江苏省金陵中学等三校2020届高三年级第二学期期初联考试卷数学试题及参考答案、点评

1、2021届高三年级第二学期期初联测试卷数学试题命题单位：丹阳高级中学审核单位：金陵中学无锡一中I试题一、填空题(本大题共14小题,每题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在做题纸的指定位置上)1 .集合A=1,2,3,B=2,4,那么AUB=.2 .复数zi=2+i,z2=a+2i(i为虚数单位,aCR),假设ziz2为纯虚数,那么实数a的值为.3 .函数f(x)=ln(x-1)的定义域为4 .某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为12,x,10,11,9.这组数据的平均数为10,方差为2,那么x的值为.5 .抛物线y2=4x上一点的距离到焦点的距离为5,那么这点的坐标为.6

2、.命题p：-1<x-a<1,命题q：(x4)(8x)>0,假设p是q的充分不必要条件,那么实数a的取值范围是.7 .等比数列an的前n项和为Sn,假设4a1,2a2,a3成等差数列,a1=1,那么S7=8 .函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数,当0vx<2时,f(x)=2x,那么f(-7)=.9 .假设圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,记圆柱、球的外表积分别为Si、S2,那么Si：S2=.10 .在等月ABC中,底边BC=2,点D为边AC的中点,点E为边AB上一点且满1足EB=2AE,假设BDAC=2,那么ECAB=.11 .函数f(x)=-x2+ax+b(a,b

3、CR)的值域为(一0,假设关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m4,m),那么实数c的值为.12 .在锐角ABC中,sinC=4cosAcosB,那么tanAtanB的最大值为.13 .在4ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=120°,/ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,那么4a+c的最小值为.14 .设函数f(x)=ax+sinx+cosx,假设函数f(x)的图象上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在点A,B处的切线互相垂直,那么实数a的取值范围为.二、解做题(本大题共6小题,计90分.解容许写出必要的文字说明,证实过程或演算步骤,请把

4、答案写在做题纸的指定区域内)15 .(本小题总分值14分)如图,在三棱锥ABCD中,E,F分别为棱BC,CD上的点,且BD/平面AEF.(1)求证：EF/平面ABD;(2)假设BDXCD,AEL平面BCD,求证：平面AEFL平面ACD.DB4cosB=二.516 .(本小题总分值14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设C=2a,求黑的值;兀.一(2)假设C-B=4,求sinA的值.17 .(本小题总分值14分)如图,某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域(以O为圆心,AB为直径),现方案对其进行改建.在AB的延长线上取点D,OD=80m,在半圆上选定一点C,改建后的绿

5、化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成,其面积为Sm2.设/AOC=xrad.(1)写出S关于x的函数关系式S(x),并指出x的取值范围；(2)试问/AOC多大时,改建后的绿化区域面积S取得最大值.高三数学试卷第3页共26页18 .(本小题总分值16分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：4+E1(a>b>0)过点1,6,其离心率aD2等于半(1)求椭圆E的标准方程；(2)假设A,B分别是椭圆E的左,右顶点,动点M满足MBLAB,且MA交椭圆E于点P.uunujuu求证：OPOM为定值；设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q,求证：直线MQ经过定点.19 .(本小题总分值16分

6、)一一1C一函数f(x)=ax2+lnx,g(x)=bx,设h(x)=f(x)-g(x).(1)假设f(x)在x=22-处取得极值,且f(1)=g(-1)-2,求函数h(x)的单倜区间;(2)假设a=0时,函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.求b的取值范围；求证：x1x2>e2.20 .(本小题总分值16分)数列an前n项和为数列an的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,且满足S5=2a4+a5,a9=as+a4.(1)求数列an的通项公式；(2)假设amam+1=am+2,求正整数m的值；S(3)是否存在正整数m,使得恰好为数列an中的一项？右存在,求出所有满S

