信号系统复习大纲

1、信号与系统复习大纲（2015）第一章 信号与系统一、周期信号和非周期信号周期信号是定义在(-，)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。其特点是：周而复始且无始无终。连续周期信号f(t)满足：离散周期信号f(k)满足：满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。例1.2.2：判断下列各序列是否为周期性的，如果是周期性的，确定其周期。（1） （2） （3）解：（1），是周期序列，周期。（2），即：为有理分数，所以是周期序列，周期，当M5时，N取最小整数12，所以，其周期。（3），而为无理数，所以，是非周期序列。例1.2.3：判断下列信

2、号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1） （2）解：两个周期信号，的周期分别为和，若其周期之比为有理数，则其和信号仍然是周期信号，其周期为和的最小公倍数。（1）是周期信号，其角频率和周期分别为，是周期信号，其角频率和周期分别为，。由于为有理数，故为周期信号，其周期为和的最小公倍数。（2）和的周期分别为，由于为无理数，故为非周期信号。例1.2.4：判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1） （2）解：（1）sin(3k/4) 和cos(0.5k)的数字角频率分别为：，由于，为有理数，故它们的周期分别为，故为周期序列，周期为N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k)的数字角频率为，

3、由于为无理数，故为非周期序列。由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。二、能量信号与功率信号将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为，在区间(,)的能量和平均功率定义为：（1）信号的能量E：（2）信号的平均功率P： 若信号f (t)的能量有界，即0E ，则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P=0。 若信号f (t)的功率有界，即P 0，则将f()右移；否则左移。结论：1、连续信号和离散信号均可进行反转、平移操作。2、平移方向的确定：法一：若t0 (或k0) 0，则将f ()右移

4、；否则左移；法二：自变量整体置零。f(t)12Ot例1.3.3：已知：求：f（2-t）解：法一： 先平移f (t)f (t +2) 再反转f (t +2)f (-t +2)t-21f(t+2)0t021f(2-t)f(t)12Ot左移2单位反转0法二： 先反转再平移：故意直接对-t 进行平移（因为-t+2-t-（-2），t0-20，所以，左移两个单位）f(t)12Otf(-t)tO-21反转tf(-t)O-21-4因为-t+2-t-（-2），t0-21，则波形沿横坐标压缩到原来的1/a；若0 a 0，式（2）可写为，不难求得齐次解为，特解为3（2P=6）。于是有 （6）将初始值代入上式及其导数

5、，得：，将其代入式（6），得系统的零状态响应为 (a2)（3）全响应y(t)由式(a1)、(a2)可得系统的全响应为 其中，为自由响应，3为强迫响应（即特解）。例2.1-8描述某LTI系统的微分方程为若已知y(0+)=3，y(0+)=1，求该系统的零输入响应和零状态响应。解：本例中已知的是0+时刻的初始值，即 （1） 按上式无法区分零输入响应和零状态响应在t=0+时的值。此时，可先求零状态响应。由于零状态响应是指y(j)zs(0-)0时方程的解，因此本例中的零状态响应的求法和结果与例2.1-7相同，即由上式及其导数可求得，将它们代入到式（1）得：。本例中，零输入响应的形式也和例2.1-7相同，

6、即：将初始值代入，有由上式解得，于是得该系统的零输入响应为：二、卷积积分1、定义一般地，已知定义在区间（-，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积。记为LTI系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积积分，即：例2.3-2 设。求卷积积分 （1） （2） 解：（1）对于，当时为零，故其积分下限可写为：0；对于，当，即：时为零，故其积分上限可写为：t；同时，考虑到时，故有：由于积分上限应该大于积分下限，故上式在t0时成立，故应写为：（2）对于，当时为零，故其积分下限可写为：0；对于，当，即：时为零，故其积分上限可写为：t-2；故有：由于积分上限应

7、该大于积分下限，故上式在t-20时成立，故应写为：2、图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元： t换为得f1()， f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-)（3）乘积： f1() f2(t-)（4）积分： 从到对乘积项积分，即：计算积分注意：t为参变量。3、卷积积分的性质交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)（2.4-1）分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) （2.4-2）结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t) （2.4-

8、3）（2.4-4）（2.4-5）（2.4-6）（2.4-7）若则（2.4-8）若：则：（2.4-14）若：则：（2.4-15）f1()=f2()=0时，（2.4-16a）（2.4-17）2.24某LTI系统的冲激响应，当输入为时，其零状态响应，求输入信号。解：法一：时域法（卷积法） 特征根为=-2，激励，其指数为-1-2 设特解为P代入微分方程有：P=1，即特解为：齐次解设为：，则全解为：=0（因为此时f(t)未接入系统） =0=C+1 C=-1 法二：复频域法，时域卷积对应于复频域乘积，故有：，解得：，求得其逆变换为：第四章 傅里叶变换和系统的频域分析一、（周期信号的）傅里叶级数1、三角形是

