S2+S2n=Sn(S2n+S3n).反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 运用等比数列的前 n项和公式

8、，要注意公比 q= 1和qw 1两种情形，在解有关的方程 （组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.（2）灵活运用等比数列前 n项和的有关性质.跟踪训练2 在等比数列an中，已知Sn=48, S2n=60,求S3n.考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列解因为S2nW2Sn,所以qwl,na al (1 q )-=48,1 q由已知得ai (1 q2n)-=60,1 -q 5 1O得 1+qn = 5,即 qn=4.a1将代入得-a-=64,1 q所以S3n =3na1(1 一q )1= 64X 143尸 63.命题角度2不连续n项之和问题例3已知等比数列为的公比q=_1,则

9、a1：?：5：?等于（）3：2十a4十a6十a8A.-3 B.-1 C.3 D.1 33考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案 A解析 啰+a4+ae+a8= a1q + a3q+a5q + a?q=q(ai+ a3+ as+ a7)ai+ a3+ a5+ a7 i = -= - 3.a2+ a4+ a6+ a q反思与感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得 简洁明快.跟踪训练3设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项,公比的等比数列，则 b +b +b +-+b =.a1a2a3a6 考点等比数列前n项和的性质 题

10、点等比数列奇偶项和的性质答案 126解析bi qan1banan 1bi q= qanj =2,，baJ是首项为b2,公比为2的等比数列.二%十1+十丁弋丁:侬.1 - 2类型三错位相减法求和例4求数列学的前n项和.考点错位相减法求和题点错位相减法求和解设 Sn = 2+22 + 23+ 多，n+ 2日112 n1则有 2Sn=2+-+-2n-两式相减，得C 1111Sn 24=2+ 22+ 23 + +n 1 n2nT1 =1-尸.1 n n+2Sn= 2_2n-_2n= 2-2n-反思与感悟 一般地，如果数列an是等差数列，bn是公比不为1的等比数列，求数列anbn 的前n项和时，可采用错

11、位相减法 跟踪训练 4 求和：Sn= x+2x2+3x3+ nxn (xw0).考点错位相减求和 题点错位相减求和n n+ 1解 当 x=1 时，Sn=1 + 2 + 3+ - +n=- (1-xj-2;当 xw1 时，Sn= x+2x2+3x3+ nx) xSn= x2+ 2x3+ 3x4+ + (n- 1)xn+ nxn+ 1,- (1 x)Sn= x+ x2+ x3+ + xn nxn+ 1一 nx”x )n + 1-nx + ,1 -xn , n , 1x(1 一 x ) nx +Sn=1 -xf n(n+1) 2，n+1nx十,xw 1 且xw 0.1 -x综上可得，& = d nx

12、(1x )检测评价达标过美达标检测1 .已知等比数列an的公比为2,且其前5项和为1,那么an的前10项和等于（）A.31B.33C.35D.37考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案 B解析 设许的公比为 q,由题意，q= 2, ai + a2+a3+a4+a5= 1,则 a6+a7 + a8+ag+aio=q （a1+ a2+ a3+ a4+ a5）= q = 2 = 32 ,Sw= 1 + 32 = 33.2 .已知等比数列an的前n项和为Sn=x3nT-6,则x的值为（）1 A 3C.2D.-2考点等比数列前n项和 题点等比数列前n项和综合问题答案 C解析 方法一 :

13、 Sn=x 3n-J!=x 3n 1, 6 36由 Sn=A(q: D,得鼻=口 ，X=J，故选 C. 3 62答案 A解析 由等差数列与等比数列的前 n项和公式知，c=0, d=1,所以向量a= (c, d)的模为1.4.设等比数列an的前n项和为Sn,若q=2, Swo = 36,则a+a3+ a99等于()A.24 B.12 C.18 D.22考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案 B解析 设 ai + a3+ a99 = S,则 a2 + a4+ aioo= 2S. Sioo= 36, 1- 3S= 36, 1- S= 12,ai+ a3+ a5+ + a99= 12

14、.规律与方法-11 .在利用等比数列前 n项和公式时，一定要对公比q= 1或qw1作出判断；若an是等比数列，且an0,则lg an构成等差数列.2 .等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比 q=1和qw1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10, q1或a10,0q1时为递增数列；当 a11或a10,0q1时为递减数列；当 q0且qw 1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn=一/(qn1)(qw1).设A=-a,则Sn= A(qn1)与指数函数相联系.q- 1q- 1(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把 qn,

15、:当成整体求解.课时对点练注第税基强化落实考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案 C解析.a3=3S2+2, a4=3&+2,a4a3= 3（2S2） = 3a3,即 a4=4a3,q = a4= 4,故选 C. a32 .设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q等于（A.1B.0C.1 或 0D.1考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案 A解析Sn_Sn_i = an,又Sn是等差数列，二an为定值，即数列an为常数歹U,an 13 .在等比数列an中，已知S30=13Sio, Sw+S30= 140,则S20等于（）A.

