角平分线模型的构造(同名22848)

1、第二讲角平分线模型的构造3月角平分线(I) 定义：如图2-1，如果/ AOB = / BOC，那么/ A0C=2 / AOB=2 / BOC，像 OB 这样，从一个角 的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线， 叫作这个角的角平分线.图 2-3 (a)如图2-3(b)，：/仁/2，Z 3=Z4, 求证：AP平分/ BAC .MM(b)假设过P点作PQ/ON交OM于点Q,如图 2-2(d),可以构造厶POQ是等腰三角形，可记为“角 平分线十平行线，等腰三角形必呈现 例1(1) 如图 2-3(a),在厶 ABC 中，/ C=90。，AD 平分 / CAB， BC=6cm，BD=4cm，那么点 D

2、到直线AB的距离是cm.(2) 角平分线的性质定理 如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个 角分成两个相等的角， 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3) 角平分线的判定定理在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重 合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这 个角的平分线，在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大根本模型，P是/ MON平分线上一点，(I)假设PA丄OM于点A，如图2-2(a)，可以过P 点作PB丄ON于点B，那么PB= “图中有角平分线， 可向两边作垂线 假设点A是射线OM上任意一点，如图2-2

3、(b)， 可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造 OPB s“图中有角平分线，可以将图对折看，对称 以后关系现.假设AP丄OP于点P,如图2-2(c)，可以延长 AP交ON于点B,构造 AOB是等腰三角形，P 是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三 线合一试试看.例2如图 2-4(a), Rt ABC 中，/ ACB=90 ° , CD丄 AB，垂足为D. AF平分/ CAB ,交CD于点E, 交CB于点F求证：CE= CF.例3阅读以下学习材料：如图2-5(a)所示，0P平分/ MON，A为0M上一 点，C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截 取OB =OA，连接BC(

4、如图2-5(b)，易证 AOCBOC.请根据上面的学习材料，解答以下各题：(I)如图2-5(c)所示，在厶ABC中，AD是厶BAC的 外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试 比拟PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.将图2-4(a)中的 ADE沿AB向右平移到 A， D，E，的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不 变，如图2-4(b)所示试猜测：BE'与CF有怎样的 数量关系？请证明你的结论.如图2-5(d)所示，AD是厶ABC的内角平分线， 其它条件不变，试比拟PC PB与AC AB的大 小，并说明理由.图2-5 (d)例4如图2-6(a),等腰直角三角形 ABC中，/A

5、=90°, AB=AC , BD 平分/ ABC , CE丄 BD , 垂 足为点E,求证：BD=2CE.如图2-7(b), BD、CE分别是 ABC的内角平分线，其它条件不变；如图2-7(c), BD ABC的内角平分线，CEABC的外角平分线，其它条件不变，那么在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC还 平行吗？它与 ABC三边又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。(1)如图2-7(a), BD、CE分别是 ABC的外角平分线，为D、求证：过点A作AD上BD、AE丄CE,垂足分别E,连接DE.DE / BC, DE=j(AB+BC+AC)

6、;变式如图2-8,在厶ABC中，AB=3AC, / BAC的平分 线交BC于点D，过点B作BE丄AD，垂足为E, 求证：AD=DE(4) 如图2-9(d), BD平分/ ABC , CD平分外角/ ACG. DE / BC 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F 线段 EF与BE、CF有什么关系？并说明理由.例6如图 2-9(a), AB=AC , BD, CD 分别平分/ ABC , / ACB .问：(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形？过D点作EF/ BC,如图2-9(b)，交AB于点E, 交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形？ 如图2-9(c)，假设将题中的厶ABC改为不等边 三

7、角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？ 直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？A图 2-9 (c)如图 2-9(e), BD、CD 为外角/ CBM、/ BCN 的平分线，DE / BC交AB延长线于点E,交AC 延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什 么关系？例7如图2-10(a)所示， ABC中，AC=BC , / C=90°, AD 平分/ CAB ,求证：AB=ACD变式1如图2-11所示， ABC中，AB=AC , / A=108 ° , BD 平分/ ABC.求证：BC=AB + CD.例8如图2-13(a), OP是/ MON的平分线，请你利用

8、该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角请你参考上图构造全等三角形的方法，解答以下问 题：(1)如图2-13(b),在厶ABC中，/ ACB是直角，/ B=60°, AD、CE 分别是/ BAC、/ BCA 的平分 线，AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD 之间的数量关系；变式2如图 2-12, ABC 中，AB=AC , / A=IOO BD 平分/ ABC ,求证：BC=BD + AD.如图2-13(c),在厶ABC中，如果/ ACB不是直 角，而(I)中的其他条件不变，请问，你在1中 所得结论是否依然成立？假设成立请证明；假设不 成立，请说明理由.牛刀小试(I)如图

9、 2-14 (a),在厶 ABC 中，/ ABC 与/ ACB 的角平分线相交于点 F,过点F作DF / BC,交 AB于点D,交AC于点E,假设BD+CE=9，那么线 段DE之长为C3、如图 2-16，四边形 ABCD 中，/ B+ = D=180°, BC=CD.求证：AC平分/ BAD.(2) 如图2-14(b)，在 ABC中，BD、CD分别平分 / ABC 和/ACB , DE / AB , FD / AC., BC=6, 求厶DEF的周长，图 2-14(b)4. 如图2-17, ABC的外角/ACD的平分线CP与 内角/ ABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP, 假设/

10、 BPC=40。求/ CAP的度数.2.：如图 2-15,Z BAD= / CAD , AB>AC , CD丄AD于点D.H是BC中点.1求证：DH =(AB AC).25. ：如图2-18,在四边形中，BC>AB , AD=CD , BD 平分/ ABC.求证：/ A+ / C=180°假设/ ABC=90 ° , G 是 EF的中点(如图2-19(b，直接写出/ BDG的度数；6. 在平行四边形ABCD中，/ BAD的平分线交直 线BC于点E,交直线DC于点F.在图2-19(a)中证明CE= CF;(3) 假设/ ABC= 120°, FG/ CE, FG=CE，分别 连接DB、DG(如图2-19c，求/ BDG的度数.7. ：如图2-20,在厶ODC中