数列通项公式常见求法

1、数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。1、等差数列公式例1、（2011辽宁理）已知等差数列an

2、满足a2=0,a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式；ad=0,解：（I）设等差数列a#的公差为d,由已知条件可得1n2a112d=-10,4=1,解得，d-1.故数列an的通项公式为an=2-n.2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设a是公比为正数的等比数列，a=2,a3=az+4。（D求an的通项公式解：D设q为等比数列an的公比，则由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或4=-1（舍去），因此q=2.所以4的通项为an=22n4=2n（nwN*）.3、通用公式若已知数列的前n项和Sn的表达式，求数列ian的通项an可用公式sn=1、人an=

3、3求解。一般先求出a1=S1,若计算出的an中当n=1适合时可以Sn-Sny-n>2合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。例3、已知数列an的前n项和sn=n2-1,求an的通项公式。解：&=&=0,当n2时,22an-sn-snj-(n-1)-(n-1)-1=2n-10(n=1)由于ai不适合于此等式。an=J2n-1(n之2)二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：an和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法一般地，对于型如an+=an+f(n)类的通项公式，且f(1)+f(2)+f(n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an

4、o即：an=(anan)+(an-an/)i+(a2-a)+a(n之2)；例4、(2011四川理8)数列的首项为3,母为等差数列且bn=an书&("N*)若则b3=2,bw=12,则a8=A.0B.3C.8D.11解：由已知知bn=2n-8自由一an=2n-8,由叠加法(a2-a1)(a3-a2)(a8a7)-6420246=0=a8=a1=31 1例5、已知数列an满足a1=，an由=an+-,求数列an的通项公式。2 nn1111斛：(1)由题知：an+-an=2=nnn(n1)nn1,an=(anan)+(an_1an，)+(a2-a1)+a1=(111n2n1)+(-

5、)+1222、叠乘法般地对于形如“已知(f(n)为可求积的数列)”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即:anananan-1a2a(n22)；anana1例6、在数列an中,ann1a(=1,(n+1),an-1=n,an,求an的表达式。and斛：由(n+1)an+=nan得an_a2a3%.an_123a1aa2a3an2341所以an=-3、构造法当数列前一项和后一项即an和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列(等比数列或等差数列)具体有以下几种常见方法。(1)、待定系数法D、般地对于an=kch-i+m(k、m为

6、常数)型，可化为的形式an+入=k(an-1+入).重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求入，然后再求an。例7、(2011广东理)设b>0,数列J4满足a1=b,小nbaan2n-2(n-2)(1)求数列4的通项公式;ban二nan2(n-1)小nan2(n-1)12侍=十一anba2an_1设=bn,则bnan.1/一2)，(i)当b=2时,6是以11,1为首项，1为公差的等差数列,rr1即bn(n-1)2an=2(ii)当b#2时，设2一22=”,+,),21令K(-1)=一,得儿=bb2-b,bn2-b二：(bn2-b)(n-2),知bn2-b是等比数列，

7、.bn2-b2-bbn-bn2-b2-bbnnbn(2-b)2n-bn、对于an七=pan+f(n)(其中p为常数)这种形式，一般我们讨论两种情况:i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为an4r=Aan+Bn+C型，可化为an+%n+%=Aan+%(n-1)+%的形式来求通项。例8.设数列an中，ai=1,an+i=3an+2n+1,求an的通项公式。解：设an.1A(n1)B=3(anAnB),an1=3an2An2B-A2A=2与原式比较系数得：2B-A=1A-1二4B=1即an1(n1)1=3(ann1)令bn=an+n+1,贝Ubn+1=3bn且b1=a+1+1=3,bn是b

8、1=的首项,公比q=3的等比数列bn=3.3°=3即：an=3n-n-1ii、当f（n）为指数哥时，即数列递推关系为an=Aan+BCn（A、日C为常数，）型，可化为an+九Cn*=A（an+九Cn）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求an例9.（2003年全国高考题）设a0为常数，且an=3n，2an（nwN*）,1证明：又视£意n>1,an=3（-1）2（-1）2a05解：证明：设an-t3=-2（anJ-t3n）nJr1用an=32an工代入可得t=一5an-3-是公比为2,首项为a13的等比数列，553n3n4an-=(1-2a0-)X-2)55nn-1n

