马克思再生产图式的数理分析_董晓远

1、经济科学 1996年第3期马克思再生产图式的数理分析北京大学经济学院董晓远在马克思的经济理论中，再生产理论受到了各派经济学家的普遍推崇。这一理论着重阐明 了：社会再生产要能顺利进行下去，社会生产的两大部类及各部类内部各部门之间必须保持一 定的比例关系。这-深邃的思想，是通过形式极其简单的再生产图式予以说明的，并用十分简 洁的公式进行了精炼的概括。马克思的再生产图弍，对于说明他的思想内容，无疑是简洁明快的，是足够的、充分的，但 当我们用数理经济学的观点对再生产图式进行审视时我们还是有了新的发现。让我们重新审视一下马克思的再生产图式，分析其数例与公式中所蕴含的数理形式。这对 于我们将他的再生产理论

2、进i步展开，从定性分析过渡到定量分析，具有十分重要的意义。简 单再生产的著名数例：I ：4000c+ 1000v +1000m = 6000（“H : 2000c 4- 500v -h 500m = 3000它表示出了两大部类各自的规模、有机构成以及剩余价值率。由上两式很容易推知第I部 类产品的每个价值单位中所包含的转移的不变资本价值（£c = |cj,可变资本价值 I 2v = |vj以及剩余价值（= 侗理，第5部类产品的每个价值单位中所包含 的不变资本、可变资本与剩余价值分别为为了将上面数例一般化，我们用a”, a2|V»a3im与ai2Cta22v»a32m

3、分别表示第1和第I部类产品的单位价值的构成:I :a】ic+a2v+a3im=l（2）I ：a12c4-a22v+a32m = l而用x,x2分别表示第I、U部类的规模，则：I c = anX, I v a2 X, * I m = a31xl *H c = ai2X2t I v = a2:x2 D m=a52X2>这样,两大部类的简单再生产平衡关系式(3)：r I (c+v+m)= I c+ H cD (c+v + m)= 1 (v + m)+ 1 (v + m) 就可以写成：Jx1=allxl+a12x2xz=(a?+83i)Xi + (a22l_a3z)xz或写成矩阵方程:72a12

4、岂2十332则上式可进-步简化为x = Ax(4)这就是简单再生产条件下两大部类平衡的条件表达式。同理若把第0部类分为生产基本 生活品与奢侈品的两个副类叽和叽那么我们分别设这两个副类的产品单位价值的构成n A：alzca22v+a32m=l(5)【b：aI3c-Fa23v+a33m = l而用x2和x3分別表示IL、11.的规模第I部类的仍用原来字母表示。用5(0W$Wl，i = 1,2,3)分別表示第I、匚、U b部类资本家的必要消费资料占其全部个人消费的比例，则(1一&必为奢侈品所占的比例。那么这时的平衡条件I (c+v + m)= 1 c+ a ac+ n 山v 11 “2+v十

5、m= I (v十认m+ I a(v4-S2m)4- I (v-FS3m) (6)U b(c+v+m)= I (1&)m+ I a( 1E)m+ I b(l83)m 就可以写成auaua：3或Xz=a2l +§勺 3】+ °2*32矶彳+昭尙彳Lx 3-(l-5i)au(1§2)a32(1 §3)*33x,=anX|4-a|2x24-anX3X2=(a2i+&H)X +(822+6832)x2 + (423 + 33)x3X3 = ( 1 6.比3| X)+ ( 1 0 "32X2+ ( 1 & "33X3x；a

6、ual3aB令乂=X2A=a2) +$】心1322 + 82a32-(1(132)a32(1&)心3则矩阵方程可进一步简化为：X = AX(8)这就是简单再生产卜各部类的平衡条件。它与马克思所列的平衡条件完全一致只不过换了一种表达形式而已。简单再生产能否顺利进行卜去就看能否找到合适的X|、X?、X使各个平衡 条件同时成立即看方程X = AX是否存在有意义的解或者说非负矩阵A是否存在非负特征根。同样地，扩人再生产的平衡条件也可以进行类似的改写。令队禺分别为第I、第I部类的 剩余价值积累率(0<$<1,0<32<1)"|,心2分别为两大部类产岀的増加额。要

