练习册-第12章《真空中的静电场》答案

1、三、xdq(L+d X)dEdOdEdqqdx0L L d总场第12章真空中的静电场参考答案一、选择题1(D), 2(C), 3(C), 4(A) , 5(C) , 6(B), 7(C), 8(D), 9(D) , 10(B),、填空题0(1).电场强度和电势，EF/q。, Ua W/q。E dl (U0=0)a(2).q2q4 / 0 ,q1、q2、q3、q4 ;(3).0, / (2 0)；(4).R / (20);q1 1(5).0 ；(6).4 0rr°(7).2X 103 V ;(8).q°q1 14 0rbraA(9).0, pE sin ;(10).2 1 .

2、x a计算题1.如以下图，真空中一长为L带电细直杆，总电荷为 q，试求在直 杆延长线上距杆的一端距离为 d的P点的电场强度.解：设杆的左端为坐标原点 O, x轴沿直杆方向.带电直杆 的电荷线密度为 =q / L,在x处取一 电荷元dq = dx = qdx / L,它在P点 的场强：强为dx4 °L°(L d-x)2q40d L d方向沿x轴，即杆的延长线方向.2 .一个细玻璃棒被弯成半径为 R的半圆形,沿其上半局部均匀分布有电荷 +Q,沿其下半局部均匀分布有 电荷一 Q,如以下图.试求圆心 0处的电场强度.解：把所有电荷都当作正电荷处理 .在 处取微小电荷 dq = dl

3、 = 2Qd /它在0处产生场强dEdq4 0R22 0R2按角变化,d Ex d E sin将dE分解成二个分量:Q .22 sin d2 o Rd Ey d E cos对各分量分别积分，积分时考虑到一半是 负电荷xEyoR2/2sin do/2cos dsi nd = 0/2cos d/2所以E Exi Eyj2 oR23. “无限长均匀带电的半圆柱面，半径为R, 设半圆柱面沿轴线 OO'单位长度上的电荷为，试求轴线上一点的电场强度.解:设坐标系如以下图.将半圆柱面划分成许多窄条.dl宽的窄 条的电荷线密度为ddl -dR取 位置处的一条，它在轴线上一点产生 的场强为dE -2 d

4、2 oR 2 2 oR如以下图.它在x、y轴上的二个分量为:dEx=dE sin , dEy= dE cos对各分量分别积分Ex22 0Rsin0d2 0REy9cosd022 °R0场强EExiEyj2i0R4. 实验说明，在靠近地面处有相当强的电场， 电场强度E垂 直于地面向下，大小约为 100 N/C ;在离地面1.5 km高的地 方，e也是垂直于地面向下的，大小约为 25 N/C .(1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地 面到此高度大气中电荷的平均体密度；(2) 假设地外表内电场强度为零，且地球外表处的电场 强度完全是由均匀分布在地外表的电荷产生，求地面上的电

5、 荷面密度.(：真空介电常量 0 = x 10-12 C2 N-1 m-2)，取圆柱形高斯S平行地面)上下.rE1解：(1)设电荷的平均体密度为 面如图(1)(侧面垂直底面，底面 底面处的 场强分别为E1和E2,那么通过高斯面的电场强度 通量为：E2几 E dS = E2 S- E1 S= (E2- E1) S 高斯面S包围的电荷刀qi = h S 由咼斯定理(E2 E1) S= h S / 01 0 E2 E1 =x 10-13 C/m3 h(2)设地面面电荷密度为.由于电荷只分布在地外表，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2)由高斯定理1E *dS =qi0-E S=1 s0=-o E=

6、-x 10-10C/m35. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为=Ar (r < R) ,=0 (r > R), A 为一常量.试求球体内外的场强分布.解：在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的 电荷为2d qdV Ar 4 r dr在半径为r的球面内包含的总电荷为q v dV o4 Ar3dr Ar4 (r < R)以该球面为咼斯面，按咼斯定理有E1 4 r2Ar4/得到E1 Ar2/4 0 , (r < R)方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里.在球体外作一半径为r的同心高斯球面，按高斯定理有E2 4 r2 AR4/ 0得到E2 AR

7、4/ 4 0r2 , (r >R)方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里.6. 如以下图，一厚为b的“无限大带电平 板，其电荷体密度分布为=kx (0 < x<b)，式中k为一正的常量.求：(1) 平板外两侧任一点 Pl和P2处的电场强度大小;(2) 平板内任一点P处的电场强度；(3) 场强为零的点在何处？解：(1)由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方 向垂直于平面且背离平面.设场强大小为E.2SE作一柱形高斯面垂直于平面. 按高斯定理,E dSq/ 0，即1 bkS bkSb2其底面大小为S,如以下图.Eo Sdx oxdx002 oE = kb2 /

8、(4 o)得到(板外两侧)(2)过P点垂直平板作一定理有© XxdxkSb2柱形高斯面，底面为 S.设该处场强为E，如以下图.按高斯得到(0< x< b)(3) E =0，必须是x2 -0 , 可得x27. 一“无限大平面，中部有一半径为 圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为 以下图，试求通过小孔中心 O并与平面垂直的直线上各点的场 强和电势(选O点的电势为零).解：将题中的电荷分布看作为面密度为的大平面和面密度为一的圆盘叠加的结果.选x轴垂直于平面，坐标原点O在圆盘中心，大平面 在x处产生的场强为Ei圆盘在该处的场强为E2T X 112 0 xJ R2X2EEiE2T

