行列式典型例题

1、第二讲行列式综合训练第一部分例2.1计算行列式，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是零.Dn解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质.方法1利用性质，将行列式化为上三角行列式.nn_2-a1n1-(a-)a=aa方法2仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式.rn1Dn-c1cnn-a-an_2a-1c1展开Dn-a方法4(-1)Dn-aa利用公式将最后一行逐行换到第n-2最后列展开-(-1)nn-2-a-an2n2-a2行，共换了n-2次；将最后一列逐列换到第a-1方法3利用展开定理，将行列式化成对角行列式.n1+(-1)n2次.Dn=(-1)2(n-2)n_2anN方

2、法5利用公式例2.2计算n阶行列式:Dnabia1a?a2b2ananbb2bl=0)a1a2anbn解采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素a1,a2；|,an,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列,适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.1a1a2升阶0a1Hbia2Dn=0a1a2rb20a1a2an1anr2T-1r31an-1Tn|BI:a0bn-1aa2anb1000b2000bn,1q±cj1十曳十厘biBa!b1a1a2anbjj_0bi010j=2；J；n书00b2t0=b1b2bn(1'亘)bibn0这个题的特殊

3、情形是00bnaMx二a1a2a2xa1a2ananan|Xn=xn4(x二a)i1可作为公式记下来.例2.3计算n阶行列式:,a1Dna21an其中aia2"ian上0.解这道题有多种解法.方法1化为上三角行列式DnAa1-a11.肾a2T1q鼻qajj=2滑,nb01a2-a1an0i川i=2;,nDn=2日ZEann其中b=1pa1Ha1E-=a11，E-i=2ai法anai方法2升阶（或加边）升阶a1Dn1a21an111-1a10-10a2rrr-100ri-r：1i=2,3；-,n1anj±2：*n1方法3递推法.Dna?anDn改写为1a1按与拆开1a21an

4、a11a21人i1a11a2ai由于1a111a11a?a?iJ;,n1a2按Cn展开anDn日ZE因此Dn=anDn+4221'Hn为递推公式，而D1=1+a1,Dn=anDn1aa2an=a1a2an二a1a2aDn/1an1+an=a1a2a1D1an1+a2an二a1a2an&a2anaa21.an2x-1例2.4设f(x)=x-23x-2证明存在陷w(0,1)，使f'($)=0.x-34x-3证因为f(x)是关于x的二次多项式多项式,在b,1】上连续,(0,1)内可导，且-1-1f(0)=-2-3-2=0,f(1)=-3-1-2由罗尔定理知，存在Bp(0,1)

5、，使f雷)=0.一、一一a例2.5计算D=2a4abb2b4c2C4Cdd2d4解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解.方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作.r4刀2r3r3_air2划D=b-ac-ab(b-a)222、b(b-a)c(c-a)d(d-a)2/2c(c-a12)d2(d2-a2)5展开=(b-a)(c-a)(d-a)2,、c(ca)b2b(ba)d2d(dma)其中13拆开=(b-a)(c-a)(d-a)1r3_b2122期d二d3bb3dd3bb2dd2c-(c-dd(-db2b)=(c-b)(d-b)c(cb)d(db)=(c-b

6、)(d-b)d(db)-c(cb)由于bb2dd2是范德蒙行列式，故bb2dd2=(c-b)(d-b)(d-c)D=(abcd)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)方法2c2-Ac3-c1D=c4-c11a2a4a000b-ac-ad-a.2222.22b-ac-ad-a.4444.44b-ac-ad-ar1展开=(b-a)(c-a)(d-a)1ca(cbaa2)(ca)1dma(d2fa2)(dDa)c2T=(b-a)(c-a)(d-a)c3王1ba22(ba)(ba)00c-bd-bxyc,展开=(b-a)(c-a)(d-a)d-by其中x=(c-b)(a2|-b2

7、Ec2nac|bcflab),y=(d-b)(a2Hb2|-c2KadKbd|ab)D=(abcd)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)=(abcd)(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)方法3用升阶法.由于行列式中各列元素缺乏3次哥的元素，在D中添加3次哥的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：11111abcdxC22222D5=abcdx3.33.33abcdx4.44.44abcdxD5按第5列展开得到的是x的4次多项式，且x3的系数为A45=(-1)45D=-D又利用计算范得蒙行列式的公式得D5=(b-a)(c-a)(d-a)(x-a

8、)(c-b)(d-b)(x-b)(d-c)(x-c)(x-d)=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)_43.=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)x-(abcd)x其中x3的系数为(ba)(ca)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(aflbOc|d),3由x的系数相等得：D=(abcd)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)例2.6设|A|=1112-5112132334,计算A41+A42+A43+A44=?其中A4j(j=1,2,3,4)34A|中元素a4j的代数余子式.的和

