水平宽铅垂高求三角形面积

1、作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法二次函数教学反思铅垂高如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a）,中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高”（h）.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SAABC=12ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形,同学们很快掌握了这种面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”方法现总结如下：如图1,过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条

2、直线之间的距离叫ABC勺“水平宽”（a）,中间的这条直线在ABCft部线段的长度叫ABC勺“铅垂高（h）”.我们例1.（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（一2,0）,连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1,用）

3、（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+a）,代入点B（1,事）,得a=更，因此丫=立*2+3叵x3133（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=-1,当点C位于对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小.一kW一一一设直线AB为y=kx+b.所以产+b43,解得33，因此直线AB为y.迎x+还，当x=-1时，y=虫，2kb=0.23333?因此点C的坐标为（一1,73/3）（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.1SPAB-SPAD'SPBD=2（yD-yP）（xB一%）1。3+2而（点2.273下x+xxP<32Ll3_3八334=一置x2一遮x-.322.9.38当x=1时，P

4、AB的面积的最大值为晅,此时P1-,-32824例2.（2014益阳）如图2,抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0）,交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA,PB,当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及Smab；（3）是否存在一点P,使Sapab=-庄cab,若存在，求出P点的坐标；8若不存在，请说明理由.解：（1）设抛物线的解析式为：y1=a（x1）2十4把a（3,0）式求得a=1所以y1=-（x-1）2+4=x2+2x+3设直线析式为：y2=kx+b由y1=-x2+2x+3求得b点的坐标为A(3,0),

5、B(0,3)代入y2=kx+b中1cccM3m2=3(平方单位)2解得：k=1,b=3所以y2=x+3（2）因为C点坐标为（1,4）所以当x=l时，y=4,y2=2所以CD=4-2=2SAB（3）假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,4PAB的铅垂高为h,则229129h=yy2=(x+2x+3)(x+3)=x+3x由空fab=Scab得一M3M(x+3x)=m3化简8282332一315.得：4x12x+9=0解得x=将x=代入y1二x+2x+3中，解得p点坐标为(一，一)2224例3.（2015江津）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1,0）,B（-3,0）两点，（1）求该

6、抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使彳QAC勺周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使PBCW面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBCW面积最大值.若没有，请说2.-L-1bc=0解：(1)将A(1,0),B(-3,0)代y=x2+bx+c中得«-9-3bc=0，抛物线解析式为：y-x2-2x3（2）存在。理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称直线B*x=1的交点即为Q点，此时AQC长最小y=x22x+3.C的坐标为：（0,3）直线BC解析

7、式为:一一x-1y=x+3Q点坐标即为<的解y=x3x-1_Q(-1,2)y=2（3）答：存在。理由如下:_9题边形BPCO一右S四边形BPCO2设P点(X,X_2x+3)(3<x<0)-SPC=S四边形BPCO_S、OCBEPEOE(PEOC)22有取大值，则S为pc就取大，S四边形BPCO=SRtPE+S直角,形PEOC1_(x3)(-x3当x=-时23当x=-时212-2x3)(-x)(-x2-2x33)2SI边形Bp最大值=一+S作pc282一一15-x2x+3=，点P坐标为43,3.一二(x二)22927最大=9幺15827同学们可以做以下练习:1.(2015浙江湖

8、州)已知如图，矩形OABC勺长OA=/3,宽OC=1将AGOAC翻折彳APC(1)填空：/PCB=一度，P点坐标为(,);(2)若P,A两点在抛物线y=-4x2+bx+c上，求b,c的值，并说明点C在此抛物线上；3(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C,P点)上，是否存在一点M,使得四边形MCAP勺面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。2.(湖北省十堰市2014)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(aw0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;称轴上是否存在点P,使4CMP为等腰三角形？若存在,(2)设抛物线的

9、对称轴与x轴交于点M,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;问在对若不存在，请说明理由.(3)如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.错误！未找错误!那则源。图11图图3.(2015年恩施)如图11,在平面直角坐标系中，二次函数错误！未找到引用源。的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连结PO、PC,并把POC沿CO翻折，得到四边形POP错误！未找到引用源。C,那么是否存在点P,使四边形POP错误！未找

