定积分基本公式

1、定积分基本公式定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.第二节微积分基本公式、变上限的定积分x设函数f(axbxx值，因此Lf(t)dt是变上限x的一个函数，记作中(x)=Lf(t)dt(a<x<b)通常称函数中(x)为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示定理1如果函数f(x)在区间a,b上连续，则变上限积分dx(x)=f(t)dt=f(x)在a,b上可导，且其导数是dx'a推论连续函数的原函数一定存在.且函数中(x)=Lf

2、dt即为其原函数.)在a,b上连续，xMa,b,丁是积分Lf(x)dx是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是x既表示积分上限，乂表示积分变量.为避免混淆/fe们把积分变量改写成t,丁是这个积分就写成了af(t)dty=f(x)_当X在a，”(虹1变动时，对应丁每一个xx值,积分Lfdt就有-个确定的x(x)=af(t)dt2,计算中(x)=foSintdt、项兀在x=0,2处的导数.dx2=sinx2,故sintdt因为dx0,.2中'(睿)=sin=迎(0)=sin0=0.24例2求下列函数的导数:e.f(t)dt=F(x)C。a法则，有这里中(x)是X的复合函数,其中中间变量u

3、=ex,所以按复合函数求导dxdudxInexxe=x1sin；du(x.0)ddrx2sin心dsin上解dxdx"u品)sinx2sinx2x=、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式定理2设函数f(x)在闭区问a，b上连续，乂F(x)是f(x)的任一个原函b数，则有af(x)dx=F(b)"(a)x,、I,(x)=f证由定理1知，变上限积分af(t)dt也是f(x)的一个原函数，丁是知(x)-F(x)=C。,C0为一常数，即我们来确定常数C0的值，为此，令x=a,有Lf(t)dt=F(a)+C。，得Co=-F(a)xf(t)dt=F(x)-F(a)因此有a

4、b再令x=b,得所求积分为Lfdt=F(b)-F(a)因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得baf(x)dx=F(b)-F(a)其中F(x)=f(x)上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：bbf(x)dx=F(x)a=F(b)-F(a)求定积分:21(x-)dx(2)2仲i*'x(1x)；保)dx解(1)2dx=：(x232项x八,1x=(d+2x)x3x21(2)2Jx(1-x)dx二2.,口2二2；2而*而=2arcsin.x|-arcsip0.3398.(3)火2在T，1上写成分段函数的形式f(x)x,-1三x0,

5、x,0_x_1,VX2dx=°(_x)dx+xdx=_m0+?；T丁是JJ'，J°2-120cosx2e1dt.-ilim2例2计算7x.0解因为XT0时，cosxt1,故本题届0型未定式，可以用洛必达法cosx上2则来求.这里edt是x的复合函数，其中u=cosx,所以ddxcosx上2edt_cos2=e._cos2x=-sinxe,丁是cosx2edt12x2.-sinxe.-sinxKx=limlimex102xx°2x-e212e.思考题x2.，2,sintdtf，(x)=?2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数f(x)在积分区间a,b上连续.问当f(x)在a,b区间上有第一类问断点时，还能否用牛顿-莱