理论力学课件第七章

1、1运动学/引言 ( 5-1)引 言一、运动学的研究对象及任务1. 研究对象点，刚体和刚体系， 统称物体。2. 研究任务（1） 研究物体的及运动的几何性质；（2） 研究规律。2第二部分 运动学2013年10月28日 Monday2运动学运动学的具体内容第七章 点的运动学第八章 刚体的基本运动第九章 点的运动第十章 刚体的平面运动4运动学/引言 (5-5)二、学习运动学的目的1. 学习动力学的基础受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。2. 学习机械原理和设计传构的基础。三、研究方法不考虑运动，只研究运动的几何性质。33 参考系运动的相对性；讲到运动，必须指明参考物体；与参考体相固连的坐标系 &

2、#190;¾ 参考系。 具体内容§7-1 矢径法§7-2直角坐标法§7-3自然坐标法6运动学第七章 点的运动学 研究对象几何点， 称为运动的点， 有时简称为点。 研究任务研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。54运动学/点的运动学 ( 1-2)四、点的度vd vd 2 r&a = lim= rt ® 0 td td t 2五、矢径法的特点直观，公式简洁, 适于推导公式。定量分析不方便。8运动学/点的运动学 ( 1-1)§7-1 矢径法一、运动方程r = r (t )二、运动轨迹矢

3、端曲线动点运动过程中，矢径末端在空间描绘出一条连续曲线，即为点的运动轨迹，亦称矢端曲线（或称矢径端图）。三、点的速度rd rv = lim= r&t® 0 td t75运动学/点的运动学 ( 1-4)得出直角坐标形式的运动方程ì x = x (t )ï y = y (t )íï z = z (t )î二、轨迹方程当消去参数 t 后,可得轨迹方程F (x, y, z)=010运动学/点的运动学 ( 1-3)§7-2直角坐标法当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法描述点的运动规律。一、运动方程取直角坐标系r = xi +

4、yj + zk点M在运动过程中，其坐 标x，y，z随时间而变化。96运动学/点的运动学 ( 1-5)速度的大小和方向：222v =v x+ v y+ v zcos( v , i ) = vxvcos( v , j) = vyvcos( v , k ) = vzv12运动学/点的运动学 ( 1-4)三、点的速度r = xi + yj + zkv = d r = d x i + d yj + d z kd td td td t又v= v x i + v y j + v z kv=d x=x&xd tv=d y=y&yd tv=d z=z&zd t117运动学/点的运动学 (

5、 1-7)度的大小和方向：a =a 2 x + a 2 y + a 2 zcos( a , i ) = axacos( a , j ) = a yacos( a , k ) = aza14运动学/点的运动学 ( 1-6)四、点的度a = dv = dvx i + dvy j + dvz kdtdtdtdt222= d x i + d y j + d z kdt 2dt 2dt 2又a = a i + aj + a kxyz d vd 2 xa x =x= &x&d td t 2d v yd 2 ya y =d t=d t 2= &y&d vd 2 za z =z

6、= &z&d td t 2138二、自然坐标轴系l 密切面P点的切线与P'点的切线(移到P点)所决定的平 面，当 P' ® P时的极限位置平面曲线的密切面？ ¾ P点的密切面.16运动学/点的运动学 ( 1-9)§7-3自然坐标法当点的运动轨迹已知时，宜用自然法描述其运动。 一、运动方程 弧坐标坐标原点O：在已知轨迹上任选一点。坐标正方向：坐标原点O的某一侧为正向。弧坐标s：沿轨迹从O到点 M的弧长。2 弧坐标形式的运动方程s = s (t )159l 自然坐标轴系 、过点M作轨迹的切 线，取t为切线矢量。 、过点M作一平面垂直于