9、工作量大.可将A4型A4#A4hA改写解直接求代数余子式1A411A421A431A,故A41+A42+A43+A44例2.7求解方程解方法1f(x)-x-5=(-1)41-6-6(n-1)-6-xf(x)i2=,n=(-1)nJx(x-1)(x-n2)由题设知(n2)xf(x)=(-1)n,x(x-1)(x-n2)=0所以K=0,x2=1,1,xn_L=n-2是原方程的解.，行列式方法2由题设知，当x=0,1,2，n-2时，由于行列式中有两列对应元素相同值为零，因此f(x)可写成f(x)=Ax(x-1)(x-n2)于是原方程f(x)=Ax(x1)(x-n|2)=0的解为：x=0,x2=1,=

10、n-2例2.8计算兀素为aij=|ij|的n阶行列式.解方法1由题设知，41=0,a12=1,a1n=n-1；,故0-sn-1010-fln-2ri工1二Ti当n,晶2n-1n-2-fl0111-1n-1nnDnn-1-1j4,nJ-2-2其中第一步用的是从最后一行起,方法2Dnn-2-2j=2,，nn-1例2.9计算行列式D=(_1)n,2T(n-1)逐行减前一行.第二步用的每列加第2n-3a20a1d2d10解方法1按第一列展开:a1D=a2d1C1bib2二(a2b2-d2c2)n列.n-1n-2ri-ri1i±2,一,nJn-1-d2a1d1C2b2a1d1-1n-2nJon

11、_2=(-1)2(n-1)C1b1C2=a2b2二(azbz-dzCz)方法2本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第D=(-1)2H3电电a1C1a2C2db1d2b2a1C1d1b1-d2c2a1C1d1b1(a1b1-d1G)2、3行，有:=(aad£)(a2b2d2c2)anbn例2.i0计算D2nbidi,其中未写出的元素都是0.dn2行（作2n-2次相邻解方法1利用公式采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作2n-2次相邻对换），得到D2n=Qi严Nanbn00cndn0000andbn.bididn=D2D2

12、（n/）=（andn一0）Dq=（Hndn一Hg）（2口dn一0）D如pn；二（andn-0a）（anKn-bn_lCn）（a1d1-2），】（-3）ii方法2利用行列式展开定理进行求解.bn0q展开D2n=anbidicn10dn4dn上面第1个行列式是0anabn(-1)12n的形式，而第C1d1dnj2个行列式按第1列展开,所以D2n=andnD2n/-bnCn(-1)2n'1=(andn-bnCn)口行)D2n_2(aidi-biCi)1-aa000-11-aa000-11-aa000-11-aa000-11-a二ii42.11计算D5方法1采用递推的方法进行求解.D51-a-

13、1c展开-a-a-1-a-a+(-a)(-1)511-a-1-1D5=D45(-a)(-1)51D4=D3M(-a)(-1)473,D3=D2F(-a)(-1)372,D2=1-aa223-a4D5=1-aa-aa-a方法2采用降阶的方法进行求解.rl(1-a)r2-1D5n1_aa2)r3r1<1.aa2%4)5(1-a-a2.12证明Dn方法1-a3)r-4an-a-21-aa-1-aa41-a-11-a-1-1-1an4递推法Dn+D2a22a-a1-aa2-1-101-a-fl-1-155142-a),(-1)(-1)=1-a'an=xa1xn1anxana。.xa1按第

14、1列展开，有n1anxa1Dn=xDn/+an=x日ZE(xDni-1x-1-1n-4=xDn4+an+anl)+an=x2、一.一Dni+anTx+annJaix-一anx-ann1n2n=xDi+a2x+anlx+an=x，第n列的xn,倍分别加到第1列上0-10C1-xc22xx-1Dn=00xan+xanan1anN方法2第2列的x倍，第3列的x2倍,-ai0-100-00x-10-03x0x-1-u02anxanjxanNanan_2anJ3-xa1Cix2C3-1按除展开x-1=(-1)nH1f-1xx-1=f其中f=an,anx-a1xn1-xn按Ci展开=(-1)n1fx=(-

15、1)n1f(-1)nJ=f0-10.-000x-11.J400C1版C2Hx%3+Hxn七Dn二000.x-1fan1anw-a2xDa1或其中f=an-an4x-a1xn4-xn方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.X00B-00X0H-000xB-0-aan,anan十ananan/十n,十nE-knXXXc2clx1rDn二1cn-cn1X一kn=Xn(an_1n_2+匹+a1+X)X,n1,n=ananX一一a1Xx按小展开方法4(-1)n1an0-10000-+x-1n2(-1)anJ+(-1)2n1a2X-100000-1+(-1)2ngX)n1n1n-2n.2=(1)(1)a

