随机响应的动态有向小世界模型

1、随机响应的动态有向小世界的标度行为文中描述了一种小世界网络的动态模型，其中用有向的边来描述社会和自然现象中各种各样的的相关性。利用节点对输入信息的随机响应的来模拟真实系统。这些因素间的相互影响导致了用来描写整个网络的类自旋变量S（t）的整体动态演化。全局平均传播距离（L）和平均传播时间（T）以不同的指数a按口一咋1口川的形式满足标度关系。当N>>N*时S（t）表现为双重标度的函数形式S、八/广,力其中p和q分别是重连参量和外部变量，aBY是标度指教团是个普适函数。这里我们也讨论了模型的可能应用。许多自然，社会和经济体系都可以用网络来描述，用节点代表agents,边代表他们之间的关系

2、。在具有复杂拓扑结构的网络中，小世界网络（SWN是基于一个高度规则连接的点阵，将节点问原来的一部分边p用随机的重新连接的边代替。它在复杂网络研究过程中扮演了一个非常重要的角色，比如物理领域中的各种各样的问题及其它许多问题。小世界网络的（SWN拓扑结构对网络的动态特性有至关重要的作用，作为一个研究网络过程的平台，Watts,Lago-Ferna'ndezetal.和Kuperman,Abramson已经分析了许多实际问题。模型中单个agents的活动随时间演化，再考虑彼此间的相互联系便会形成系统响应，在这个过程中网络的连接保持不变。然而大多数社会或生物系统中的相互作用并不是静态的而是随时

3、间变化的。当边两端的节点状态随时间变化时，他们之间的相互关系也会相应地改变。这种影响会产生全新的动态标度特性，这在以前的工作中并没有发现。假设在没有广告的情况下，一种便携式日用品的新品牌在一家商店独家出售。商品的信息是通过在人群中展示它才传播出去，每一个新的买主便可能是一个信息源，这就会改变销售过程中他或她在人群中的角色。同时，人与人之间的关系也在不停地改变；他们并不只是固定的消费行为。当具有各种可能潜伏期（感染但是不会传染的）的接触性传染病毒通过一个熟人网络，从第一个病人开始传播时，类似的事情就会发生。当一个感染者最后变成传染者时，他便改变了同其他人之间的关系角色。在大多数信息或疾病的传播过

4、程中，有效的相互作用是不对称或非定向的这已经被广泛地研究过。两节点之间边的方向依赖于他们各自的状态。例如，病毒从感染者传染到易感染者过程中便定义了一个从前者指向后者的动态连接。同时，在两个感染者之间或两个易感染者之间的任何连接对于疾病的传播是无效的。另一个例子，作为展示小世界网络影响的一些特殊的食物网，可以用内在的有向的营养链来描述，并且它们的结构也随时间而变化.这些模型能够说明人类然污染或自然界中的灾难是如何在不同食物链等级中的物种之间传播的。最近,在二维有向小世界网络中发现了非平衡态相变。通常，真实系统中的个体不会同时对输入信号作出反应。感染相同传染病的人，病毒在他们体内的潜伏期并不同，这

5、取决于他们对病毒的抵抗力。同样，在获得该日用品的信息到买的行为之间的时间间隔也会随各个买主的消费能力的不同而变化。总而言之，在这个动态发展过程中总是存在随机张弛或随机响应。这篇论文中我们描述了上面提到的三种因素一一动态变化的相互作用，连接的方向性和agents的随机响应一一在真实系统它们交织在一起。这些因素的相互作用使我们产生了做这个工作的动机。我们将这些因素结合在一起形成了一个定向的动态小世界网络(DDSWN)我们用它来模拟实际的传播过程。利用这个模型，通过进行数值分析，我们获得了信息传播的动态尺度效应特性和系统对信息的整体响应，这些结果以前没人发现。我们根据以下的原则建立模型：(i)构造一