16、90 B.70 C.40 D.30考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案 C解析.玲0金3&0,，qw1.S30= 13S10,S10= 10,由f得5、Sw+S30= 140|S3o=130,a1 1-q =10,1-q、30a11 一q= 130, 1- q.q20+q10-12 = 0, .10=3,S20= Sw(1 + q ) = 10X(1 + 3) = 40.4.已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mCN*,满足Sm=9,且即=细土1, Smamm 1的公比为()A. 2 B.2 C.3 D.3考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案 B解析

17、设公比为q,若q=1,则Sm=2,Sm与题中条件矛盾，故 qwl.2mai (1 q jS2m=m-=qm+ 1 = 9, .qm=8.Smai(1q )1 q2m 1.a2m_a1q_ _ m_Q_5m+1am m 1 _ q _ 8_Jam aqm 1m=3,，q3=8,，q=2.5.已知等比数列an的公比为 q ,记 bn=am(nT)+ am(nT) + 2+ am(nT)+m, cn am(n-1) + 2am(n 1) + m(m, nCN),则以下结论一定正确的是 ()A.数列bn为等差数列，公差为 qmB.数列bn为等比数列，公比为 q2m2C.数列Cn为等比数列，公比为 qm

18、D.数列cn为等比数列，公比为 qmm考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案 C解析:an是等比数列，amn + m，八、=qmn+m m(n 1)m=qm,amfn 1 t m则数列anam(nT)+1 Cn+ 1Cnamn+1 amn+2 amn+mam(n- 1 J 1 am(n- 1 J 2 am(n- 1 J m2m、m m=(q ) = q6.设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1, S3=7,则S5等于（）八15A.3 31B彳17D.万33 c.4考点等比数列前n项和的性质 题点等比数列前n项和性质综合答案 B解析 :an是由正数组成

19、的等比数列，且 a2a4=1,.设an的公比为q,贝U q0,且a2 = 1,即a3=1.11$3=7, . . a1+a2+a3= -2+1 = 7, q q即 6q2-q-1=0.故 q = 1或 q= 1（舍去），. .a1 = 3=4. 23qQ 41京131- S5=1 =8, 2y 尸 了.127.数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1 = 3Sn（n1, nCN）,则 a6 等于（）A.3 X 44B.3 X 44+ 1C.45D.45+1考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案 A解析 当 n1 时，an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1

20、,an+2 an+1 = 3Sn+ 1 - 3Sn = 3an+ 1 ,即 an+ 2 = 4an+1,该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列.1, n=1,又 a2= 3S1 = 3a1 = 3,an = 1 n 2*当 n= 6 时,%= 3X 46 2= 3X448.记等比数列an的前n项和为Sn,若&=2, $6=18,则S0等于（）S5A. 3B.5C.-31D.33考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案 D（6ai 1 q解析由题意知公比 qwl,曾=、=i + q3=9,S3 ai 1 q1 q10a1（1 q ），q

21、= 2, =5-= 1 + q5= 1 + 25= 33.S5a1 1 q1 q、填空题9 .等比数列an共2n项，其和为一240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案 2解析根据题意得与L 8禺=80, =-80,S偶160S1- q= -=2.禺=-160,S奇80Sn是an的前n项和，且14= 5,10 .已知首项为1的等比数列an是摆动数列, 前5项和为.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案162解析S4-=一=1 + q2=5, q=受.S2S2 an是摆动数列，q=2. A首项为，一.11,公比为一

22、2,11+32 113 =16.2三、解答题11.已知等比数列an中,a1 = 2, 23+ 2是a2和a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=anlog2an,求数列bn的前n项和Sn.考点错位相减法求和 题点错位相减法求和 解(1)设数列an的公比为q, 由题意知 2(a3 + 2) = a2+a4, q3-2q2 + q-2=0,即(q2)(q2+ 1)=0. .q = 2,即 an=2 2n1 = 2n, nCN*.(2)由题意得，bn= n 2n,，Sn= 1 2 + 2 22+3 23+ + n 2n, 2Sn= 1 22+2 23+ 3 24+ +(n1) 2n

23、+ n 2n + 1,2一，得一Sn= 2 + 22+2U 2,+ + 2”一 n 2+1n 1=-2-(n-1) 2n+ .Sn=2+(n1) 2n+1, nC N*.12 .中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一， 再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题 .若某地 区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化:从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人.从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.求实施新政策后第 n年的人口总数an的表达式；(注：2016年为第一年) (2)若新政策实施后的 2016年到2035年人口平均值超过 49万，则需调整政策，否则继续实 施.问到2036年是否需要调整政策？考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题解 当nW 10时，数列an是首项为45.5,公差为0.5的等差数列，所以 3n = 45.