高一数学必修2立体几何概念定理公理整理

1、立体几何的«Z念、公理、定理、推论整理（1.2）高一八单郭祺整理（一）平面的三大基本公理和推论:公理1:如杲一条直线上的两点恋一个平而内，那么这条直线上所冇的点都在这个平而内（即这条直线衣这个而内）如图:AW aBG a J=> ABCa公理2:如果两个平面有一个公共点，邢么它们还有其他公共点，这些公扶点的集合是经过这个公共点的一条直线.如图:AG叽AS PJa A p=a JI AGa公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.rAe a如图：A,BC为不在同if!线上的三点，冇且只冇一个半而使J Be aICGa推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平

2、面.如图：B.CGa. A/a.冇且只冇一个平而a ,使弋霍已知，育一条直线a和直线外一点A求证：经过-条直线和这条总线外的点.有且只有个平向 证明：在直线a卜取任意不重合两点B. CX * A / a/.A, B. C不在同一直线上即过A. B- C三点百且只冇一半面Q （公理3VB, CGa, 乂 B CG u，所以 aC a （公理 1）所以经过一条直线和这条直线外的一点.有且只有一个半面推论2:经过两条相交直线，有JL只有一个平面如图：aflb=A 有且只有一个半面a 便bGa已知：直线aCb=A求证：经过两条相交山线，有且只有个平面证明：在a. b上分别取不同于点A的点B和点C则过这

3、不在同-自线上的三个点有且只有个平面Q （公理3）VAt Bb,又 A,BGa： A, Ceflt 又 A, Ce ag be a （公理1：如果条直线上的两点在个平面内.那 么这条巴线就在这个平啲内）因此平而a是过相交氏线心b的平面.假设过亡线a. b还冇个平而P则 A. B. ce B则过A. B, C有两个平面a和B与公理3矛厉原假设错谋过加b的平面有且只冇个经过两条相交1线，有且只有个平面已知：逍线ab求证：经过两条平行宜线.有且只有个平面证明：根据平行线的定义：同一平面内,不相交的两条h线叫做平行 线a> b在同“平面内（a> be a ）在山线a上取点A（AWa）假设经

4、过直线纭b有另-平面P则B过点A和血线b与推论1矛厉原假设错谋经过两条平行也线，有且只有-个平1加沫咛表示存在，“只有99表示唯一 “JT表示联立命題 所以此问越的证明即委证明絕存在性99又要证明“唯一Mt纠正与补充:探（注愈不仅要证明“有J还要证明"只有一个J证明“只 有一个赖时使用的足反证法） 反证法一般程序:1 假设结论错误2堀理推出假设矛盾3.否屯原假设4 肯屯结论为鸟34（二）空间两条直线的位置关系（平行、相交.异面）公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.（平行线的传递性）如图：呀b“cbc等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分別平行并且方向相同，那么这两个角相

5、等.如图：酬沪Z沁ZCWad . / A B J证明s ZCAB=ZC, Ar B分别在ZCAB和ZC'A' B'的两边上截取AC=A* C AB=X B* 连结 AA' CC BBS CB. C'B'C； 今四边形abb*足平行四边形M AA同理.工BB I.AACC丿BB丄CC今四边形CBB* C是平行四边形R AC=Af c9 AB=A* B AABCAA* C9 => ZCAB=ZC# A* B，CB二U Br 推论:如果两条相交岚线和另两条相交直线分别半行.那么这两组竟线所成的旅角（或克和）相等。补:如果一个肉的两边和另一个用妁网

6、边分别平行并且方向相反、那么这两个用互补.异面直钱的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条克线叫做异面亢线.异面直钱判定定理：过平而内一点与平面外一点的直线.和这个平面内不经过该点的克线是异而直线如图：A/ a >Be aa aA. BEL探我们把直线L与直线a所成的说角（或直角） 叫做井面宜线L. a所成的如（0° ,90°已知：直线8在平l&j a内（aea ）直线L与平面Q交于B点（Lna=B） 在頁线L上冇不同于B点的一个A点（AHB）且点A在平而a外（Aa） 求证'££线L与厲线a斤面证明：假设直线L与直线a共面.过B点和