7、2m1足条彳的m值,假设不存在,说明理由.金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中2021届高三年级第二学期期初联测试卷数学试题点评与参考答案I试题一、填空题(本大题共14小题,每题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在做题纸的指定位置上)1 .集合A=1,2,3,B=2,4,那么AUB=.【点评】集合并集的运算,简单题.【答案】1.1,2,3,42 .复数Z1=2+i,Z2=a+2i(i为虚数单位,aCR),假设Z1Z2为纯虚数,那么实数a的值为.【点评】复数的概念,简单题.此题源自于南京二模改编.【答案】2.13 .函数f(x)=ln(x-1)的定义域为一【点评】函数的定义域,简单题.【答

8、案】3.(1,+8)4 .某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为12,x,10,11,9.这组数据的平均数为10,方差为2,那么x的值为.【点评】平均数与方差的计算,简单题.此题为改编题.【答案】4.85 .抛物线y2=4x上一点的距离到焦点的距离为5,那么这点的坐标为.【点评】抛物线的性质,简单题.注意上下两个点,学生容易出错.【答案】5.(4,±4)6 .命题p：-1<x-a<1,命题q：(x-4)(8-x)>0,假设p是q的充分不必要条件,那么实数a的取值范围是.【点评】逻辑用语,中等题.此题为改编题.【答案】6.5,77 .等比数列an的前n项和为S

9、n,假设4a1,2a2,a3成等差数列,a1=1,那么S7=.【点评】等比数列公式的考查,中等题.【答案】7.1278 .函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数,当0<x<2时,f(x)=2x,那么f(7)=.【点评】奇函数与周期函数的性质,中等题.【答案】8.-29 .假设圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,记圆柱、球的外表积分别为Si、S2,那么Si：S2=.【点评】空间几何体相关量的计算,中等题.【答案】9.3:210 .在等月ABC中,底边BC=2,点D为边AC的中点,点E为边AB上一点且满1足EB=2AE,假设=2,那么=.【点评】向量的相关运算,中等题.此题为改编题.4

10、【答案】10.311 .函数f(x)=-x2+ax+b(a,bCR)的值域为(一0,假设关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m4,m),那么实数c的值为.【点评】函数值域与不等式的简单综合,中等题.此题为改编题.【答案】11.312 .在锐角ABC中,sinC=4cosAcosB,那么tanAtanB的最大值为.【点评】以正切为切入点的最值问题,中等题.此题有较多变式,后续教学应重点关注.【答案】12.413 .在4ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,/ABC=120°,/ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,那么4a+c的最小值为.【点评】三角形中的最值问题

11、,中等题.【答案】13.914 .设函数f(x)=ax+sinx+cosx.假设函数f(x)的图象上存在不同的两点A,B,使得曲线y=fx在点A,B处的切线互相垂直,那么实数a的取值范围为.【点评】函数与导数综合,以切线为切入点,难题.此题源自南京二模.【答案】14.-1,1【填空题总评】本次测试填空题难度不大,关注根本点的考查,考生在本局部如低于60分,需要增强相关基此题的练习.此外,本次填空有多题为各市前几年的二模真题或改编题,难度略低,但考点覆盖较全面,针对近两年难度的下降,填空题难度的下降也会成为趋势.二、解做题本大题共6小题,计90分.解容许写出必要的文字说明,证实过程或演算步骤,请

12、把答案写在做题纸的指定区域内15 .本小题总分值14分如图,在三棱锥ABCD中,E,F分别为棱BC,CD上的点,且BD/平面AEF.1求证：EF/平面ABD;2假设BDXCD,AEL平面BCD,求证：平面AEFL平面ACD.【点评】此题考查线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,简单题.在阅卷时,应严格根据评分标准进行阅卷.对于考生在此局部做题的不标准,应严格判分.【答案】A解：1由于BD/平面AEF,BD平面BCD,平面AEFn平面BCD=EF,所以BD/EF.3分D由于BD平面ABD,EF平面ABD,所以EF/平面ABD.6分高三数学试卷第9页共26页_BE第15题(2)由于AE,平面BC

