特征方程特征根法求解数列通项公式

1、特征方程特征根法求解数列通项公式一：A(n+1)=pAn+q,p,q为常数.(1)通常设：A(n+1)-入=p(An-入)，则？3)显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为：XA2=X+1解得X1=(1+，5)/2,X2=(1-，5)/2.贝UF(n)=C1*X1An+C2*X2An F(1)=F(2)=1 .C1*X1+C2*X2C1*X1A2+C2*X2A2解得C1=1/，5,C2=-1/，5 .F(n)=(1/，5)*(1+A/5)/2An-(1-v/5)/2AnIV5表示卞艮号5】通项公式的推导方法二：普通方法设常数r,s使得F(n)-r*F

2、(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)贝Ur+s=1,-rs=1nn3时，有F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3)F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4)F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1)将以上n-2个式子相乘，得:F(n)-r*F(n-1)=sA(n-2)*F(2)-r*F(1) .s=1-r,F(1)=F(2)=1上式可化简得：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)那么：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)=sA(n-1)+r*sA(n-2)

3、+rA2*F(n-2)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+M2*sA(n-3)+M3*F(n-3)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+M2*sA(n-3)+rA(n-2)*s+rA(n-1)*F(1)=sA(n-1)+r*sA(n-2)+M2*sA(n-3)+M(n-2)*s+rA(n-1)(这是一个以sA(n-1)为首项、以rA(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和)=sA(n-1)-rA(n-1)*r/s/(1-r/s)=(sAn-rAn)/(s-r)r+s=1,-rs=1的一解为s=(1+a/5)/2,r=(1-，5)/2则F(n)=(1M/5)*(1+，5)/2An-(

4、1-，5)/2人0三：最后准备好了吗，咱们来看最刺激，最具挑战性的一组：A(n+1)=(MAn+N)/(CAn+D)M,C不同时为零此题一般可以避开求通项公式而另辟蹊径的方法，比如数学归纳法一类的等等，但是如果一定要挑战一下自己，那我们现在就开始通项公式之路(1)此处似乎只能用特征根法：特征方程：x+(Mx+N)/(Cx+D)特征方程有两个不等的实根，设为“，3,则(An-a)/(An-3)为等比数列注意：a,3可以互换位置特征方程有一个实根，a则1/(An-a)伟等差数列特征方程没有实数根，则An为循环数列，每年总要有几个题要来个A2007,A2008,A2009,A20xx例四：这个例题的数字给的十分有意思一一伟强A(n+1)=(3An+4)/(2An+3)特征方程：x=(3x+4)/(2x+3),x=V2则(An+，2)/(An，2)为等比数列(A(n+1)+，2)/(A(n+1)-V2)=(3An+4)/(2An+3)+，2/(3An+4)/(2An+3)-V2=(3+，2)An+(3,2+4)/