9、傅里叶级数： 1）f(t)为偶函数纵坐标对称，(bn=0，展开为余弦级数，包含直流分量)2）f(t)为奇函数对称于原点，（an =0，展开为正弦级数，不含直流分量）3）f(t)为奇谐函数f(t) =-f(tT/2)（即：f(t)前半周期平移T/2后，与后半周期波形相对于横坐标对称）。只含奇次谐波分量，不含偶次谐波分量。4）f(t)为偶谐函数f(t) = f(tT/2)（f(t)前半周期平移T/2后与后半周期重合）。只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量。2、指数形式傅里叶级数：3、周期信号的频谱将An和的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为幅度（振幅）频谱图（简称幅度谱）和相位频谱

10、图（简称相位谱）如图4.3-1（a）、（c）所示。在频谱图中代表各谐波分量振幅和相位的垂线称之为谱线，每一根谱线所在位置的n值即为该次谐波的角频率。连接各谱线顶点的曲线（如图中虚线所示）称为包络线，它反映了各分量幅度随频率变化的情况。因为三角形式的傅立叶级数展开式中n0，故其振幅及相位谱仅在频谱图的右半平面，所以称这种频谱为单边谱。而指数形式傅立叶级数的展开式中n可以取任何整数，因此频谱图两侧都有谱线存在，故称之为双边幅度谱，即画出|Fn|和的关系，如图4.3-1（b）、（d）所示。（其中|Fn|=|F-n|=An/2）。若Fn为实数，也可直接画Fn（此时用Fn的正负来表示相位为0或），此时常

11、将幅度谱和相位谱画在一张图上（参看图4.3-3）。由图可见，周期信号的谱线只出现在频率为等离散频率上，即周期信号的频谱是离散谱。周期信号频谱的特点：1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性，谱线位置是基频的整数倍；2)一般具有收敛性，总趋势减小；3）谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。(b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密，幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。二、非周期信号的频

12、谱傅里叶变换1、傅里叶变换定义式（4.4-4）称为函数f (t)的傅里叶变换（积分），式（4.4-5）称为函数F(j)的傅里叶逆变换（或反变换）。F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱，而f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。也可简记为或F(j)一般是复函数，写为式中|F(j)|和分别是频谱函数F(j）的模和相位。R()和X()分别是它的实部和虚部。说明：(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件但非必要条件是在无穷区间内f(t)绝对可积，即：(2)用下列关系还可方便计算一些积分2、常用函数的傅里叶变换3、傅里叶变换的性质表4-

13、2 傅立叶变换的性质名称时域频域定义线性奇偶性f(t)为实函数f(t)为虚函数反转对称性尺度变换时移特性频移特性卷积定理时域频域时域微分时域积分频域微分频域积分相关定理R12()R21()F R12() = F1(j) F2*(j) F R21() =F1*(j) F2(j)4、周期信号的傅里叶变换 （4.7-8）周期信号fT(t)的傅立叶系数Fn与其第一个周期的单脉冲信号频谱F0(j)关系为：三、LTI系统的频域分析1、频率响应Y(j)=H(j)F(j) （4.8-3） （4.8-4） （4.8-5）2、无失真传输所谓信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的

14、先后不同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为即输出信号的幅度是输入信号的K倍，而且比输入信号延时了td秒。其频谱关系为： 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：(a) 对h(t)的要求：(b) 对H(j)的要求：，即四、取样定理所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号，记为fs(t)： 冲激取样：现在以冲激取样为例，研究如何从取样信号恢复原信号并引出取样定理。设有冲激取样信号，其取样角频率（为原信号的最高角频率）。及其频谱如图4.9-5(d)和(a)所示。为

15、了从中无失真地恢复，选择一个理想低通滤波器，其频率响应为幅度为，截止角频率为，即：如图4.9-5(b)所示。由图4.9-5(a)、(b)、(c)可见即恢复了原信号的频谱函数。时域取样定理：一个频谱在区间（-wm，wm)以外为0的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts1/(2fm) 上的样点值f(nTs)确定。 注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（1）f(t)必须是带限信号，其频谱函数在处处为零；（2）取样频率不能太低，必须fs2fm，或者说，取样间隔不能太大，必须Ts1/(2fm)，否则将发生混叠。通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特（Nyquist)频率；把最大允