7、直线a有且只有一个半面a （推论1直线"和直线L都在平面a内又 AWL. LCa ,所以 AG a 与点A在平面a外相矛盾原假设错谋直线L与直线a不共面直线a与直线L为异面直线（井面直线的定义）若异面直践厶所成的角是直角,则称异面 直线厶互相垂宜.记作1丄（找线垂直） 一般H面苴线求角度我们通过半移至相交求其 所成的夹角大小.在一个三角形内烬决异而貢 线所成的角度是一种常用的方法两异面直域间距离:公垂线段公萋线段:上片而亶仪丸直相交的/7A叫做这网条井面直线的公垂线.两条并面直 线.有n只有一条公抿 线。纠正与补充:立体几何的学习离不开平面凡何的基础正方形的判定定理|1 有一个爲是直

8、励的菱形是正方形2 对角线互和垂直的矩形是正方形3 四边相等的矩形是正方形矩形的判定定理，1. 对用线相等的平行四边形是矩形2有一个角是直角的平行四边形是距形I2, 有三个角是直角的四边形是矩形J«：图中SttAB是异面直b 、b的公垂枚.初中有关知识回顾（简略）平行线判定方法：1同位角相等.两克线平行.2内佶角相等.两亢线平行.3同旁內角互补.两直线半行.4平行于同一直线的两条克线互相平行.5同一平而内.农査于同一査线的两条克线互相平行. 6同一平而内.永不相交的两条克线平行.平行钱的牲质：如图：已知直线甌恵线L与直线m n分别相交于点A点B。1两直戏平行.同位角相等（如图：Z1=

9、Z2）2两直纽平行.内钳角相等（如图：Z2=Z3）3两直找平行,同旁内角互补I如图,Z2+Z4=1SO* ）平行四边形的判定定理，1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形2. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4. 一俎对边平行卫另一如时边和等的四边形是平行四边形5 对用线互柏平分的四边形是平行四边形6对分别和等的四边形是平行四边形菱形的判定定理：1.对用线互相垂直平分的四边形是董形I2 对用线互和垂直的平行四边形是芨形了3.邻边和等的平行四边彫是菱彫5平行线等分钱段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等.那么在其他直线上截得的线段乜相等如图

10、：L1 / L2 /L3L4L5. L6为任堂三条截这组平行线的直线若 a=a.则 b=b» c=c推论*经过三角形一边中点H.与另一边半行的直线必半分第三边经过梯形一腰的中点H.弓底边平行的直线必半分另腰（证明略）平行钱分线段成比例定理：三条平行线截两条直线.所得对应线段成比例.如图：ADBECF,AB： BC=DE： EF： AB： AC=DE： DF： BC： AC=EF： DF。 也可以说 AB： DE=BC： EF： AB： DE=AC： DF： BC： EF=AC： DF.平行线分线段成比例定理推论：平行于三內彤一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例（三

11、）直线和平面的位置关系一条直钱和一个平面的位置关系有且只有以下三种：1. 如果一条n线a和一个平而0没冇公共点，我们就说在线a与平而平行 Z a ）2如果直线a与平面a宵11只有一个公共点，我们就说直线a与平面a相交（aH a =A）3如果直线a与平面冇无数个公共点.我们就说H线&在半面Q内（aCa ）#6MM MM MM MM « MM « MM W MM MM MM OHM MM M MM MM MM MM MM MM MM W MM 直钱与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行.那么这条直线和这个平面平行。如图：a/a -1bC a

12、aa/Zb 直钱和平面平行的性质定理：如果一兼直线和一个平而平仃，经过这条血线的平面和这个平而相乞.那么这条直线轨和乞线平行如图： aaaC 卩今 aZ4>a 门 B =b .a/u aC p , a n p=b （如图） a/b直线a与平而Q没冇公共点bU a直线a和b没有公共点I a/ba« bC P J本题还可以用反法迄明（略） MB OB MB* MM MM MB MM MM MM « « «» MM MM «» MM OMB MHB «» MB OHB « W MM求证：如果三个

