泰勒展开式在高考题中的应用

1、泰勒展开式在高考题中的应用* ,莲塘一， 七 中李树森高中数军中函数导数部分舌据了重要的位亶,高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式由现.如何应对函薮导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通，本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题 如果函 -f ( x)在定义一上有定一数 域I义， 且有nf1阶导数存在，f (x)( x 0 ) f( x0 )( xXo )2!x, x 0 I , 则(n ) ( x 0 )( x xo ) n R1!n!f ( n其中R 1) ( n11)(n !令f1)(x)ln( x ,上式可以进行放，缩x可以得到不等式

2、：x下面证明该不等 式.症明：设 二h( x)x减，h( x) h(0)设f,(x)ln(x 1)0 f ( x)f (0),综上所述，有不等式:如图所示：上式即为函f ( x)x0在点处的泰勒展开式.1例题展示x0 0 , 有ln( x 一 41)比较ln( x 1) 和、xx2xln(x 1), 2 Hix21), hln( x ( x) 22x ln(0，即有 x x2x ,1f ( x) 11/ x 1即有ln( xx ,/1)x2 jTx/xln( x 1)2r2x 二 xl一"(232 x的大小，2(0)x 0.11 xx 11), 当x 0x 0,(0)xx 1当0时取

3、等号.x0)，当1)n 1 x n R 16 n2x0,( x 0), 0,x 1时取等号.,则f (x) 在0,0时取等号则h( x) 在)单倜递)单调递减考题1( 2015年福建卷理科 20 题)已知函数f(x)(1 )证明：当x(2 )证明：当 kln(1 x),g(x)。时，f(x)1时，存在x0(3 )确定k的所有可能取值在tkx,( k R)x ;0 ,使得对任意的 (0，x 0 ),x( x)使得存 0 ,对任意的(0,。g( x)恒有f恒有2 xg ( x); f (x)解析：(1)在对(* )式的证明过程中已经体现k (x 1 k)_x (2 )设 h(x) ln(1 

4、9; x) kx , h (x)= - k =,贝u有+ h( x)h(0) 0 ,当k 0 时，h (x) P, 则h( x) 在)单调递(0,>增有即f(x) r g(x), 此时x 0可以取存熹正实数.=_k f. < < 含血 xk当0 时，0 ,解得x 1 -1, 0k1取x 01* kk 1,110k(0, x 0 ), 则有对任意的x 有f (x)_飘 x) . +<+分析：第(2 )问的结论可以从图2中解释(3) ln(1 x)_ kx x;可化为kx x2间(0, t)而不等式ln(1 / x) kxx2 ,此不等式要求在某个区成立即可，_2x /心

5、五°时恒成ln( x0x 在一x I x立.-2k kxx2x - x>因此可以得.2一 +, 一，其中 0到2 x,_ kx举2 +x_k x 1k 1化简，得V >2,即有 ，因此有kk 1k x 1考题 (2015年山东卷理212 科 +< 题)一之一设函数fx) _(x)ln( x 1) _ a( x2,其中 a(15讨论函数f ( x)-附极值点的个数 并说明(2广若 0, f(x) > 0_成立G求a的取值范x _ 围. 一第(1 )而用导数求函变咆及二一 值(2 )由 f ( vx) _0, 得 一a(x 2x)利用不等式x ,有ln( x1)

6、a( x 2=- 七需要对a进行讨论，这里不再赘述ln(x 1)ln(x) x 1) x ,>一|bc即利用对上式进行适当放缩a(x2当HN xx2xx) x求a的取值范围._/ +由于在(0,1)至单由递加1 , h( x)=1 4 ax 1x 1h(0)1 ；当 x (1,1 h( x)在1(1,）上单调递增，有a limx综上所述， 考题1 立问题x 0 , (x) 的第(x x要使f3）问，先对不等式适当放缩后进行求解法进行求解，数逼近的思 想x 10恒成立，a0,1x 1的取值范围.考题2的第（2）问都是恒成,求参数的取值范围这在平时求解参数范围时是不常见 ,的是因为泰勒展开式

7、的本质上是将一个复杂的函数.该多项式函数与函数f （ x）分别是泰勒展开式的第一项和前两 项2是在原点附近的较小区间内这两个函数与函数f ( x)之间的误差是非常小的 .这两个函数与函数 y本文这两问的，都 做法是.之所以这两个题能够利用上述想,是一种近似表示为一个多项式函数.本文由现的不等式ln x 1y ln x 1误差是很小的函）式甲 x 的与之间的相差是比较多的，但因此本文是利用了这一点，对数范围是相对简单 的.应用举例.通过放缩将ln x 122x转化成x或者x这种多项式函数形式，利用多项式函数求参(2014年陕西卷理21题)设函数f( x)ln(1 x), g( x) x f0 .

8、其中 f ( x) 是 f ( x)(x), x的导函(1)令g1( x)(x)若 f2g (x), g* ( x)ag( x)恒成g (g n求实数(x),N，求g n ( x)的表达式;g(2).的取值范围；aZ( n)与 n f ( n)(3 )设 n 分析：第(ln( xN ,比较2 )问需1)应用不等式ln( x1) x ,ax , xx 1 ln( x1)0恒成立,ax对上式进行放缩x利用ax求a的取值范围.上式化简当x 0时，为此时a R ;.1,则有 /1当x 0时，上式化简为综上所述，是(有a的取值范围1,12 ( 2013年全国大纲卷理科22题)已知函数f ( x) ln(1时f(1 )若 x .0 ( x)的最小值;(2)设数 列an的通项a分析：第(x)J，,证明:1 n利用不等式x(1nx)ln(1 x)放缩x利用0时,综上所述，ln(x1), x