实验离散傅立叶变换DFT

1、实验一离散傅立叶变换试验目的理解离散傅立叶变换的基本概念掌握离散傅立叶变换的应用方法离散傅立叶变换傅立叶变换是信号分析和处理的重要工具。有限长序列作为离散信号的一种，在数字信号处理种占有着极其重要的位置。对于有限长序列，离散傅立叶变换不仅在理论上有着重要的意义，而且有快速计算的方法-快速傅立叶变换。所以在各种数字信号处理的运算方法中，越来越起到核心的作用。下面，就对离散傅立叶变换及其MATLAtK数应用，结合实际工程实例做说明。1傅立叶变换的几种形式1、非周期连续时间信号的傅立叶变换非周期连续时间信号x(t)的傅立叶变换Xj)可以表示为Q0Xj)=Jx(t)eTSdt逆变换为:jt1x(t)=

2、厂x(j)d2二=在这里，co是模拟角频率。可以看到，时域的连续函数造成频域的非周期谱，时域的非周期性造成频域的连续谱。结论：非周期连续时间函数对应于一非周期连续频域变换函数。2、周期连续时间信号的傅立叶变换周期为T的周期性连续时间信号x(t)傅立叶变换是离散频域函数，可表示为T12imtX(jm，)=x(t)ejm'd-2逆变换为aOx(t)=£X(jm)ejdo这就是经常称之为傅立叶级数的变换形式。在这里，©也是模拟角频率。可以看到,时域的连续函数造成频率域的非周期谱，频域函数的离散造成时域函数的周期性。结论：周期连续时间函数对应于一非周期离散频域变换函数。3、

3、非周期离散时间信号x(n)的傅立叶变换X(ej。)可以表示为X(ej')寸x(n)e*nn二二逆变换为1二iinx(n)=X(e)ed2-二在这里，CD是数字频率，它和模拟角频率的关系为缶=QT。可以看到，时域的取样对应于频域的周期延拓，而时域函数的非周期性造成频域的离散谱。结论：非周期离散时间函数对应于一周期连续频域变换函数。4、周期离散时间信号的傅立叶变换周期离散时间信号x(n)的傅立叶变换一离散傅立叶变换，可以表示为%马令*n=0逆变换为x(n>1LJX(k)eJ2nkNK=0可以看到，时域的取样对应于频域的周期延拓，而时域函数的周期性造成频域的离散谱。结论：周期离散时间函

4、数对应于一周期离散频域变换函数。2离散傅立叶变换列，却只有N个独立的数值，所以它的许多特性可以通过有限长序列延拓来得到。对于个长度为N的有限长序列x(n)，也即x(n)只在n=0(N1)个点上有非零值，其余皆为零，即离散傅立叶级数变换是周期序列,仍不便于计算机计算。但离散傅立叶级数虽是周期序x(n),0n<N1x(n)=、0,其他把序列x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列x(n),则有x(n)=x(n),。5邛-10,其他所以，有限长序列x(n)的离散傅立叶变换(DFT)为NAX(k)=DFTx(n)=Lx(n)WN&,0£n三N-1n=0逆变换为x(n)=IDF

5、TX(k)=1'X(k)WN*n,0_n_N-1Nn若将DFT变换的定义写成矩阵形式，则得到X=Ax,其中DFT变换矩阵A为11.1Aj1wN.w”A=.1Wnn".wNn-1)2Dftmtx函数：用来计算DFT变换矩阵A的函数调用方式A=dftmta(n)：返回nxn的DFT变换矩阵A。若x为给定长度的行向量，则y=x*A,返回x的DFT变换v。(1) Ai=conj(dftmtx(n)/n;返回nxn的IDFT变换矩阵Ai。应用说明【实例1】>>A=dftmtx(4)>>Ai=conj(dftmtx(4)/4运行结果1.00001.00001.00

6、001.00001.00000-1.0000i-1.00000+1.0000i1.0000-1.00001.0000-1.00001.00000+1.0000i-1.00000-1.0000iAi=0.25000.25000.25000.25000.25000+0.2500i-0.25000-0.2500i0.2500-0.25000.2500-0.25000.25000-0.2500i-0.25000+0.2500i【实例1-a】求四点矩形序列的DFT。分别是16点和32点等间隔米样。%DFT的MATL酊算xn=1111;%输入时域序列向量xn=R8(n)Xk16=fft(xn,16);%计

7、算xn的16点DFTXk32=fft(xn,32);%计算xn的32点DFT泅下为绘图部分k=0:15;wk=2*k/16;%产生16点DFT对应的采样点频率(关于兀归一化值)subplot(3,2,1);stem(wk,abs(Xk16),'.');%绘制16点DFT的幅频特性图title('(a)16点DFT的幅频特性图);xlabel('3/兀');ylabel('幅度')subplot(3,2,5);stem(wk,angle(Xk16),'.');%绘制16点DFT的相频特性图line(0,2,0,0);titl