6、个配位数为2z的重连的一维圆形点阵。从全部的N个结点中任意地选出一个结点，标记为j,作为唯一的一个状态为自旋向上的起始种子，而其它节点(iwj)处在自旋向下的状态。种子是第一个向与其相连的节点发出自旋反转信息的结点。(ii)考虑到不同结点对信息响应的差异，我们定义了响应时间M作为每个节点i从接收到信息到转变为自旋向上状态的弛豫时间,并且随机变量ri服从概率分布P(M).在这篇论文中我们考虑两种类型的概率分布，均匀分布和泊松分配。前者可写为P(ri)=9(ri)9(q-ri)/q,其中9(x)是阶越函数，当x<0时候为0和当x>=0时候为1,q是一个表征分布宽度的参数。其中ri均匀地

7、分布在0和q之间，平均值为q/2。对于后者，我们利用离散的泊松分布产修J=/£*/我!,其中k是的整数部分，q是它的平均值。在两种分布形式中，参量q都是用来衡量随机响应时间的平均值和两者之间的差异。（iii）我们假设ri的空间分布是与时间无关的，但在每一个单位时间5内，DDSWN的连接都会更新；也就是说，在任何=，八时刻（v是个正整数），就会有一个含新边的小世界网络（SWNM一维规则圆形点阵中产生一一通过重连相同数量的p条边，从而我们便得到动态变化的小世界网络。（iv）所有节点自旋状态的演化具有相同的方式。当一个自旋向下的节点接收到信息后，在弛豫时间的最后时刻它跃迁为自旋向上的状态并

8、保持在这个状态，并能够发送相同的信息。因此，这个动态SWN的连接是定向的，因为信息只能从自旋向上的状态传递给自旋向下的状态，其它任何形式的连接都是无效的。实际上，连接的定向性反映了自然界中扩散过程的不可逆性。对于非定向的和静态的SWN,可利用特征路径长度来描述小世界效应,Mmp）其中尺度效应函数在时极限为我“，时极限为'I3,A""T是区分大小世界区间的临界规模。然而在DDSWN并不是所有节点彼此间都是有效连接在一起的，因为只有那些从自旋向上的节点连接到自旋向下的节点间的连接才是有效的。因此，在现在的模型中失去了它原来的意义。为了研究信息在DDSWN弁信息传播的有多

9、广和多快,我们引进与时间相关的平均传播距离，亿/三个93,阳=人和平均传播时间加三工""/£，1小是个时间标记。，也是在（/一1）和.时刻之问所产生的信息接收者的数量，是从最初的种子节点到这些接受者之间的平均距离。我们通过数值模拟来计算它们，在对普的随机配置和初始种子位置的选择至少50次后，将所得的结果整体取平均获得数据。得到的结果在图1和图2中给出。我们发现对于给定的明口z平均的路径长度/）（这里我们直接表明与时问相关，忽略角标月）随时间单调增加，最后达到与p相关的饱和值（6（见图1和图2左上角的插图），表明了p因大小有限而产生的影响。计算过程中算得的乙的总和告

10、诉我们所有的节点都能够或早或晚被访问到，这表明动态模型比静态定向SWN型更适合用来描述传播过程。因为在饱和状态下（八和的大小与时间无关所以我们用它们来表征网络的全局属性。与静态swnS与方程（1）表示的标度关系几刈“）相对应，DDSWNS相应的量为,对于给定的p它与lnN正相关（图1和图2中右下部），但对于给定的NIK与p成幕律关系八（见图1和图2的主图，直线的斜率为一勺.）o因此我们得出一个新的标度公式（»工pflnN.（2）分别从图1和图2的数据得出al=0.14±0.02（均匀分布）al=0.160±0.005（泊松分布）。同时，平均传播时间Tstfc表现出

11、与Ls同样的形式，但斜率不同。分别从图3和图4中提取数据我们得到均匀分布的斜率为at=0.29±0.01,泊松分布的斜率为at=0.245±0.006。来自初始的种子节点的信息经过树状的路径，Ls和T盼别是信息到达最终的节点的最大路径距离和传播时间。Ls和Ls的标度关系是DDSWN型的特有特征。模拟表明饱和的L和T对p的依赖源于动态变化的连接和有限大小的影响，标度关系式中的lnN因子源于SWN背景的几何学特性，而Pat因子则源于有向连接的传播机制，与普通的SWNS1的行为是不同的。指数al和at仍然依赖弛豫时间的特殊分布形式。另一方面，可以预见，在大世界区域中，当NN”的时

