第十一讲无穷级数分解

1、第十一讲无穷级数一、考试要求1、理解(了解)级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念。2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。3、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌握交错级数的莱布尼茨判别法。4、掌握(会求)幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。5、了解幕级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幕级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。6、掌握ex,sinx,cosx,ln(1+x)与(1+x)a的麦克劳林

2、展开式，会用它们将简单函数间接展开成幕级数。7、了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在卜L,L上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0,L上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。、内容提要1数项级数(1)定义(2)性质：1)若：fun加括号发散二£Un发散；n1n1qQ2)若£Un收敛=limUn=0nWn二2正项级数(1)定义(2)判敛：1)0有界；2)比较法；3)比值法；4)根值法QO3交错级数工(-1)n“Unn14 一般项级数绝对收敛，条件收敛5 函数项级数幕级数：(1)收敛半径、收敛区间、收敛域(2) Abel定

3、理：若已知工an(x-x0)n在x=a点收敛(发散)，则n=0qQ当xX0<|aX0（xX0I>aX0）时2an（xX0）n绝对收敛（发散）。nz0（3）性质：连续，逐项求导，逐项积分6 函数的幕级数展开7 傅里叶级数(1) f(x+21)=f(X),VXI,(或只在-l,l上有定义，但在-1,1中可积)，则f(x)的付里叶级数定义为,、a0二：n二x,.n二x11.,、n二x,f(x)+£(ancos+bnsin)，其中an=-jf(x)cosdx,2njllllbn=1f(x)sinndx,n=0,1,2,称为f(x)的付里叶系数。ll（2）收敛定理：设f（x）定义在

4、（g,z）中（或只在-l,l上有定义），在-l,l上满足：（i）除可能的第一类间断点外均连续，（ii）只有有限多个极值点，则f（x）的付里叶级数在（,收）中（或只在-1,1上）处处收敛，且其和函数为c/、a0/n二xS(x)二(ancos2nWlbnsinf(x),x连续f(x-0)'f(x+0),x间断2f(-10)f(l-0)x=：l,2a(3)常见情况l=n,此时f(x)十£(ancosnx十bnsinnx)2nd1 二1二.其中an=1f(x)cosnxdx,bn=一1f(x)sinnxdx,n=0,1,2,n-ii-n(4)如果f(x)是-l,l上的偶函数，或定义在

5、0,l上的函数作偶延拓，则f(x)曳+£ancosn-,其中an=2ff(x)cosndx；如果f(x)是T,l上的奇函2nMll0l数，或定义在0,l上的函数作奇延拓，则f(x)Zbnsinn,其中n1l.21.,、,n二x.bn二一f(x)sindxl0l重要公式与结论1、对于级数ZUn,令Sn=£Uk,则n4kV(1)若£Un收敛，则ZUn=limSn=limSn，且limUn=lim(Sn-Sn)=04n/nnj二：nn)二二n一n、：nn)二：n"一qQ(2)若limUn#0,或该极限不存在，则ZUn发散。n)：-nnn42、设a,b都是非零常

6、数，则有(1)cO若Vn=4Un与£Vn都收敛，则工(ad+bVn)收敛;(2)若JUn和JVn中一个收敛，而另一个发散，则nNn4adZ(aUn+bVn)发散;n4(3)cdoOQO若£Un和£Vn都发散，则Z(aUn+bVn)的敛散性不确定。n=4n=4n=43、设心叫?发散。),如果PA1,则njmUn00,且ZUn和£Un都n=4n=4X-X0<X1x0QO4、若幕级数2an(x-Xo)n在处收敛，则对任何满足n4qQqQ£an(x-xo)n绝对收敛；若幕级数Zan(x-乂0)“在乂4处发散，则对任何满足n4n4C3Ox-X0X1

7、-x0的X,Z2H乂一乂0)“发散。n45、幕级数的变换公式QO(1)设工anXn的收敛域为1l,其和函数为S(x),f(x)是定义在R上的一个已知n4qQ函数，则Zanf(X)n的收敛域为I2=&wR:f(x)w11,且其和函数为S(f(x)；n4COQO6、对于任意项级数2Un,若Zn4n4Un(2)常用的变换是f(x)=(x-x0)k,其中k为正常数。发散，且是由比值或根值判别法判定的，则£Unn4也发散。7、几何级数£aqn，在q<1时收敛，且£aqn,=；当qA1时发散n=1n=11-q8、p级数Z；(或Z1-),当p>1时收敛，当p

