空间直线的方向向量及平面的法向量

1、2021/3/912021/3/921、空间直线的方向向量ld 平行的非零与直线向量C1D1B1A1CDABzxyO1AC例：直线的方向向量1A (1,0,1)C(0,1,0)d ( 1,1, 1)空间直线的方向向量和平面的法向量空间直线的方向向量和平面的法向量2021/3/932、平面的法向量n和平面 垂所直直在线的向量zxyOoFEC1D1B1A1CDAB11114,.ABCDABCDEFBEFn已知：正方体的边长为是中点， 是四分点，求平面的法向量B (4,4,0) E (4,2,4) F (3,4,4)BE (0, 2,4)BF ( 1,0,4)nBE nBF ( , , )nm n

2、k设240nk40mk1k 令4m2nn(4,2,1)2021/3/941基础命题两条直线平行或重合方向向它们的量互相平行2基础命题一条直线与一个平面平行或在一个平面内这条直线的垂直于该平面方向向量的法向量3基础命题两个平面平行或重合它们的法向量互相平行.三个基础命题三个基础命题2021/3/95MNLB1C1A1BCAzxyO解：如图，建立空间直角坐标系.ABCMNBBACNMBCACACBCBAABC平平面面的的中中点点，求求证证分分别别是是中中，例例：在在直直三三棱棱柱柱/:,1111190MN,cCCaAC221设设),(),(),(),(),(),(caBcaAcCaBaAC2202

3、02200020002000111则则),(),(),(02200aaMNcaNcaM),(100nABC的的一一个个法法向向量量为为易易知知平平面面ABCMNnMN平面平面/02021/3/96EFC1D1B1CDABA1zxyO解： 如图，建立空间直角坐标系.FDADAECDBBFEABDCBAABCD11111114平面平面平面平面的中点，求证的中点，求证分别是分别是中，中，例：在正方体例：在正方体:,EF),(),(),(),(),(),(),(),(4444404044000440400040001111BCADBCAD则则),(),(020244FE,),(zyxnADE1的的一一

4、个个法法向向量量为为设设平平面面),(),(244004DEDA024404011zyxxDEnDAn),(,21011ny令令,),(120211nFDA的的一一个个法法向向量量为为同同理理可可得得平平面面FDAADEnnnn1121210平平面面平平面面2021/3/97111111111154,4,8, ,.ABCDABC DABADAAE FAB DDEFABC、如图，在长方体中，分别为的中点，求：直线和平面所成角的大小EFC1D1B1CDABA1zxyO解： 如图，建立空间直角坐标系.1A (4,0,8) B (4,4,0)1C(0,4,8)1AB (0,4, 8)1BC ( 4,0

5、,8)11.ABCn设平面的法向量为1nAB1nBC ( , , )nm n k设480nk480mk1k 令mn22(2,2,1)nEF ( 4, 2, 4) E (4,2,8) F (0,0,4),EF n 设的夹角为cos|EF nEF n 8911EFABC设直线和平面所成角为sin|cos|8911EFABC直线和平面所成角为8arcsin92021/3/98111111111164,4,8, ,.ABCDABC DABADAAE FAB DDABCC、如图，在长方体中，分别为的中点，求：二面角的大小C1D1B1CDABA1解： 如图，建立空间直角坐标系.zxyO1A (4,0,8)

6、 B (4,4,0)1C(0,4,8)1AB (0,4, 8)1BC ( 4,0,8)11.ABCn设平面的法向量为1nAB1nBC ( , , )nm n k设480nk480mk1k 令mn22(2,2,1)n11nBCC平面的法向量为(0,1,0)1, n n 设的夹角为cos11|n nn n 231ABCC二面角的大小为2arccos32021/3/991111111111174,4,8, ,ABCDABC DABADAAE FAB DDBABC、如图，在长方体中，分别为的中点，求：点 到平面的距离.C1D1B1CDABA1解： 如图，建立空间直角坐标系.zxyO1A (4,0,8)

7、 B (4,4,0)1C(0,4,8)1AB (0,4, 8)1BC ( 4,0,8)11.ABCn设平面的法向量为1nAB1nBC ( , , )nm n k设480nk480mk1k 令mn22(2,2,1)n1B (4,4,8)1BB (0,0,8)11BABCd点 到平面的距离1|n BBn 832021/3/91011,2,3,.ABCDABACADABACADABCD、已知三棱锥的三条侧棱、两两垂直，且求顶点 到平面的距离DCAB解：如图，建立空间直角坐标系.zxyOA(0,0,0) B(1,0,0) C (0,2,0) D(0,0,3)BD ( 1,0,3)BC ( 1,2,0).BCDn设平面的法向量为nBD nBC