9、即：an=3(_)(-1)n"a。5当然对于an=Aan+BCn这种形式递推关系求an时，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn+1,重新构造数列，来求an。例10、（2007天津理）在数列中，a1=2,an+=>“an+7”十十（2九）2n（nWN*），其中儿：0.(I)求数列an的通项公式;解：由an4,=Zan+/卡+(2K)2n(nwN*),Z>0,可得a所以an=n1，所以数列an所以数列bn是首项为3,公差为1的等差数列,'-I|为等差数列，其公差为i,首项为0,故员一1:：I-'n.'的通项公式为an=(n1)，

10、un+2n.(2)、倒数法一般地形如an=an、anan=an,-an等形式的递推数列可以用倒数法将其kandb变形为我们熟悉的形式来求通项公式。例11.已知数列an满足：ai=1,an=史上一，求an的通项公式。3an-i113an-111解：原式两边取倒数得：一二=3anan-1an-1、一1一设bn=，则bn-bn-1=3，且b1=1an'，bn是b1=1为首项，公差d=2的等差数列3.bn=1(n-1)3=3-2.1即an=3n-2一一_一1例12、(北东龙门育才学校2011届局三上学期第三次月考)在数列an中，a1=一,并且31，.对任思n=N,n之2都有an=an4an成立

11、，令bn=一(n匚N).an(I)求数列bn的通项公式；1一,.解：(1)当n=1时，"=一=3，当n之2时，a1,11由an'an4=anan，等式两边取倒数得：一一=1,所以0-4口=1anan-1所以数列bn的通项公式为bn=n+2(3)、对数法pq当数列an和an-i的递推关系涉及到高次时，形如：an=man-i(其中m、p、q为常数)等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。例13、(2006山东)已知ai=2,点(an,an+i)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1,2,3,(1) 证明数列lg(1+an)是等比数列；解

12、：(1)由已知ana；+2an,nnn2-an11=(an1)a1=2二an+1>1,两边取对数得lg(1+anQ=2lg(1+an),即1g(1烝"=2lg(1an).lg(1+an)是公比为2的等比数列.2例14、右数列an中，4=3且an4=an(n是正整数)，则匕的通项公式是an=(2002年上海高考题).解由题意知an>0,将an41=an2两边取对数得lgan噂=2lgan,即蚂亘土=2,所lgann-1以数列lgan是以lga=lg3为首项，公比为2的等比数列，lgan=lga12n=lg32,nn1即an=32一.(4)、特征方程法、一般地对于形如已知优=

13、m,a2=m2,an+2=Aan+1+Ban(A、B是常数)的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程(i)当方程有两个相异的实根(或虚根)p、q时，有：3=g,pn+C2qn,其中C1与C2由已知a=mi,a2=m2,确定。(ii)当方程有唯一的实根p时，有an=(gn+c2)pn,其中C1与C2由已知a=mn,a2=mt,确定。法二：可构造成an+2-x1an41=x2(an力x1an),则an书x1an为等比数列，进而求通项公式，这种方法过程较为繁杂。例15、已知a1=2,a2=3,an+2=2an力一an,

14、求通项公式。解法一：特征方程的根为1,所以an=(C1n+C2)x1n,GQ=2/口由：，得G=C2=1,所以an=n+1。2Gc2=3解法二：设an+2-X1an+1=X2(an+1X1aQ，可得公比为1的等比数列，an+1an=1,所以an=n+1。x1=x2=1,于是an+1an是例16.已知数列an满足a1=2,a2=3,anq2=3an+-2an(n=N*),求数列an的通项an。解：其特征方程为x2=3x-2,解得x1=1,x2=2,令an=g1n由1aLi2c2=2,得a2=G4c2=3ci-1.an=12n-1例17、（2009陕西卷文）已知数列an满足,a=1a2=2,an+