13、平面两两柏交于三条直线，并且其中两条直线平行.那么第三条直线也和它们平行。己知:Tlfi 5队丫（为图中三棱柱的三个侧Iftl） , aA3=n, uAy= m, yAP=L, 11 m/n求证：L/m» L/n 证明糾正与补充:n/n n/ V 卜今 n/Y mU Y J nU B 今 L/n 同理 L/m P A ¥ =L .如果三个平面两两相交于三条£线，并且其中 两条苴线平行,那么第三条£线也和它们平行.可当作一个结论或定理来用8你有办法证明吗？试一下吧!P31思考题：如杲三个平面两两相交于三条JL线、并且其中两条直线相文.那么第三条直线和这两条

14、立线有怎么样的位逍关系 答：第三命线过这两条直线的交点如图已知：o A 3 =b, y A 3 =c, a A ¥ =a, aDb=s求证：a nbAc=s证明：v y n p =cc为平面Y和B的交线又'bw P t ae y , a Ab=sAsec （两个相交平面内的两条直钱交于一点,则这一点必定在这两个面的交钱上）anbnc=s如果三个平面两两相交于三条直线，并JL其中两务直线相交.那么第三条直线和这两条直 线交于同一点（证明略）可当作一个结论来用直钱与平面的垂直如果-条J1线a打一个平面a内的任意-条豆线都垂孔 我们就说直« a 1J平面。互相垂宜.记作。

15、丄a 直线a叫做平面a的垂线f lfil a叫做直找a的垂面,垂线fUTlftl的交点称为垂足.重要的两个结论“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2过一点有且只有一个平面与巳知直线垂直.（证明方法参考钥匙P38） 直钱与平面蠱直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的胸条相交直线垂直，那么这条直线垂直干这个平面. 锻本定理的证明在我灯现在的知识范国内解决很麻烦.在此就不做洋細证明.直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面.那么这两条直线平行.如毗今小已知：a丄a , b丄a求证：a/b证明，假设b不平行于a.设anb= b是经过点P与貢线a平行的直线.直线b与确定平面P>

16、S a n p =cTa丄a , b丄a.* a ± c b 丄 c乂 b'ab 丄c这样在半面卩内.经过克线c卜同一点R有两条貢线b. b'与c乖直. 与半面几何中经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线乖直相矛盾. 原假设错误定理1：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面.mGa * :严丄m由m的任意性可知.直线b垂直干a内任意一条直线 - a所以bid沫可作为直线和平页垂直的判定定埋直接使用定理2： 条克线垂克于两个平行平面中的一个平面.那么它也垂克于另一个平面. 如图，：d。已知：a /P a丄a求证：a丄卩证明：设 aQ

17、a =A, aA 3 =B在半面u闪取任总条直线b过b做截面Y , Y n u =bt ¥ O p =c又因为a/P所以bB则b/c线和平面平行的性质定理）又a丄a bC a所以alb所以&丄c （一条直线垂直于一组平行线中的任总一条.则这条直线也将垂矗另-条） 山于b直线在平面ci内具育任总性.则c直线在0平面内也具有任意性 所以a垂直0中的任堂直线 所以a丄B/W7直线与平面所成的角:一条直线和一个平面相交.但不和这个平曲垂立，这条直线叫做这个平面的斜钱P斜线与平面的焦点叫做斜足5斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平由的侨钱趾如图.过平面外一点P向平面a引斜践和垂纷 那

18、么过斜足Q和乖足P'的直线就是斜线在平面 内的正投影（简称投影人线段P Q就足斜线段PQ在平而内的射影.平而的-条斜线与它在这个¥面内的射彫所成的悦角叫做这条直找与这个平面所成的角PQ与平面a内经过点Q的直践所成的所有角中.ZPQP'最小。（可辽明,直线和半面所成的角Q的范用0° W0W90。而斜线和半面所成的角0的范国0° VQV90。 出直线与半面平行或直线在平面内时.直线与半面成（T角;時直线与平面垂直时.宜线与平面成90° 11外补充：射影定理从平而外一点向这个平面所引的垂线段和酬线段中: （1 ）射彫相等的两条斜线段和等，射影较