13、D,CD平面BCD,所以AEXCD.8分由于BDXCD,BD/EF,所以CDXEF,10分又AEAEF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,所以CD,平面AEF.12分又CD平面ACD,所以平面AEFL平面ACD.14分16 .(本小题总分值14分)4在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB=.5(1)假设c=2a,求彗的值；sinC(2)假设C-B=-,求sinA的值.4【点评】此题考查正弦定理与余弦定理,三角函数的相关运算,中等题.注意考生的做题标准.【答案】解：1解法1:在4ABC中,由于cosB=4,所以a+cb=4.2分52ac5又由正弦定理得黑咚所以舞=哈6分解

14、法2:由于cosB=4,BC0,明所以sinB=71-cos2B=*.2分55由于c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,所以sinC=2sinB+C=5cosC+5sinC,即-sinC=2cosC.4分又由于sin2c+cos2C=1,sinOO,解得sinC=*,所以需喏2由于cosB=4,所以cos2B=2cos2B-1=.5253又0VB<ti,所以sinB=小一cos2B=二,5所以sin2B=2sinBcosB=2X3>4=.10分5525由于CB=j,即C=B+4,所以A=兀一B+C=j2B,所以sinA=siny2B=sin3-2cos2B-cosyinZB：

15、324445017.本小题总分值14分14分如图,某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域以O为圆心,AB为直径,现方案对其进行改建.在AB的延长线上取点D,OD=80m,在半圆上选定一点C,改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成,其面积为Sm2.设/AOC=xrad.(1)写出S关于x的函数关系式S(x),并指出x的取值范围;(2)试问/AOC多大时,改建后的绿化区域面积S取得最大值.【点评】应用题,以三角函数为基底进行考查,中等题.此题源自南京市零模,难度不大.在高考中,预测应用题也会以三角函数为基底进行考查,关注导数或不等式.【答案】解：(1)由于扇形AOC的半径为40m

16、,ZAOC=xrad,2所以扇形AOC的面积S扇形Aoc=xOA-=800x,0vxv兀2分在COD中,OD=80,OC=40,/COD=lx,1,一八所以Sacod=2OCODsinZCOD=1600sin(fx)=1600sinx.4分从而S=Szcod+S扇形aoc=1600sinx+800x,0Vxv兀6分(第17题)(2)由(1)知,S(x)=1600sinx+800x,0<x<兀.1.八Sx)=1600cosx+800=1600(cosx+2).8分2Tt由Sx)=0,解得x=3从而当0vxv争寸,S'x)>0;当红xv兀时,S'x)v0.22因此

17、S(x)在区间(0,引上单调递增；在区间(三,句上单倜递减.11分所以当x=?S(x)取得最大值.答：当/AOC为制,改建后的绿化区域面积S最大.14分18.(本小题总分值16分)22_在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：-2+点1(a>b>0)过点1,6,其离心率等于孝.(1)求椭圆E的标准方程；(2)假设A,B分别是椭圆E的左,右顶点,动点M满足MBLAB,且MA交椭圆E于点P.uunluuui求证：OPOM为定值；设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q,求证：直线MQ经过定点.【点评】此题考查解析几何,关注向量的运算,在二模中属于热度题,中等题.定点定值题,一定要算到底,注意方

18、法优化,此题应注意一题多解.【答案】1解：(1)由题得a232b2五22990.cab,解得2b24,2,所以椭圆E的方程为2x一+4设M(2,y.),P(X1,y),直线MA的方程为y?xF代入椭圆得12y022V.XX22y0由2K/24y0-2y0得X182y028,y1,y.8y.8uuuruuur所以OPOM22V.88y0-2y08,-2y08(2,y.)-2y08直线MQ过定点O(0,0),理由如下:由题得kPB2V.812分由MQPB得kMQ那么MQ的方程为y8y02-2y0810分828V0V.y(x14分所以直线MQ过定点0(0,0).16分19 .(本小题总分值16分)一