10、到引用源。C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.解：(1)将B、C两点的坐标代入得错误！未找到引用源。解得：所以二次函数的表达式为错误！未找到引用源。到引用源。存在点P,使四边形POP错误！未找到引用源。C为菱形.设P点坐标为(X，错误！未找到引用源。)，PP错误！未找到引用源。交CO于E若四边形POP错误！未找到引用源。C是菱形，则有PC=PO.连结PP错误！未找到引用源。则PE1CO于E,OE=EC=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。错误

11、！未找到引用源。=解得错误！未找到引用源。=，错错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。误！未找到引用源错误！未找到引用源。(不合题意，舍去)，P点的坐标为(Q,与OB交于点F,设P(x,错误！未则Q点的坐标为(x,x3).错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。过点P作错误！未找到引用源。轴的平行线与BC交于点找到引用源。)，易得，直线BC的解析式为错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。当时，四边形ABPC的面积最大错误！未找到引用源。此时P点的坐标为错误！未找到引用源。引用源。.25.(2015绵阳)如图，抛物线y=A(4,0)、B(2,0),与y

12、轴交于点,四边形ABPC的面积错误！未找到ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)在直线EF上求一点H,使4CDH的周长最小，并求出最小周长；(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积.【解析】(1)由题意，得/6a-4b+4=0,解得a=-Lb=-1.«a+2b+4=0,2所以抛物线的解析式为y=-1x2x+4,顶点D的坐标为(1,-).22(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分

13、BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H,使DH+CH最小，即最小为oo3F99o5DH+CH=DH+HB=BD=3BM2+DM2="13而CD=j12+(4)2=J.2.224CDH的周长最小值为CD+DR+CH=v'5+3<13.22kibi=0,3设直线BD的解析式为y=klx+b,则JQ解得k1=,bi=3.-kibi=1,22所以直线BD的解析式为y=_3x+3,由于BC=2岳,CE=BC/2=J5,RtACEGACOB,2得CE:CO=CG:CB,所以CG=2.5,GO=i.5.G(0,i.5).同理可求得直线EF的解析

14、式为y=1x+-.22联立直线BD与EF的方程，解得使CDH的周长最小的点H(9,竺).48(3)如图所示，设K(t,_，2-t+4),xFvtvxE.过K作x轴的垂线交EF于N.2则KN=yK-yN=_lt2_t十4(It+-)=-t2-t+-.222222所以SAEFK=SAKFN+SAKNE=1KN(t+3)+1KN(it)=2KN=-t2-3t+5=-(t+_3)2+”.2224即当t=3时，EFK的面积最大，最大面积为29,此时K(3,竺).2428平面直角坐标系中三角形面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.1 .有一

15、边在坐标轴上：分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，ABC的边BC在y轴上,由图形可得BC=4,点A至ijBC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3,然后根据三角形的面积公式求解.例i:如图i,平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为(3,0),(0,3),(0,i),求4ABC的面积.2 .有一边与坐标轴平行:例2:如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(4,5),积.分析：由A(4,1),B(4,5)两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上白高CD,就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.C(-1,2),求ABC

16、的面3 .三边均不与坐标轴平行:例3：已七平凹内刊平面仁;二，求一所分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.4 .三角形面积公式的推广：过ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高”(h).我们可得出1一种计算三角形面积的新方法：Saabcf1ah即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半例4：已知：直线li：y=-2x+6与x轴交于点A,直线打：y=x+3与y轴交于点B,直线小匕交于点C.(I)建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C点的坐标；(n)利用阅读材料提供的方法求ABC的面积.5 .巩固练习:k'(1)已知：如图，直线y=kx+b与反比例函数y=(x<0)的图象相交于点A、点B,与x轴交于x点C,其中点A的坐标为(一2,4),点B的横坐标为一4.(I)试确定反比例函数的关系式；(n)求4AOC的面积.A(1,4),B(a,b)，其中a&