8、£1时发散。ndnpn±inlnpncd9、'：nxn1=1;zx*'-+nxn，.n41(1-x)2-n2n=-1n1-x)%=xn4n2n10、若f（x）占0（x之1）且单调下降,则°°-beXf(n)与(f-(x)dx同敛散n=12x.x11、e=1+x+1+2!二(-1)nsiix(1)n/2n1)!nx卡一n!J(Fn2ncox八-xn/(2n)!23xxnd1n1(x)=x-(-1)2312n=1xxx1-xnx针n(1x)彳二(：-1)2：(二-1)(二-n1)n-二1：wx-x2-xn2!n!四、典型题型与例题题型一、数项

9、级数敛散性的判定解题思路：co1、若limUn#0,则£n_:：oOUn发散；否则进一步判断。2、若£Un为正项级数，先化简Un,视其特点选择适当的判别法:(1)(2)(3)(4)1,、1右Un中含有F（或方一二），nnInn则可与p级数（或对数p级数）比较；若Un中含有n的乘积的形式（包括n!）,则可考虑用比值判别法；若Un中含有形如af（n）的因子，则可考虑用根值判别法；以上方法均失效，则可利用已知级数的敛散性质,结合敛散的定义和性质，考察其收敛性。3、若£Un为任意项级数，则可用方法1和2判断£nJUn的敛散性qQ(1)若£Un收敛，则&

10、#163;Un绝对收敛;n4QO（2）若£Un发散，则看UUn是否是交错级数,n=4n=1若是，用莱布尼兹判别法判断£Un是否条件收敛。1、具体数项级数的敛散性例1、判断级数敛散性n-nn1、n(n)n例2、判定下列级数的敛散性1n11n1111,n1乙(-ln)，因为一Tn1,所以X(一一ln)n1nnnn2nnmnn1Z(1-cos-),因为n1n.二1.、Zsin(nn+),注:nyn-lnn1-cos'-y所以工(1-cos)收敛n2nnmn一1一.、，一f(x)=,f'(x)<0(x>0充分大)x-Inx收敛故11=sin单调递减，且u

11、nT0(nTg),从而乙(-1)sin条件收敛nlnn修nTnnL21)n1nn£sn詈绝对收敛,n1n£；发散，故J（吗吐nT、nndn）必发散2、抽象级数的敛散性（通常以选择题的形式出现）例3、设an>0且工an收敛，九(0,),则级数Z(-1)n(ntan)a2'nTn2n例4、例5、(A)绝对收敛,(C)发散(B)条件收敛(D)敛散性与人有关设八>0,an>0且zan收敛，则级数X(-1)n(A)绝对收敛,(C)发散n-1(B)条件收敛(D)敛散性与人有关卜列选项正确的是_(A)若：fUn收敛，则工U2必收敛n=4nJ(B)(C)(D)an

12、oO若un20单调下降且limun=0,则工(-1)nlnun必收敛n.n=1若Un之0且£、工收敛，则£Un必收敛n4qQ若£(T)"收敛,nz!nJ00则Zln(1+un)必收敛n1例6、若级数£a。与Z,都发散,n4n4QO(A)工(an+bn)发散，n1oO(C)£(an+bn)发散n1例7、(021)设un=0(n=1,2,3一),则oO(B)Zanbn发散n=1oO(D)Z(a2+b；)发散n1且lim=1,则级数J(-1)n41(+)unnd551(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性根据所给条件不能判定例8

13、(033)设pn=包二园qn=9二回n=1,2,，则下列命题正确的是22(A)若£an条件收敛，则£Pn与£qn都收敛.n1n1n1(B)若£an绝对收敛，则n1ZPn与£qn都收敛.ndn1(C)若£an条件收敛，则n1£Pn与£qn敛散性都不定.nTndqQqQqQ(D)若Zan绝对收敛，则£Pn与Uqn敛散性都不定n4nJn1qQ例9、(041)设£an为正项级数，下列结论中正确的是n1oO(A)若limnan=0,则级数Zan收敛.n-nn-n4qQ(B)若存在非零常数九，使得limna