19、长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3 ）垂线段比任何一条斜线段都短.三垂线定理及其逆定理（很重要哦）三垂钱定理：在平面内的一条克线，如杲和这个平面的一条斜线的射影垂jL 那么它也和这条斜线垂克.巳知求证证明亡线a在平血从 厲线AB是¥倆（ 的斜线.CB为AB在¥面a内的射賊Kai直CB a丄ABaC aAC丄a=> a 丄 ACJ a 丄 BCACnBC=C=> a 丄 ABCABU¥fd ABC如图心#三隹钱定理的運定理：在平面内的一条直线，如釆和这个平面的一条斜线垂直、膈么它也和这条斛线的射彭垂直.糾正与补

20、充:巳知：H线3在平向a内.直线AB是Ylftl «的斜线.CB为AB在¥lfii «内的射影.Ha垂点AB 求证：alCB 证明：aCaa±AC AC丄 ° J a丄AB U alABC丄cbABGBC二BjABU半間 ABC J三垂钱定理及其逆定理的互相转换在考试中特别常用.它是解题过程中的一个 “中转站S运用熟练对我们解决许多空间几何问题有极大的帮助.9证明题（此题所证明的问题是一个非常車理的结论.需留意！）#10如图.已知ZBAC在平面Q内.a , ZPAB=ZPAC 求证:点P在平面a内的射影在ZBAC的平分域上. 证明：作P0丄a,

21、 PE丄AB, PF丄AC,垂足分别为0, E, F,连结0E, OF, 0A.PE 丄 AB. PF 丄 AC ZPAB=ZPAC PA=PA今 RtAPAERtAPAF(AAS)AE=AF.P0 丄 a I ABU a 了刁:1 pe 丄半 ihiPEBAB 丄 0E同理.AC丄OF.在 RtAAOE 和 RtAAOF 中，AE=AF, OA=OA, 所以 RtAAOERtAAOF于 ZEA0=ZFA0因此，点P在a内的对影0A在ZBAC的半分线上这是个取耍的结论.在选祥填空題可帮助我们迅速駢决问题线与面垂直还有面与面垂亶的问题较为复杂.因为在空间里垂直不再能够直接看出来.缺少直观会让我们

22、思路不明确.故解决垂亶问题时大家要注意.（四）平面和平面的位置关系空何两个平面不外冇两种位宜关系：平行哎相交平行，如果两个半面没冇公共点.那么就说这两个半而互相平行相交：如果两个¥面仃一个公其点，那么山公理2可知.它们相交于经过这个点的一条出线两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,此定理推论：如果一个平面内有两条相交直线 与另一个平面的两条相交直贱分别平行，那么这 两个平面平行（因为两条相交直线确定唯一一个平面）这是重要的推论哦，给你解题带来很大的方便！已知*在半面a内有两条相交直线 b. anb=A. H直线a. b都半行半面P 求证，a/P证明&

23、#163;假设半面a不平行干平面0.则它们必相交于一条直线.设这条直线为c假设直线a, b同时平行c则a/b （平行与同一直线的两直线半行人与己知条件中a. b相交矛盾 故a. b直线不可能同时平行c所以a. b直线必与c直线存在交点.且交点在半面Q和P的交线c上 与已知条件中a. b同时平行平而卩相矛盾 所以原仮设半面a不半行千平面0足箱的所以a/PaC a 、bCaaDb=A a B a/Pb/P)那么这两个平面平行.你知道为什么如果一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面.那么这两个平面平行是假命題吗？答：如图2.半面。和0相交于我们可以在半面1内作岀无数条宜线与半匍0半行.也就是说即

24、使在一个平面内有无数条宜域和另一 个平面平行.也不能保证这两个平面平行.更不川说两条半行线了。迈 亍墓讦耳二茲厉鬲不芷石苻壬纠正与补充:#证明两个平面平行的方法目新有且仅有 两种:（1）良义法（需借反证法证明）;（2）判定定理法.其中一个平面内有 两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行槨是目前我好的 方法.使用该方法必須在一个平面内 构遥出相交直线与另一个平面平行如图已知：平而Q和B都垂直于直线航求证：a/P证明：设经过直线AA'的网个半面丫 6 （读作 delta）分别与半面a, B相交于直线b. b9 和 a, a* oVAA,丄 a . AA* 丄 0 AAA,丄a