19、函数f(x)=2ax2+lnx,g(x)=bx,设h(x)=f(x)-g(x).(1)假设f(x)在x=¥处取得极值,且f'(号g(1)2,求函数h(x)的单调区间;(2)假设a=0时,函数h(x)有两个不同的零点X1,x2.求b的取值范围;求证：X1X2>e2.【点评】此题考查函数与导数,中等题.零点问题注意零点存在定理的使用,如不使用得分会较低.第三问考查点较为根底,在教学过程中教师应注意这类题的证法.在高考中,不会再出现这样的陈题、旧题,但这样的方法与思想应该牢牢把握.1解：(1)由于f(x)ax-,所以fa1,由f(1)g(1)2可得ab3.x222一又由于f(

20、x)在x丝处取得极值,所以f()a&0,222所以a2,b1.所以h(x)x2lnxx其定义域为2(0,)h(x)1二2x2x1(2x1)(x1)xxx1令h(x)0得x1-,x21,当x(0,1)时,h(x)>0,当x(1,)时,h(x)<0,所以函数h(x)在区间(0,1)上单调增,在区间(1,)上单调减.4分(2)当a0时,h(x)lnxbx,其定义域为(0,).Inx、1nxiInx1由h(x)0得b-,记(x),那么(x),xxx所以(x)叱在(0,e)单调减,在(e.)单调增,x所以当xe时,(x)"x取得最小值1.6分xe又(1)0,所以x(0,1)

21、时,(x)0,而x(1,)时,(x)0,所以b的取值范围是(1,0).10分e注：此处需用零点存在定理证实,如考生未证实,此问最多不超过3分.Z由题意得lnXibxi0,lnx2bx20,所以1nxix2b(x1x2)0,lnx2Inx1b(x2x1)0,所以Inxix2Inx2Inx1xix2x2xi12分不妨设xi<x2,要证xix2e2,只需要证1nxix2x-x2(1nx2Inx1)2,x2xi即证Inx2Inxi(x2-".14分x?xi设tx2(t1),那么F(t)Int2(t1)Int2,xit1t1所以F(t)1虫二40,函数F(t)在(1,)上单调增,t(ti

22、)2t(ti)2而F(1)0,所以F(t).,即int经,t1所以Xx2e2.16分20 .(本小题总分值16分)数列an前n项和为Sn,数列an的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,且满足S5=2a4+a5,a9=a3+a4.(i)求数列an的通项公式；(2)假设amam+i=am+2,求正整数m的值；(3)是否存在正整数m,使得S2m恰好为数列an中的一项？假设存在,求出所有满S2m1足条彳的m值,假设不存在,说明理由.【点评】等差数列、等比数列的综合,难题.前两问较根底,注重公式的考查,第三问对于考生的解题思维有较大挑战,不求总分值,只求多得分.【答案】解：(1)设a

23、i,a3,a5,a2ki的公差为d,a2,a4,a6,a2k的公比为q,贝Ua4a2q2q,a3a.d1d,aQ14dI9,S52a4a5a4s3d2八由,2分a9a3a4a14da1d2qq3n,n为奇数所以ann.4分2321,n为偶数假设m2k1(kN),那么(2k1)23k12k123k122k1由于23k1为正整数,所以二一为正整数,2k1即2k11k1,此时2303,不成立,舍去.6分假设m2k(kN),那么2k13k1,m2,成立,综上,m2.8分.S.一-3假设,m_为an中的一项,那么-区为正整数,S2m1由于S2m1(aia3a2m1)(a2a4a2m2)S2m1_m1m(

24、12m1)2(31)om12.-3m1,10分231所以_S2mS2m1S2m1a2mS2m12(m21)om12A3m13,a1,a2,a3.12分,S,一故假设为an中的某一项,只能为S2m12小升c2(m1)(右3-m-j21m,3 m12e22(m1)00m1232231m0m2,3m12(m21)c3-m-123m1m1,15分3m1综上,m1或m2.16分【解做题总评】本次解做题难度中等,涉及考点较全面.在本次作答过程中,考生应注意对做题思维的培养与做题标准的重视,不应拘泥于分数的上下.期初联测试卷数学试题参考答案及评分标准I试题一、填空题本大题共14小题,每题5分,计70分.不需