15、2=a卢nN*.（I）令bn=an4-an,证明：0是等比数列;（n）求an的通项公式。解：(1)证明：b1=a2-a1=1,当门之2时，bn=an书ananan212bn,1所以bn）是以1为首项，-一为公比的等比数歹U。2.1解由（1）知匚），当心2时，小心+-a-3+-行+什卢+产21n2=1工1-y)325-(-1)n4332-；广，一1-（-2）5当n=1时，-所以an=5-2（二广（nN*）。332本题也可以用特征方程来证明，同学们不妨自己试试。般地形如：an+=aan+b（a、b、c、d为常数）cand可得到相应的特征方程：x=axb,再将其变为cx2+(d-a)x-b=0,通过

16、该方程的根cxd的情况来重新构造数列。如果方程cx2+(d-a)x-b=0有两个相异的实根，则有数列曳二是以曳二E为斗-qai-q首项，a-cp为公比的等比数列；a-cq一,一、一一一一1,一，1、.、，(|)如果万程cx2+(da)xb=0有两个相同的实根，则数列是以为首an-pai-p2c项，为公差的等差数列。adap.为(1ap)(1aq)例18、(2009江西理22)各项均为正数的数列an,a1=a,a2=b,且对?足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有am-a(1am)(1an)14(1)当a=-，b=一时，求通项an;25a.an(14)(1an)解：(1)由垢"=一

17、:a得(1am)(1an)(1ap)(1aq)逛一a.将a1=-,a2=-代入化简得(1a?)。an)25_2an1an2构造方程x=ax(a=2,b=1,c=1,d=2)化简彳导:x2=1解得x=1和-1.cxd1a所以数列Jan为等比数歹u,1an所以L乌1an11-an31a。3n-13n11a1从而：Ln='，即a1.an3nn.3n-1，可验证，an一1满足题设条件.nn31例19已知数列满足为=2,烝二乙二十2(n22),求数列a。的通项an.2anJ1解：其特征方程为x=222,化简得2x22=0,解得Xi=1,X2=-1,令2x112an1-1an-1二can11an1

18、4-1由a1=2/寸a2=,可行c=,1 53二数列曳二1卜是以吧为首项，以为公比的等比数列，an+1a1+133.an-1,C1.a-3n(_1)nan133'n3n(1)n三、当题中给出的是Sn和an的关系时，我们一般通过作差法结合an=Sn-Sn1这个通用公式对原等式进行变形，消掉Sn得到an和an+1的递推关系，或消掉an得到Sn和Sn1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。例20、(2007湖北理19)已知数列an)的前n项和为Sn,且满足：a1=a(a#0),an+1=rSn(nN,ruR,r=-1).(I)求数列an的通项公式；解：(I)由已知an=rSn,可得an2=

19、rSn由，两式相减可得an2-an1=(、1-S=ra1>即an2=(r1)an1,又a2=ra1=ra,所以r=0时，数列4为：a,0,0,；当r#0,r#-1时，由已知a00,所以an#0(n=N),于是由2口七=(r+1注杂可得包=+1(n£N*),an1,a2,a3,，an+成等比数列，当n之2时，an=r(r+1)n'a.，一一，,ann=1,综上，数列an的通项公式为an=Jn2r(r+1)na,n>2例21:(2007重庆理)已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn>1,且*6Sn=(an1)(an2),nN(1)求an的通项公式；1斛：由

20、a1=S1=(a1+1)(a1+2),斛信a=1或a=2,由假设a=S>1,因此a=2。611,又由an+1Sn+1-Sn(an书+1)(an+2)=(an+1)(an+2),66得an+1-an-3=0或an+1=-an因an>0,故an+1=-an不成JlL,舍去。因此an+1-an-3=0o从而an是公差为3,首项为2的等差数列，故an的通项为an=3n-2。例22.(2009全国卷n理)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn书=4an+2(I)设bn=an书-2an,证明数列bn是等比数列(II)求数列an的通项公式。解：(Ia1=1,及Sn+=4an+2,有213=24+2a2=a#25.饼氏2街3由&+=4an+2,.则当n22时，有3=4%,+2.一一得an-1=4%-4%/,an1-2an=2(%-2%)又bn=an由-2an,二bn=2bn二bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.(H)由(D可得bn=an#2an=32n，?