9、X2 0 R2 x2该点电势为xdxR R 0 R2 x2x28. 一半径为R的“无限长圆柱形带电体，其电荷体密度为=Ar (r< R)，式中A为常量.试求：(1) 圆柱体内、外各点场强大小分布；(2) 选与圆柱轴线的距离为I (I > R)处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布.解：(1)取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如以下图).面上各 点场强大小为E并垂直于柱面.那么穿过该柱面的电场强度通 量为：E dS 2 rhES为求高斯面内的电荷，rv R时，取一半径为r，厚d r、高 h的圆筒，其电荷为dV 2 Ahr 2 d r那么包围在高斯面内的总电荷为rdV 2 Ahr

10、2 dr 2 Ahr3/3V0由高斯定理得 2 rhE 2 Ahr3 / 3 0 解出E Ar2/3。 (r< R)r > R时，包围在高斯面内总电荷为：RVdV2 Ahr 2ndr 2AhR3/3由咼斯定理23rhE 2 AhR / 30解出EAR3/3°r(r >R)(2)计算电势分布r < R时ulEdrR A r2i AR3 drd rrr 3 0R 3 0 rA 33AR3,lRrIn9 03 0Rr > R时ulEdrl AR3dr AR lInrr 3 0r3 0 r9. 一真空二极管，其主要构件是一个 半径Ri = 5X 10-4 m的圆

11、柱形阴极 A和 一个套在阴极外的半径 R2 =x 10-3 m的 同轴圆筒形阳极 B，如以下图.阳极电势比阴极高 300 V，忽略边缘效应.求电子刚从阴极射出时所受的电场力.(根本电荷 e=x 10-19 C)解：与阴极同轴作半径为 r (Ry rv R2 )的单位长度的圆柱形 高斯面，设阴极上电荷线密度为.按高斯定理有2 rE =/ 0得到E= / (2 °r)(R1 v rv R2)方向沿半径指向轴线.两极之间电势差BUa Ub aE dr r2 d r20R1rrlnt得到 Ub Ua2 o In R2 / R1所以Ub Ua1In R2 / R1r在阴极外表处电子受电场力的大

12、小为F eE R方向沿半径指向阳极.Ub Ua 1 ec R2 / R| Ri=x 10-14 N四研讨题1.真空中点电荷q的静电场场强大小为E式中r为场点离点电荷的距离.当 0 论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，14时，q2 0 rEg,这一推r 0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用.假设仍用此式求场强 E，其结论必然是错误的.当 r-0时， 需要具体考虑带电体的大小和电荷分布， 这样求得的E就有 确定值.2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布 的电场不可能是静电场.参考解答:证：在电场中作如以下图的扇形环路abcda

13、.在ab和cd段场强方向与路径方向垂直.在be和da段场强大小不相等电力线疏密程度不同而路径相等.因而aeE dl d E dl bE dl 0按静电场环路定理应有E dl 0，此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场.3. 如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？女口果只知道电场中某点的电势，能否求出该点的场强？为什么？参考解答：由电势的定义：U 土场点点E dl场点式中E为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场强，而不知道路径上各点的场强 表达式，不能求出该点的电势。由场强与电势的关系：E gradU场中某点的电场强度是该点电势梯度的负值。如果只

14、知道电场中某点的电势值，而不知道其表达式，就无法求出电势的 空间变化率，也就不能求出该点的场强。4. 从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有 大量颗粒状粉尘，它们严重污染了环境， 影 响到作物的生长和人类的健康。静电除尘是 被人们公认的高效可靠的除尘技术。先在实验室内模拟一下管式静电除尘器除尘的全过程，在模拟烟囱内，可以看到， 有烟尘从“烟囱上飘出。加上电源，烟囱上面的烟尘不见 了。如果撤去电源，烟尘又出现在我们眼前。请考虑如何计 算出实验室管式静电除尘器的工作电压，即当工作电压到达 什么数量级时，可以实现良好的静电除尘效果。参考解答:先来看看静电除尘装置的结构：在烟囱的轴线上，悬置了一根导线，称

15、之谓电晕线；在烟囱的四周 设置了一个金属线圈，我们称它为集电极。直流高压电源的正极接在线圈上，负极接在 电晕线上，如右上图所示。可以看出，接通 电源以后，集电极与电晕线之间就建立了一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。改变直流高压电源的电压值，就可 以改变电晕线周围的电场强度。当实际电场强度与空气的击穿电场3 103Vmm 1相近时空气发生电离，形成大量的正离子和 自由电子。自由电子随电场向正极飘移，在飘移的过程中和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞，这些粉尘颗粒吸附电 子以后就成了荷电粒子，这样就使原来中性的尘埃带上了负 电。 在电场的作用下，这些带负电的尘埃颗粒继续向正极 运动，并最后附着在集电

16、极上。集电极可以是金属线圈， 也可以是金属圆桶壁当尘埃积聚到一定程度时，通过振动装置，尘埃颗粒就落入灰斗中。这种结构也称管式静电除尘器。如右中图所示。对管式静电除尘器中的电压设置，我们 可以等价于同轴电缆来计算。 如右以下图所 示，G与5分别表示电晕极与集电极的半径，L及D分别表示圆筒高度及直径。一般L为3-5m，D为200-300mm，故L>>D，此时电晕线外的电场可以认为是无 限长带电圆柱面的电场。设单位长度的圆柱面带电荷为? orE2的单位矢量。内外两极间电压rbU E dlra积分后得：式中?为沿径矢U与电场强度E之关系为，将式代入式，2oU2故E益rara由于电晕线附近的电场强度最大，使它用静电场高斯定理求出距轴线任意距离r处点P的场强为:到达空气电离的最大电