14、n=九，则级数Za0发散n,nWqQ(C)若级数2an收敛，则limn2an=0.nnn4qQ(D)若级数Zan发散，则存在非零常数九，使得limna0=九.ndn3例10、(053)t,则下列结论发散.设ana0,n=1,2，若an发散，工(1)ann1n=1正确的是DOooDOoc(A)Za2n收敛，Za2n发散.(B)Za2n收敛，Za2nn1nToO(C)Z(a2n+a2n)收敛.n1n1n1cd(D)工(a2n-a2n)收敛n1qQ例11、(061)若级数£-an收敛,n1oO(A)工|an收敛.n1qQ(C)£anan书收敛.n13、含参数数项级数的敛散性则级数

15、(B)£(-1)%收敛.n1(D)克旦上巴凶收敛.nd2例12、判断下列级数的敛散性、叫2)(a0).小(a1)nn例13、判别级数三(一1-an,(a>0)的敛散性,当收敛时，进一步判断是绝对收n4n1a敛还是条件收敛？4、综合题例14、(设函数f(x)在(-,收)上有定义，在x=0的某个邻域内有一阶连续导数且f(x)、二.1.二1,lim-()=a>0,证明£(1)nf()收敛，而Zf()发散.X0xn1nndn例15(041)设有方程xn+nx-1=0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正qQ实根Xn,并证明当a>1时，级数ZX：收敛.n1题型二、求

16、函数项级数的收敛域及幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域解题思路：例16、求£女1-(厂的收敛域n1x.2n1例17、求£xn的收敛域.nd2n2n1n”，?(x-1)n的收敛域。oO例18、求幕级数v(-1)nn=1题型三、求函数项级数的和函数及级数的和解题思路:例19、U=n卫n!二1，一例20、求级数£-的和n/(n2-1)2n二an42n1例21、(063)求幕级数£(一)X一的收敛域及和函数s(x)ndn2n7例22、(051)求幕级数Z(-1片(1+一1)x2n的收敛区间与和函数f(x).nn(2n-1)题型四、函数的幕级数展开解题思路：例23

17、、将f(x)=arctan1一x展开为x的幕级数1 -x例24、(061)将函数f(x)=X2展成x的幕级数.2 x-x一一一一1例25、(073)将函数f(x)=人展开成x-1的品级数,并指出其收敛区间.题型五有关傅里叶级数展开的问题(数一)x0-x例26设f(x)=4,2-2x,-：x2,1<一一2,：二1cO一二：ancosn二x,-二：二x：二n=1其中an5=2(f(x)cosnnxdx,(n=0,1,2,)，贝US(-)=1.1f(0)f(-0)5111解：S(_)=S(_2_)=S(_)=S()=2222222例27设f(x)=nx+x2(-n<x<冗)的傅里叶

18、级数展开式为CO十£(ancosnx+bnsinnx),贝b3=n1-1解b3=31二1f(x)sin3xdx=，JI二，2、八，2(二xx)sn3xdx=二3qQ例28设f(x)在-n,n上二阶连续可导，f(x)-a1+Zancosnx,an是f(x)的傅里2nWqQ叶系数，证明£an绝对收敛.n11二一、，证an=f(x)cosnxdx=JlT51f(x)dsinnxn二,(-1)n冗，_f(x)sinnxdx=7Tf(二)-f(-二)1n2二1JI,_f(x)dcosnxJI2_.nf(x)cosnxdx-n由题设，存在M>0,使f"(x)<MZan收敛，从而Zan绝对收敛.例29*把函数f(x)=在0尸上展开成正弦级数，并利用所得展开式推出求和公411-111157oo_+_1111317ji解f(x)=Zbnsinnx,这里n1bn二一、.1)f(x)sinnxdx=-(jisinnxdx=(cosnx)2n1-(-1)n2n1n=2k-1一】n0,n=2ksin(2k-1)x,0:二x:二.JIx=,