7、t ，称为法平面。 、法平面与密切面的交线，称为主法线，取n为主法线矢量，正向指向曲线凹侧。18l 关于密切面的几点结论u 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。u 空间曲线上任意点的无穷小邻域内的一段曲线，可以看作是位于该点的密切面内的平面曲线。u 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用 k 或 1/r 表示。1710运动学/点的运动学 ( 1-9)三、点的速度v = limD r = lim ( D r × D S )D t ® 0 D tD t ® 0D SD t= limD S × limD rD t ® 0 D tD t

8、 ® 0 D S= d S × d r= d S × t= v ×td td Sd tdSv =四、点的度dta = dv = d (v)= dv × + v × ddtdtdtdt= d S × + v × d2dt 2dt20运动学/点的运动学 ( 1-9)、过点M，在法平面内作一直线垂直于n，称为副法线，取b为副法线矢量，且满足下式：b = t ´ nt 、n、b一个以点M为坐标原点，并跟随点M一起运动的直角坐标系，称为自然轴系。t 、n 、b称为自然轴。自然坐标法即指用弧坐标建立运动方程，并研究点

9、的速度和度沿自然轴系各分量的物理意义。19d 2S运动学/点的运动学 ( 1-9)d+ v ×a =× 切向度dt2dt第一项反映速度大小随时间的变化率，方向沿切线方向，称为切向度法向度第二项反映速度方向随时间的变化率，称为法向度a= v dt= v lim Dt= v × lim( Dt × DS )DtDSDtndtDt®0Dt®0= v2 × lim DtDSDtdSdt= v)(Q limDt®0 DSDt ® 02111运动学/点的运动学 ( 1-9)由图可知|Dt |=|t '-t |

10、=2|t |sin Dj =2sin Dj22当Dt®0时,DS®0,sinDj ® Dj22Dt » Dj lim Dt = lim Dj = dj = 1lim Dt = 1 nDt ® 0 DSDS ® 0 DSdSrDt®0 DSr22v 2a n =rv 2 an =r ndvd2Sat = dt = dt 2dvd2S at = dt t = dt 2 t12运动学/点的运动学 ( 1-9)例半径为r的沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设转角j=wt （ w为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上

11、任一点M的运 动方程，并求该点的速度、切向度及法向度。解：（1）运动方程取j=0时点M与直线轨道的接触点O为原点，建立直角坐标系Oxy，。当转过j时，与直线轨道的接触点为C。由于是纯滚动，有24运动学/点的运动学 ( 1-9)全度为2a = a+ a= d v t + vntnd tra =a2 + a2tnq = arctan | at |an讨论： v 、at 同向： 点作运动v 、at 反向： 点作运动2313运动学/点的运动学 ( 1-9)M点的速度为v =v x+ v y= rw2 - 2 cos w t22= 2 rw sin w t , (0 £ w t £

12、2p )(c)2（3）切向、法向度将式（c）对时间求导即得点M的切向度a = v& = rw 2 cos w × tt2将式（b）再对时间求导，即得度在直角坐标轴上的投影：ax = &x& = rwsin wt2a= &y& = rw 2 cos wty26运动学/点的运动学 ( 1-9) OC = MC = rwt则用直角坐标表示的M点的运动方程为：x = OC - O1M sin j = r(wt - sinwt)(a)y = O1C - O1M cosj = r(1- coswt)（2）速度上式对时间求导，即得M点的速度沿坐标轴的投影：v

13、x = x& = rw (1- coswt)(b)vy = y& = rw sin wt2514运动学/v = dSdS = vdt dt28运动学/点的运动学 ( 1-9)M点的全度为a =a2 + a2 = rw 2xy法向度a=a 2 - a 2= rw 2 sin w × tnt2v2由于 an = r，于是还可求得轨迹的曲率半径4r 2w 2 sin 2 wt2wtr = v=2= 4rsinanrw 2 sin wt22（4）运动方程（弧坐标）2715运动学/点的运动学 ( 1-9)取M的起始点作为弧坐标原点，对(c)式的速度v， 即得用弧坐标表示的运动方程：twt&