16、许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。例：若对f(t)进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为fs，则对进行取样，其奈奎斯特取样频率为多少？解：奈奎斯特取样频率fs=2fm，为解决本题，需先求的最大频率fm。根据傅里叶变换性质：尺度变换时移特性得到：若原信号的最大频率为fm，则，即频域发生了展宽，展宽倍数为2，故其最大频率为：2fm，因此，其奈奎斯特频率为2fs例：已知信号f(t)=Sa(2t)，如图(a)所示，用对其进行取样。 (1)确定奈奎斯特取样角频率； (2)若取ws=6wm，求取样信号fs(t)=f(t)T(t),并画出波形图； (3)求Fs(j)=Ffs(t)，并画出频谱；

17、(4)确定低通滤波器的截止频率。（中科院2003年考研题）解:(1)确定奈奎斯特取样角频率；故，奈奎斯特取样角频率为wsmin=2wm=22=4(rad/s) (2) 取ws=6wm ,求取样信号fs(t)=f(t)T(t),并画出波形图；而ws=6wm=62=12rad/s，故:所以，(3) 求Fs(j)=Ffs(t)，并画出频谱；法一：直接对取样信号fs(t)进行傅氏变换；法二：对f(t)和T(t)进行傅氏变换，根据频域卷积定理求解。(采用此法)(4) 确定低通滤波器的截止频率。 截止频率应满足：wmwcws- wm，即：2rad/swc10rad/s。 第五章 连续系统的S域分析一、拉普

18、拉斯变换1、双边拉普拉斯变换结论：（双边拉普拉斯变换）1）对于双边拉普拉斯变换而言，Fb(S)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：2）不同的信号可以有相同的Fb (S)，但他们的收敛域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的Fb (S)必然不同！2、单边拉氏变换1）定义：单边拉普拉斯变换对可写为：2）典型变换对；常用的单元信号的拉氏变换如下表所示。f(t)F(s)f(t)F(s)f(t)F(s)13、拉普拉斯变换的性质表5-1 单边拉普拉斯变换的性质注：（0为收敛坐标）名称时域 f(t)F(s) s域定义线性a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)，=Resmax(

19、1,2)尺度变换f(at) (1/a)F(s/a)，=Resa0时移f(t-t0)(t-t0)e-st 0F(s) , =Res0复频移，=Res0+a时域微分f (t) sF(s) f(0-)，=Res0时域积分，=Resmax(0,0)时域卷积f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s)，=Resmax(1,2)时域相乘s域微分，=Res 0s域积分，=Res 0初值定理，F(s)为真分式终值定理，s=0在sF(s)的收敛域内例1：已知：，求和。解：由于F(s)为真分式，故有：由于sF(s)的极点坐标为，故其收敛域为Res0=-1，s=0点在其收敛域内，所以有：例2：已知：，求和。解：由于

20、F(s)为假分式，故将其化为真分式：，求取初值时，利用真分式即可：。由例1可知：s=0点在其收敛域内，故有：4、拉普拉斯逆变换若F(s)是s的实系数有理真分式（m0时输入为零（因为k=2时，(k2)=1）。所以，需要利用线性性质和移位不变性质（时不变性）求得系统的单位序列响应。令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k)，它满足h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) （2）且初始状态：h1(1) = h1(2) = 0令只有(k-2)作用时，系统的单位序列响应h2(k)，它满足h2(k) h2(k 1) 2h2(k 2)=(k-2) （3）且初始状态：h2(1) = h2(2

21、) = 0。根据线性性质，h(k) = h1(k)+h2(k)比较式（2）（3），根据移位不变性质（时不变性）得：h2(k) h1(k 2)所以，系统的单位序列响应为：（因为h1(k)上例已经求得）2）阶跃响应定义：由单位阶跃序列(k)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，记为g(k)。g(k)=T0,(k)。表3-3 几种数列的求和公式序号公式说明12可为正或负整数，但34可为正或负整数56可为正或负整数，但7三、卷积和1、卷积和的定义已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义为f1(t)与f2(t)的卷积和，简称卷积；记为注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i

22、为求和变量，k为参变量。结果仍为k的函数。1） f1(k)为因果序列。即k0时，f1(k)=0，所以求和下限可改写为0：2） f2(k)为因果序列。即k-ik时，f2(k-i)=0，所以求和上限可改写为k：3） f1(k)、f2(k)均为因果序列，则：例3.3-11），求零状态响应。2）求。3）求4）求5）求解：1）因为两个信号均为因果信号，所以求和上下限分别为k和0，即2）3）4） 由于上式中对k没有限制，所以可写为： 5）2、卷积和的图示卷积过程可分解为四步：（1）换元： k换为i得f1(i)，f2(i)；（2）反转平移：由f2(i)反转f2(i)右移kf2(k i)；（3）乘积： f1(i) f2(k i)；（4）求和： i从到对乘积项求和。注意：k为参变量。3、列表法求