25、写出解答过程,请把答案写在做题纸的指定位置上1.1,2,3,42.-16.5,77,1273.(1,+8)4.85.(4,±4)8. -29. 3:2410. 311.-312.413.914.-1,1二、解做题本大题共6小题,计90分.解容许写出必要的文字说明,证实过程或演算步骤,请把答案写在做题纸的指定区域内15 .(本小题总分值14分)解：(1)由于BD/平面AEF,BD平面BCD,平面AEFn平面BCD=EF,所以BD/EF.3分由于BD平面ABD,EF平面ABD,所以EF/平面ABD.6分(2)由于AEL平面BCD,CD平面BCD,所以AEXCD.8分由于BDXCD,BD/

26、EF,所以CDXEF,10分又AEAEF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,所以CD,平面AEF.12分又CD平面ACD,所以平面AEFL平面ACD.14分16 .(本小题总分值14分)解：(1)解法1:4 a2+c2b24、在AABC中,由于cosB=-,所以2分5 2ac5(A/+c2b22由于c=2a,所以=：,即*=：,所以1.34分c5c20c102c芍又由正弦定理得哗,所以噂=乎.6分sinCcsinC10解法2:4 3由于cosB=-,B(0,句,所以sinB=J1-cosb=t.2分5 v5由于c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,6 8所以sinC=2sin(B+C)

27、=-cosC+"sinC,即一sinC=2cosC.4分7 5又由于sin2c+cos2C=1,sinC>0,解得sinC=,所以沙=曜6分sinC104 7(2)由于cosB=",所以cos2B=2cos2b-1=78分5 zo又0<B<it,所以sinB=1-cos2b=|,10分所以sin2B=2sinBcosB=2>3>|=|4.由于CB=j,即C=B+j所以A=兀一(B+C)=2B,14分33兀37t.ec31.2所以SinA=Sinq-2B)=Si0cos2B-co可sin2B=50.17.(本小题总分值14分)解：(1)由于扇形A

28、OC的半径为40m,/AOC=xrad,2所以扇形AOC的面积S扇形AOc=xOA-=800x,0vxv兀在COD中,OD=80,OC=40,/COD=lx,1,一八所以Scod=2OCODsinZCOD=1600sin(fx)=1600sinx.4分从而S=Szcod+S扇形aoc=1600sinx+800x,0Vxv兀6分(2)由(1)知,S(x)=1600sinx+800x,0<x<兀.1.八Sx)=1600cosx+800=1600(cosx+Q).8分2TT由Sx)=0,解得x=3从而当0vxv争寸,S'x)>0;当红xv兀时,S'x)v0.22因此

29、S(x)在区间(0,引上单调递增；在区间(三,句上单倜递减.11分所以当*=芋S(x)取得最大值.答：当/AOC为争寸,改建后的绿化区域面积3S最大.14分18.本小题总分值16分1解：1由题得a232之22a解得2b24,2,所以椭圆E的方程为2X+4(2)设M(2,y.),P(Xi,yi),直线MA的方程为yy.X4代入椭圆得12y.82y.X2由2x1/24y.2y.2y.-2y.8y18y.y.28uuur所以OPuuur0M2y.2y.288y.,-2-y.8(2,g),24yo8y.288y2y.1.分直线MQ过定点0(0,0)理由如下:由题得kPB8y.y.282y.2812分由MQ那么MQ2y.PB得kMQy.2的方程为yV.V./万(x14分所以直线MQ过定点0(0,0).16分19.(本小题总分值16分)1 .解：(1)由于f(x)ax-,所以f(1)a1,x由f(1)g(1)2可得ab3.又由于f(x)在x近处取得极值,所以f()Y2a&0,222所以a2,b1.2分所以h(x)x2Inxx,其定义域为(0,).21d2xx1(2x1)(x1)h(x)2x-1=-,xxx1h(x)<0,4分令h(x)0得x1-,x21,当x(0,1)时,h(x)>0,当x(1,)时,2所以函数h(x)在区间(0,1)上单调增,在区间(1