谈谈等腰三角形的分类讨论

1、谈谈等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，它的边、角的特殊性在处理许多几何问题中起着很重要的作用，就是因为等腰三角形的特殊性，所以在具体处理问题时往往会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论，不能大意，那么在什么情况下就应该分类讨论呢、具体地讲有以下几种情形：一、 遇角需讨论例1（荆门市中考试题）已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）A，30°B，75°C，105°D，30°或75°简析因为等腰三角形的一个角是75°，所以这个角可能是顶角，也可能是底角.当75&

2、#176;是等腰三角形的底角时，则顶角的度数180°75°×230°；当75°是等腰三角形的顶角时，则顶角的度数就等于75°.所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°.故应选D.说明对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，以确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.二、 遇边需讨论例2（芜湖市中考试题）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于.简析已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行

3、分类讨论，即当5是等腰三角形的腰长，那么这个等腰三角形的底边长就是6，则此时的等腰三角形的周长等于16；当6是等腰三角形的腰长，那么这个等腰三角形的底边长就是5，则此时的等腰三角形的周长等于17.故这个等腰三角形的周长等于16或17.说明对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.三、 遇中线需讨论例3若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.简析可以画出如图1，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形，若设这个等腰三角形的腰长为x cm

4、，底边长为y cm，于是根据题意，得或解之，得或即当腰长是6 cm，底边长是9 cm；当腰长是8 cm，底边长是5 cm.说明注意这里求出来的解应接受三角形三边关系定理的检验.ABDC图2DBAC图4图1CBDA图3ACBD四、 遇高需讨论例4等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数简析依题意可画出如图2和如图3两种情形，显然，易求得如图2所示中顶角为45°和如图3中的顶角为135°.例5（黑龙江省中考试题）为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.简

5、析依题意可作出如图4、如图5和如图6所示，设等腰ABC中，AB10米，作CDAB于D，由SABC×AB·CD30平方米，可得CD6米，此时有：如图4，当AB为底边时，ADDB5米，所以ACBC（米）；如图5，当AB为腰且ABC为锐角三角形时，ABAC10米，所以AD8米，BD2米，所以BC2（米）；如图6，当AB为腰且ABC为钝角三角形时，ABBC10米，BD8米，所以AD18米，所以AC6（米）.DCBEA图7图5DBCA图8ABDEC图6BDAC说明三角形高是由三角形的形状所决定.对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在形内，当顶角是钝角时，腰上的高在形外.五、 遇中

6、垂线需讨论例6（北流市中考试题）在ABC中，ABAC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B.简析本题没有供图，按照题意我们可画出如图7和如图8所示.于是，如图7，当交点在腰AC上时，ABC是锐角三角形，此时可求得A40°，所以BC(180°40°)70°；如图8，当交点在腰CA的延长线上时，ABC为钝角三角形，此时可求得BAC140°，所以BC(180°140°)20°.故这个等腰三角形的底角为70°或20°.说明这里的图8最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画

7、出可能所画的图形，才能正确解题.六、 遇边为方程的解需讨论例7（哈尔滨市中考试题）已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2(2k+3)x+k2+3k+20的两个实数根，第三边BC长为5.（1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）k为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长.简析（1）略；（2）若ABC是等腰三角形，则有ABAC；ABBC；ACBC这三种情形.因为关于x的一元二次方程x2(2k+3)x+k2+3k+20可化为(xk2) (xk1)0，即x1k+2，x2k+1，显然，x1x2，即ABAC，故情形不成立；所以当ABBC或ACBC时，5是方程x2(2

8、k+3)x+k2+3k+20的根.即当x5时，原方程为k27k+120，解得k3或k4.当k3时，原方程的解为x15，x24，所以等腰ABC的三边分别为5、5、4；周长为14；当4时原方程的解为x16，x25，所以等腰ABC的三边分别为5、5、6；周长为16；所以当k3或k4时，ABC是等腰三角形，周长分别为14或16.七、 遇点坐标需讨论例8已知直线x2yk+6和x+3y4k+1，若它们的交点在第四象限内.（1）求k的取值范围；（2）若k为非负整数，点A的坐标为（2，0），点P在直线x2yk+6上，求使PAO为等腰三角形的点的坐标.图9AP1P2P3E2O6x五y简析（1）略；（2）由（1）知4k1，而k为非负整数，则k0，故直线x2yk+6为yx3.设P（x，y）为直线yx3上一点，如图9，作PEx轴于E.若使POPA，则应有OEAE，即E（1，0）.因为x1，所以y，即P1（1，）；若使POPA2，则x2+y24，即x2+(x3)24，所以5x212x+200，配方，得（x）2，即方程无解；若PAOA2，则(2x)2+y24