数学实验特征值与特

1、数学实验特征值与特征向量数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验六矩阵的特征值与特征向量问题一1 .实验目的1 .掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2 .掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3 .理解由差分方程Xk+i=Axk所描述的动力系统的长期行为或演化；4 .提升对离散动力系统的理解与分析水平.2 .问题描述当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时,是确定该动态系统的演化给出Xk的计算公式.猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化？该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态.如果该系统的某个方面例如出生率或者捕食率有稍微变动,系统会如何变化？3 .问题分析

2、将线性变换*AXk的作用分解为易于理解的成分,其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键.根据信息,找到系统对应的差分方程Xk+i=Axk,求出A的特征值和对应的特征向量,再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形,分析出系统的演化过程.四.实验过程问题对应的差分方程为Xk+i=Axk,其中A=0.5020.1251.1<J演化过程求解如下：第一步：求A的特征值和对应的特征向量.利用如下的代码即可获得：A=0.50.4;-0.1251.1;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend&

3、#39;);temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.6247-0.9701-0.7809-0.2425显然,这两个特征向量(即pc的第一列和第二列)是线性无关的,它们构成R2的一组基,为消除小数,选取V2='4、1、P="44、<51>P-1AP=11.000、<00.60第二步：Vi用和V2表示X0和XK,k=i,2由于Vi,V2是R2的一组基,所以存在系数C1和C2,使得X0=ciVi+C2V2.由于Vi,V2为矩阵A对应于入

4、=1.0u=0.6的特征向量,所以AVi=?Vi,AV2=?V2,于是Xi=Ax0=A(ciVi+C2V2)=Ci入Vi+C2UV2.X2=AXi=A(Ci入Vl+C2入V2)=Ci%Vi+C2U2V2.般地,Xk=Ci犬Vi+C2UkV2.k=0,i,2,3.Ci(i.0)kf4+C2(0.6)吓4-5J当k趋近于无穷大时,0.6趋近于0,假定Ci>0,那么对于所有足够大的k,xk近似地等于Ci(i.0)kVi,写为XkCi(i.0)f45JK越大,近似程度越高,所以对于足够大的k,Xk+i=Ci(i.0)hi14、15J可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且Xk约为4倍数,所以每

5、4只猫头鹰对应着5000只老鼠.第三步：解的图像表示,见图8-1,其中绿色圆圈代表初始点X0,红色圆点代表迭代序列,箭头代表迭代方向,蓝色直线代表特征向量Vi,V2所在的直线.在图8-1中,圆点为鞍点,排斥最快的方向为过圆点和特征向量Vi的直线方向.其中Vi对应的特征值得绝对值为1.如果X0在这条直线上,那么表水C2等于0,且Xk始终在原点.吸引最快的方向由特征向量V2决定,其对应的特征值的绝对值大于1.2»0二,二10K阪相应的代码如下：%P8_1.m%捕食者-被捕食者解的图像表示clear,clca=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;n=100;xlabel(

6、'|lambda|=1,|u|<1')axis(abcd),gridon,holdonx=linspace(a,b,30);A=0.50.4;-0.1251.1;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)pc=-pc;z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(

7、7)-100,'v1')h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')button=1;whilebutton=1xi,yi,button=ginput(1);plot(xi,yi,'go'),holdonX0=xi;yi;X=X0;fori=1:nX=A*X,X0;h=plot(X(1,1),X(2,1),'R',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-');text(X0(1,1),X0(2,1),'X0

8、9;)quiver(X(1,2),1,X(2,2),1,X(1,1)-X(1,2),0,X(2,1)-X(2,2),0,p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend五.结论与分析由于当k趋近于无穷大时,0.6趋近于0,所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当.系统趋向于不稳定平衡的状态.当出生率下降或者捕食率增大,或者相反的情况,该平衡状态就会被打破.直到重新平衡或者系统完全崩溃.问题二一.实验目的1 .掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2 .掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3 .理解由差分方程Xk+i=Axk所描述的动

9、力系统的长期行为或演化；4 .提升对离散动力系统的理解与分析水平.二.问题描述在美国的黄杉森林中,班头猫头鹰主要以豚鼠为食.假设这两个种群的捕食率-被捕食率矩阵为A=0.40.3;-p1.2(1)证实：如果捕食参数p=0.325,那么两个种群都会增长.估计长期的增长率及猫头鹰与豚鼠的最终比值.(2)证实：如果捕食率p=0.5,那么猫头鹰和豚鼠都将灭绝.(3)试求一个P值,使得猫头鹰和豚鼠的数量趋于稳定.此时,对应的种群数量是多少？三.问题分析将线性变换关Axk的作用分解为易于理解的成分,其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键.根据信息,找到系统对应的差分方程Xk+i=Axk,求出A的特征

10、值和对应的特征向量,再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形,分析出系统的演化过程.四.实验过程问题对应的差分方程为Xk+1=AXk,其中A=0.40.3、-P1.21J,演化过程求解如下：(1)当P=0.325时,类似问题一的结决方案,可求出A的特征向量与特征值,代码如下：A=0.40.3;-0.3251.2;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=1

11、.05000.5500A的特征向量pc=-0.4191-0.8944-0.9080-0.4472将小数乘以相应倍数变成整数V1=5V2=2/P=52fP31AP=1.050、111I111tC0.55J<J由此可知,当k趋近于无穷大时,0.55趋近于0.所以A的特征值取1.05.即猫头鹰和老鼠的数量几乎每个月都近似增加到原来的1.05倍,即有5%勺增长率.所以天约为511,即每5只猫头鹰对应着6500只老鼠.最终比值为1300.(2)当P=0.5时,类似问题一的解决方案,可求出A的特征向量与特征值,代码如下：A=0.40.3;-0.51.2;pc,lambda=eig(A);Y,I=so

12、rt(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=0.90000.7000A的特征向量pc=-0.5145-0.7071-0.8575-0.7071将小数乘以相应倍数变成整数V1=5V2=1P=53CP11AP=0.90、0J0.7由于所有的特征值得绝对值都小于1,所以当k趋近于无穷大时,xk趋近于零.所以这个模型预示着斑点猫头鹰最终将会灭绝.(3)采用试值法取p=0.4.可求出A的特征向量与特征值如下：A=0.40.3;-0.41.2;pc,l

13、ambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.4472-0.8321-0.8944-0.5547由于当k趋近于无穷大时,0.6趋近于0.所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当.系统趋向于不稳定平衡的状态.五.实验结论捕食者-被捕食者问题说明了动态系统Xk+1=AXk的几个根本领实:1 .假设它的特征值|入|A1,|入j|W1,对于j=1,2,3,并且Vi为入i的特征向量.如果初始向量X0=C