12、候N。现在我们研究一下S（t）的行为，它被定义为在时刻t（被分为Nt时间段）自旋向上的所有节点的数量。它描述了状态为自旋向上的节点的比例，它在t时刻的导数S'，反映了在时刻t时自旋向下的节点跃迁为自旋向上的几率，因为这个模型中经过足够长的时间后所有节点都应该处于自旋向上的状态，也就是说t8时，S（t）-1.通过改变参量设置我们对S（t）进行数值计算。在均匀分布的情况下，对于固定的q,不同的p得到的结果绘于图5(a)。如果时间标度重新调整如"=。热科,则所有的曲线都可以整合到一起,如图5(b),5(b)中p0=0.1,B=0.20±0.005。对于泊松分布，我们调整了

13、时间标度，如图5(c)和5(d)所示，我们得到B=0.186±0.006。同一时刻，如果q也改变，我们也能利用时间标度调整人=/如)7小来合并曲线，如图6所示。从图中我们得到均匀分布的T=0.750±0.003和泊松分布的T=0.880±0.006,两者的牛=10。因此，我们有如下S(t)的标度公式：SS(pdgYf)三于,(3)其中=/唾和/团是一个已知分布的普适函数。这里的响应时间的分布是反映节点惯性的phenomenological函数。其它形式的函数也能应用于特定的系统。对于不同的分布，我们的模拟结果表明在DDSWNs中存在共同的的动力学标度行为，并且只有

14、指数的数值依赖于分布的形式。对于一个特定的过程，响应时间有明确的含义。例如，一个新型日用品的销售问题，ri表示一个消费者在知道和买这个日用品之间所延迟的时间，q与人们消费能力的差异相关。另一个例子，食物网中通常有一些定向的从底层物种指向最高层物种的连接，并且有用lnN标度的平均营养距离.在DDSWN型中它们全部具有<L>s的典型数值。这表明在某种意义上这种模型(信息从起始节点沿着信息传播的路径进行传播)能够体现食物网的特点，也就是说，在自然环境中我们能够看到基于SWN景的等级结构。对于疾病传播的问题，M代表潜伏期。我们能够用<L>和<丁沫估算一定范围内的疾病传播速

15、度。同样我们利用经验参数的知识如p和q也可能预测疾病传播的发展状况，尤其是它的峰值时间，反之亦然。最近，在量子和经典传播问题中发现了SWNS的lnN标度行为。附图FIG.1.Log-logplotofsaturatedaveragep;ilhlengthvsp,inthecaseofuniformdistributionofrt.TwoLineshavethesameaverage>lope,0.86.Upper-leflinsei:(L)vs/forthecuivewiihsymbols(+)inthemainpanelLower-righiinset:log-linearrelati

16、onofvsAr.Otherparametersforthesecurvesarez=5andq=10.-:'a2.0FIG.2ThesameasthoseinFig.1,butforPoissondistributionof%Inthiscasetheaverageslopeoflinesinthemainpanelis0.84.FIG.3Saturatedaveragespreadingtimevspfortheuniformdistributionoftheresponsetime.OtherparametersarethesameasthoseinFig.1.Theaverag

17、eslopeofthelinesinthemainpanelis0.81.5.0-2.0-3.0P-oxceOjOOBgacXJjOSgjOIg.5OFIG.4.ThesameasthoseinFig.3,butforthePoissondistributionoftheresponsetime.OtherparametersarethesameasthoseinFig.2Theaverageslopeofthelinesinthemainpanelis0.755.FIG.5.Theratioofspin-upsitesvstimet(a),(c)andvsrescaledtimetsc=(p/pot(b)Jd)fortheuniform(a)Jb)andPoisson(c),(d)distributions.p0=0.1isusedOtherparametersareN=2000.z=5,andq=10.(a)(b)o.oq-gp-OQI0j8FIG. 6. The ratio of spin-up sites vs rsc (a),(c) and