16、n+(1)(1)anjX+(-1)(1)a2Xn'+(1)2n(a1+x)xn1n=an-an4xa1xx例2.13计算n阶“三对角”行列式0000001Gt+PCjfi1Dn=01解方法1递推法.ItP00H-00按C1展开1b+q00Dn=R+P)Dn:000H-1H+p(n)按1展开DnNffl+P)DnJ-M即有递推关系式Dn=期7)Dn曜Dn_2(n_3)Dn®n,=P(Dn岳n/)递推得到Dn0n尸P(Dnl0/)-：Dn)”(D2-iD1)而D二目十*)D2=H2+Hp曜2,代入上式得由递推公式得Dn-：Dn=Dn=：Dn。(2.1)方法2ctDn=：Dn-n=

17、：(：Dn.1.n.n4n4-n=曜P+BJ-+Bpg+P把Dn按第1列拆成阶行列式Gt+10ItPgtPl+!B(n1)ot=四寸叫ItP上式右端第一个行列式等于aDn4,而第二个行列式g0B-00100000B-01P0H-001都十口H-00ci01PH-0-aiz2r»n一a0001-000B-1000B-11已与式相同.2.1）Dn=PnjL+Pn,0=3n于是得递推公式方法3在方法中得递推公式又因为当周十圜时81+PD2=1=（、/'I-）2-:-=：-2二：-20=（H+p）3-2H+p）Gt+P414=（：）1"）=一-Ct-P于是猜想Dn,下面用数

18、学归纳法证明.当n=1时，等式成立，假设当督时成立.当n=k+1是，由递推公式得Dy=（：）Jk-1Gt所以对于nWN+,等式都成立.感觉困难的同学可以放到,往往与后续内容联系较多.第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题,相关内容学习后再看.但应注意考研题中关于行列式内容的出题例2.14设A为3X3矩阵,|A|=-2,把A按行分块为A=A2,其中A(i=123)是A3-2AA的第i行，则行列式2A2=A1A3-*2A2A2AA3-2A1=2A2AiA3=2A2AiA=2与=2|A|=4A3例2.15判断题(1)若A,B是可乘矩阵,则|AB|=|A|B(2)若A,B均为n阶

19、方阵，则AB=AB.(1)错误，因为A,B不一定是方阵，即不一定有对应的行列式.(2)错误,例如取A=,B=3020A-B=1翳AB=5.例2.16证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零证At=-A,|A|=|At|=|-A|=(-1)n例2.1701,3分)设矩阵解由于|a|=(k3)r,r2-r4=(k3)k1A=1k3111111k-1k-1R(A)=1,故必有2Ca(AtBA)2C=23CAtB=2cAtB=23A2=2例2.19设3阶方阵A,B满足方程A2BAB=E，试求矩阵B以及行列式B,1解由其中A=-2A2BAB=E,得(A2E)B=A0E,即(AE)(A-E)B,2由于0s-2A

20、-E=-20010A-E=2E0例2.20设A为3阶方阵,一1.|A=2,求(1A)-3A的值.解方法1化为关于A的形式进行计算.利用公式*(A)，=%,A，一,A(1勺口-3A=2A3A2-3A=A-3A_一二一一一B=(A-E)(AE)(AE)=(A-E)|00所以lBl=1/2方法2化为关于A，的形式计算.利用公式(A)=1aA.,A*=邛,A-=,有lA2.21(数四，98,12AB=2nA=2A-3AA=-4AJ=(")=32()IA3分)设A,B均为n阶方阵,A=2,B=-3,求2AB1的值.B=2nA=2n2n122nJ-32.22若国(踮厩,陷息都是4维列向量，且4阶

21、行列式廊匹留-1,-2,-3,=m,计算4阶行列式做3国,觑邛1十口2的值.解如果行列式的列向量组为怛犀剧，则此行列式可表示为时解,跖用行列式的性质，有=-=1,=-2,=-3,-1=4国国虺3邛1+3,02,2,03例2.23计算行列式|A|,|B|,n-1(n-1)x-1-1BhBlxn-1(n-1)x解|A|n-1n-1-,n（n删）12!n-1n+x12qn-1+x2001!x-xcn-cj00Ix0二：二：rrrri卫中;nj二：督n-0x0-xOx!oox00-xx0100这是逆对角的上三角行列式，所以n(n1)囿二(一1尸(中即携2又|B|=n!,故°A=(_i)F"(她R|x)n!xn.BO2注这里用了公式：若A为m阶方阵，B为n阶方阵，则°A=(-l)mnAB.B°|Jr例2.24若A为n阶方阵，E为单位矩阵，满足AAT=E,IA|o,求aE|.解方法1由AAt=E有A|E|=|A|AAT=|A(EnAT)|=|A(EfflA)T=IA|(e!a)t|=|A|