25、. AA laAA a, a*都在平面6内由平面几何的 知识：在同一平面内垂直同一直戏的两直 线平行A a* /a （线面平行的判定定理同理/aXVa* Dbf =Af: a bf e P a /P该題可以作为两个平面的判定定理11定理口：平行于同一平面的两个平面平行.如图：P/Y 今 Q/ P己知s aY. P/Y 求证：a/P证明： 任作条直线a,便得a丄Y. 由于 U /Y P/Y r 则 3丄Q3丄卩（定理1）A a/P补充几个结论：1 经过平幻外一点（一条直线）有且只有一个平面和已知平面平行2. 夹在两个平面内的平行线段相等3. 夹在两个平而内的平行线与平面所成的用度和等4. 一条直

26、线平行于两个平行平血中的任意一个.則它也平行于另一个5. 一条直线垂直于两个平行平面中的任意一个.則它也垂直于另一个（证明略-）还有（你还能想到什么？请写下来吧）6.7.&#12两个平面平行的性廣定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行.如图:a/P -|a n V=a l=j> MbP n v =b J已知：求证，证明：因为a 卩.所以a和0没有公共点.因而交线a. b也没有公共点. 又因为a.b都在平面Y内，所以a/ba B <1 n Y =a, P n Y=b a/b OBBB 平行平面间距曳：与两个半面都垂直的直线，叫做这半面的公垂钱，它夹

27、在这两个半面内的线段L做这两个平面的公垂线段. 两个半面的公垂线祁相等我们把公乖线的长度叫化两个平面间的距离用鼐面面平行”的性质证明线面平行，线找平行的方法一 两个平面平行有如下性质：1两个半行半而中，一个平而内的直线必平行于另一个半面简言之，“面面平行=找面平行".2如果两个平行平面和第三个平面相交，那么它们的交线平行.筒rrz, “面面平行*钱找平行”.因此，面面半行的性质可以解决“线线平行”和”线线平行”的问題.二利用性质解决问題的关權是构造出性质定理的应用背景.2林是解决立体几何何題中的一个升常朮耍的思想（有时要证明面面*.W八“时虬，2、须先证明面面平疔）二面角的概念：平而

28、内一条亢线把这个平面分成两部分.其中的每一个部分都叫做平面角.从一条克线出发的两个半平面所纽成的图形叫做二面角. 二面命的大小：以二面角的技上任意一点为塢点，在两个面内分别作垂直于技的两条射线这两条射线所成的用叫做二而角的平面角.注意：二而甬的大小是通过转化成二而甬的平面甬来度董的二面用的平面血是多元，就是这个二面商是多大我们規屯二面用a的大小范闌 是（T Wa W180直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角两个平面垂直的定义:两个平而相交，如果所成的二面角是直二而角，則称这两个平面互相垂直B AM MB * > M 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这

29、两个平面互相垂直. 叫;”丄"A已知：11线AB垂11平面a flftl 0过直线AB. « A P=MN 求证：a丄B证明：在半面a内找一点C.连结CB使得CB丄MNTAB丄 a MNCaAB 丄 MX又CB丄MN： ZABC是二面角a MN - B的平面角乂 DCU aAB 丄 BC.ZABC=90 =即平面a和P的二而角是直二而角. a 丄 B纠正与补充:13两个平面垂点的性质定理：如果两个平面互相垂直.那么在一个平面内垂点于它们交线的直线垂直于另一个平面.#s S图知证如己求B丄丄ABABC a AB丄mB为垂足证明，在半面P内作BC丄m则ZABC是二衍角u -m 由a丄可知AB丄BCL AB 丄 a BC Q m=BAB丄 0平面角.#f a = 丄u p a a n 叭知i£:a 如已求证设afaep:如果两个平面互相垂克，那么经过第一个平面内的一点且垂直第二个平面的1L线必在第一个平面内.过点P在平面a内作直线b丄c, 根据半面与半面垂直的