8、e('(b)16点DFT的相频特性图')xlabel('3/兀');ylabel('相位');axis(0,2,-3.5,3.5)k=0:31;wk=2*k/32;%产生32点DFT对应的采样点频率(关于兀归一化值)subplot(3,2,2);stem(wk,abs(Xk32),'.');%绘制32点DFT的幅频特性图title('(c)32点DFT的幅频特性图');xlabel('3/兀');ylabel('幅度')subplot(3,2,6);stem(wk,angle(Xk3

9、2),'.');%绘制32点DFT的相频特性图line(0,2,0,0);title('(d)32点DFT的相频特性图');xlabel('3/兀');ylabel('相位');axis(0,2,-3.5,3.5)实验结果DFT的结果，并画出其结果图，如图1所示。图1有限长序列的DFT结果图程序N=16;n=0:1:N-1;%时域采样xn=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4);k=0:1:N-1;%频域采样WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.Ank;Xk=xn*WNnk;subpl

10、ot(2,1,1)stem(n,xn);subplot(2,1,2)stem(k,abs(Xk);运算结果Xk=Columns1through50.0000-0.0000-8.0000i-0.0000-8.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000iColumns6through10-0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000iColumns11through150.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.

11、0000+8.0000iColumn160.0000+8.0000iDFT的性质两个序列x(n)和x2(n)都是N点有限长序列，设X(k)=DFTx1,X2(k)=DFTx21、线性DFTax(n)+bx2=aX(k)+bX2(k),式中a,b为任意常数。2、圆周移位一个有限长序列x(n)的圆周移位定义xm=xnmNRN(n)式中，x(n+m)n表示x(n)的周期延拓序列y(n)的移位x(nm)N=x(nm)有限长序列圆周移位后的DFT为Xm(k)=DFTg(nm)hRN(n)=w"nX(k)【实例3】求有限长序列x(n)=8(0.4)n,0<n苴20的圆周移位xm(n)=x(

12、n+1O)2oR2o(n)。并画出其结果图，如图52所示。OiriginalSequence5<"-1KX!*-_J?A6B10121d161820nCircularShiftSequenceV2300mmo一LdB6420图5-2有限长序列的圆周移位结果图程序N=20;m=10;n=0:1:N-1;x=8*(0.4).An;n1=mod(n+m),N);xm=x(n1+1);subplot(2,1,1)stem(n,x);title('OriginalSequence');xlabel('n');ylabel('x(n)');s

13、ubplot(2,1,2)stem(n,xm);title('CircularShiftSequence');xlabel('n');ylabel('x(n+10)mod20');输出结果：x=Columns1through88.00003.20001.28000.51200.20480.08190.03280.0131Columns9through160.00520.00210.00080.00030.00010.00010.00000.0000Columns17through200.00000.00000.00000.00003、圆周卷积假设

14、Y(k)=X1(k)X2(k)则有N4NJY(n)=IDFTY(k)=、xjm)x2(n-m)N】RN(n)=x2(m)x(n-m)N】RN(n)mzSm-0用。表示圆周卷积，则上式可化简为y(n)=IDFTX1(k)X2(k)=x(n)：x2(nx2(nx1(n)MATLA的部用于计算圆周卷积的函数Circonv程序如下：实例4求序列x1=12345;x2=123454321的圆周卷积。4. %exa2-6_circle_conv.m,forexample2-6%totestcircle_conv.mclear;x1=12345;x2=123454321;N=length(x1)+lengt

15、h(x2)-1;n=0:N-1;n1=0:N-2;y1=circconv(x1,x2,N);y2=circconv(x1,x2,N-1);y3=circconv(x1,x2,N-2);x1=x1zeros(1,N-length(x1);x2=x2zeros(1,N-length(x2);Xf1=dft(x1,N);Xf2=dft(x2,N);Xf=Xf1.*Xf2;x=idft(Xf,N);x=real(x);subplot(231)stem(n,x1)title('x1(n)')subplot(232)stem(n,x2)title('x2(n)')subpl

16、ot(233)stem(n,x)title('x(n)=IDFT(X(k)')subplot(234)stem(n,y1)title('N点圆周卷积')subplot(235)stem(n1,y2)title('N-1点圆周卷积')subplot(236)stem(n2,y3)title('N-2点圆周卷积')实验结果共轴对称性令x(n)的共轴复数序列为x*(n),则DFTx(n)=X(N-K)n用xr(n)和为(n)分别表示序列x(n)的实部和虚部，即x(n)=x(n)jxjn)x(n)=1x(n)x(n)2xjn)=1x(n)x(n)2用XR(k)和X,(k)分别表示实部