导数中的多次求导

1、导数中的多次求导【一次求导型】已知函数f(x)mexx2.(其中e为自然对数的底数)(n)若f(x)0在R上恒成立，求m的取值范围；解：(I)略(n)由f(x)0得mexx20x2一，即有mJ2【分离变量】e令u(x)x2x，【一次构造】e则u(x)x1x【一次求导】e令u(x)0x1,u(x)0x1(I)若曲线yf(x)过点P(0,1),求曲线f(x)在点P(0,1)处的切线方程;【得单调性】)上单调递减(1,-u(x)在(，1)上单调递增，在【取最值】-u(x)maxu(1)e,【结论】【二次求导型】设函数f(x)lnx,g(x)(2a)(x1)2f(x).当a1时，求函数g(x)的单调区

2、间;(n)若对任意1x(0,一),g(x)0怛成立，求实数2a的最小值.答案:(I)略(n)由题意知即(a2)(1x)0,一，一、一1，一.、2lnx在区间(0,；)上怛成立，1(0,1)上怛成立,2设h(x)22旦冬在区间1x1x(0,：),2【分离变量】【一次构造】则h(x)2(1x)x(1x)22lnx22x(1x)22lnx【一次求导】2又令m(x)22lnxx1,.x(0,),【二次构造】22222x则m(x)-一2一，【二次求导】xxx、“1.当x(0,-)时，m(x)0,m(x)单倜递减,【碍单倜性】21-m(x)m()422ln20,【求最值并与0比较】2-1,一1即h(x)0

3、在(0,1)恒成立，所以h(x)在(0,1)单调递增，【说明原函数单调性】12ln1-h(x)h(1)2-y224ln2,2故a24ln2，所以实数a的最小值24ln2.【二次求导型+零点存在性定理】已知函数f(x)x(alnx)有极小值e2.(i)求实数a的值；(n)若kZ,且k旦?对任意x1恒成立，求k的最大值.答案：(I)a1(口)当a1时，f(x)x(1lnx)，所以设g(x)旦次所以h(x)在(1,)上存在唯一的一个实数根x°，满足x°(3,4)，且h(x°)0,即x02lnx00,所以lnx0x02.当x(1,x°)时，h(x)0,此时g(x

4、)0,(x0,)时，h(x)0,此时g(x)0.xlnx,【一次构造】x1x1则g(x)x2I,.【一次求导】(x1)令h(x)x2lnx,x1.【二次构造】1x1因为h(x)1-0,【二次求导】xx所以函数h(x)在(1,)上单调递增，【得单调性】【零点存在性定理】又h(2)ln20,h(3)1ln30,h(4)2ln422ln20,x2Inx,所以g(x)(x1)2在x(1，Xo)时，单调递减，在x(X0,)上单调递增,X0xJnx。xoxo(xo2)xo(xo1)所以g(x)ming(xo)-xo(3,4).xo1xo1xo1所以要使kf(x)对任意x1恒成立，则kg(x)minxo(3

5、,4),因为kZ,所以要k3，即k的最大值为3.【三次求导型】0处有公共已知函数f(x)1x3ax2bx1,g(x)ex且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x3的切线.(1)求b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；,、一1.(3)证明：当a一时，g(x)f(x)在区间(，。)内恒成立.2解：(1)b1；(2)略；19V1.9(3)令h(x)g(x)f(x)e(xaxx1)exaxx133h(x)exx22ax1h(x)ex2x2ah(x)ex2.x(,0),h(x)ex20,-h(x)ex2x2a在(，0)单调递减1-h(x)minh(0)12a0(a-)2-h(x)exx22ax1在

6、(，0)单调递增-h(x)maxh(0)0x132-h(x)e-xaxx1在(，0)单倜递减3h(x)minh(0)0【三次求导型+零点存在性定理】已知函数f(x)lnx,h(x)ax(aR).(1)函数f(x)与h(x)的图象无公共点,试求实数a的取值范围;1卜方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说理由.(2)是否存在实数m,使得对任意的xxm.，、e),都有函数yf(x)一的图象在g(x)一的图象的(参考数据：ln20.6931,ln31.0986,、,S1.6487,3e1.3956).解：(I)略；()假设存在实数m满足题意，则不等式lnxxe工1对x(x2)恒成立.即mex

7、xlnx对x(1,)恒成立.【分离变量】令r(x)exxlnx,【构造函数】则r'(x)exlnx1,【一次求导】1则r(x)e,【二次求导】xx1r(x)e0【二次求导】x因为r(x)在(1,)上单调递增，【得到单调性2r(1)e220,r(1)e10,且r(x)的图象在(1,1)上连续,221_【零点存在性定理】所以存在冷(2,1),使得r(x0)0,即e"0,则x°lnx°,x。1所以当x(-*)时，r'(x)单倜递减；当x(x°,)时，r'(x)单倜递增,2则r'(x)取到最小值r'(x0)e"lnx01x012ix0110,x0-tx01 所