若尔当(Jordan)标准形的理论推导（课堂PPT）

1、1行列式因子和不变因子行列式因子和不变因子11( )( )( )( )(1,2, ). (2)kkDdddkr211211( )( )( )( ), ( ), , ( )(3). ( )( )rrrDDdDddDD 2 38.6 8.6 若尔当若尔当(Jordan)(Jordan)标准形的理论推导标准形的理论推导若尔当标准形的初等因子若尔当标准形的初等因子矩阵的若尔当标准形矩阵的若尔当标准形举例举例矩阵相似的条件矩阵相似的条件4设有若尔当块设有若尔当块nnJ00001000010001000若尔当标准形的初等因子若尔当标准形的初等因子则其初等因子为则其初等因子为 ( - 0)n .若若尔尔当当

2、块块的的初初等等因因子子每个若尔当块完全被它的每个若尔当块完全被它的级数级数 n 与主对角线上元素与主对角线上元素它们它们都反映在都反映在J0的初等因子的初等因子( - 0)n 中中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定. 0 所刻划，所刻划，5考虑它的特征矩阵考虑它的特征矩阵.10000100010000000JE显然显然 | E - J0 | = ( - 0)n ，这就是，这就是 E - J0 的的 n 级级行列式因子行列式因子. 由于由于 E - J0 有一个有一个 n - 1 级子式级子式6,) 1(10001000010001100n所以它的所以它

3、的 n - 1 级行列式因子是级行列式因子是 1 ，从而它以下各，从而它以下各级的行列式因子全是级的行列式因子全是 1 . 因此，它的不变因子为因此，它的不变因子为d1( ) = = dn-1( ) = 1 , dn( ) = ( - 0)n .由此即得，由此即得， E - J0 的初等因子为的初等因子为 ( - 0)n .7若若尔尔当当矩矩阵阵的的初初等等因因子子设设sJJJJ21是一个若尔当形矩阵，其中是一个若尔当形矩阵，其中)., 2 , 1(1000010001000siJiiii8既然既然 Ji 的初等因子是的初等因子是, ), 2 , 1()(siiki所以所以 E- Ji 与与1

4、1()iki等价等价. 于是于是skkkJEJEJEJEs2121与与9skskk)(11)(11)(112121等价等价.10因此，因此，J 的全部初等因子是：的全部初等因子是：.)(,)(,)(2121skskk即，每个若尔当形矩阵的全部初等因子即，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是就是由它的由它的全部若尔当块的初等因子构成的全部若尔当块的初等因子构成的.又由于，又由于，若尔当块被它的初等因子唯一决定若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见由此可见, 若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外是被它的初等因子唯一决定的次序外是被它的初等因子唯一决定.11 设设

5、 n 级矩阵级矩阵 A 的初等因子为的初等因子为skskk)(,)(,)(2121矩阵的若尔当标准形矩阵的若尔当标准形其中其中 1 , 2 , , s 可能有相同的，指数可能有相同的，指数 k1 , k2 , , ks 也可能有相同的也可能有相同的. 每一初等因子每一初等因子iki)(对应对应于一个若尔当块于一个若尔当块12)., 2 , 1(1000010001000siJiiii这些若尔当块构成一若尔当形矩阵这些若尔当块构成一若尔当形矩阵.21sJJJJ13则则J 的初等因子也是的初等因子也是skskk)( ,)( ,)(2121因为因为 J 与与 A 有相同的初等因子，所以它们相似有相同

6、的初等因子，所以它们相似.如果另一若尔当形矩阵如果另一若尔当形矩阵 J 与与 A 相似，那么相似，那么 J 与与 A 就有相同的初等因子，因此就有相同的初等因子，因此 J 与与 J 除了其中除了其中若尔当块若尔当块排列的次序外排列的次序外是相同的是相同的, 由此即得由此即得唯一性唯一性.14 设设 12 级矩阵的不变因子是级矩阵的不变因子是( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 . 1, 1, , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,9 个个按定义，它的初等因子有按定义，它的初等因子有 7 个，即个，即( - 1 )2 , ( - 1 )2 , (

7、- 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) , ( - i )2 , ( + i )2 .于是其若尔当标准形为于是其若尔当标准形为举例举例151212i10ii10i1111011101110116 求下列矩阵的若尔当标准形求下列矩阵的若尔当标准形126103 .114A 先求先求 A 的初等因子的初等因子.12613114EA1720132011114 21000110132 1821000110021 210001000(1)因此因此 A 的初等因子是的初等因子是 - 1 , ( - 1 )2 .A 的若尔当标准形是的若尔当标准形是.11001000119换成线性变换的语言来说就

8、是：换成线性变换的语言来说就是： 矩阵相似的条件矩阵相似的条件20在在 V 中任取一组基中任取一组基 1 , 2 , , n , 设设A 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 A .由由存在可逆矩阵存在可逆矩阵 T，使，使 T-1AT 成若尔当形矩阵成若尔当形矩阵.于是在由于是在由( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) T确定的基确定的基 1 , 2 , , n 下，线性变换下，线性变换 A 的矩阵的矩阵就是就是 T-1AT .由定理由定理 10，唯一性是显然的，唯一性是显然的.21对角矩阵是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵对角矩阵是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵

9、 分析：分析：矩阵矩阵 A 的最小多项式是的最小多项式是 A 的最后一个不变因子的最后一个不变因子 dn(x). 若尔当标准形由一级若尔当块构成若尔当标准形由一级若尔当块构成22当规定上三角形矩阵当规定上三角形矩阵00000000100000100001为若尔当块时，上述结论都成立为若尔当块时，上述结论都成立.23若尔当块若尔当块nnJ00001000010001000与初等因子与初等因子 ( - 0)n 相互唯一确定相互唯一确定.小小 结结24sJJJJ21若尔当形矩阵若尔当形矩阵相互唯一确定相互唯一确定.skskk)( ,)( ,)(2121()iki是若尔当块是若尔当块Ji的初等因子的初

10、等因子.其中其中与初等因子与初等因子25求一个求一个 n 级矩阵级矩阵A的若尔当标准形的方法：的若尔当标准形的方法：步步1 写出矩阵写出矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 E - A步步2 用用 -矩阵的矩阵的初等变换将初等变换将 E A化为对角形矩阵化为对角形矩阵步步3 将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，得到式方幂的乘积，得到A的全部初等因子的全部初等因子.步步4 根据初等因子写出矩阵根据初等因子写出矩阵A的若尔当标准形的若尔当标准形.26 求下列矩阵的若尔当标准形求下列矩阵的若尔当标准形.8342221392452112)2(;539649214) 1 (BA27先求先求 A 的初等因子的初等因子.539649214AE.) 1(000100012因此因此 A 的初等因子是的初等因子是 - 1 , ( - 1 )2 .若尔当标准形是若尔当标准形是.11001000128先求先求 B 的初等因子的初等因子.8342221392452112BE.) 1(111329所以初等因子为所以初等因子为.) 1( ,13若尔当标准形为若尔当标准形为.110001100010000130