7、增产则两大部类需要追加的生产资料与消费资料分别为：I Ac=anAx!. I v=a2Ax“I Ac=a12Ax2, 1 Av=a22Ax2 相应的，资本家用于个人消费的剩余价偵(:1乎=(1一此”3曲H = ( 1 念)心必2 X则扩大再生产的平衡条件：| 1 (c+v+m)= I (c丄(?)+ H (c + Ac)I (c+v+m)= I j v+Av+乎 j 4- I 卜+Av+¥ 可以写为(9)(10)(11)73?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved

8、 http:ZAJ X =a：i(X + Ax、)+a2(Xg+Ax?)lx2=a21(Xi + Ax】)4-a22(x2+Ax2)4-(lft)a31x1 十(1 32)a32x28】?+的玄2£Lx2 +Ax2(1 Pl)a3)0 w(1p2)a32-Lx2J?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved http:ZA或进一步简化为:X = A(X+X)+DX其中D=-(1Pi)a3i(一认令X为第'期产量XWX+AX)为下-期产量X(+),?1994-2

9、017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved http:ZADX(t) = Y(t + l),则上面的矩阵方程可进一步改写为：X(t) = AX(t + l)+Y(t + l)(12)那么扩大再生产能否烦利进行下去，关键就在于能否确定岀有意义的X】和X2,使扩大再生产 的平衡条件式同时成立，即关键在于矩阵差分方程X(t)=AX(t + l)+Y(t + l)是否存在有意义的解。相应于简单再生产下把第3部类分为IaUb的情况令R(0<ft<l,i = b2,3)为第I、 、叭部类的

10、剩余价值积累率佝,的意义不变则扩大再生产下各部类的平衡条件'I (c+v+m)= I (c+Ac)+ I °(c+Ac)+ D b(c+Ac)(13)I "(c+v+m)= I i v十Av + h 乎+ I aj v+Av+§2 乎+ I 寸 v + Av+心乎I b(c+v+m)= I (1一&)旦 + I B(l-82)-4- Ibd-Sa)-lXXX可改写为：fx1=aH(xL+xl)+a12(x24-x2)4-an(x3 + x3)(14)=a2l (Xi+) +8. (1 ft )a3lXj 4-a22 (x2 4-Ax2)(1 ft

11、)a32x2+a23 (x34-Ax3)(1P3)a33X3X3= « ”31X1 +(1 52)(1 92)32X2+(1 53)(1 83)333X3或ai)a2：+® (1 Pi)a.n (13)(1Pi )a3la12a22 + ®(l 一卩2)32(I-2)(1 3?)a32a)3823+63(1卩3”33(1§3)(1卩 3兀33IE!A=Pi)a31-(1)(1P)a31a：2aB巾22 + §2(132)心2包 3+33(1卩3亢33 ，(l-a2)(l-p2)a32(1 一63)(1-卩 3)a 如3ii纠2a"B

12、=a21a 22a23-000 JXiH g= X2X = X(t),X+AX=X(t + l?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved http:ZA则上面的矩阵方程可进-步写为：X = AX十BAX或X(i) = AX(t)十BX(t + l)X(t)这样，扩大再生产能否顺利进行下去，关键就在丁矩阵差分方程:(15)X(t) = AX(t) + BCX(t + l)-X(t)J是否存在有意义的解了=>由此可见，马克思再生产图式具体数例演算中所绩含的解决平衡问题的一般

13、原则,乃是对 表现社会再生产过程本质联系的线性方程式的联立求解。卜衡的两大部类比例关系即为线性74方程组(或矩阵方程)的解，或者说是某一(相关)矩阵的非负持征向量。马克思再生产平衡条件 的这-数理形式矩阵方程式,与现代数理经济学中的多部分结构方程式，如动态投入产出 模塑等具有形式上的高度一致性。静态与动态投入产岀模型稍加变换，即可化为与上面几个 矩阵方程形式完全一致的方程。(见附录)从两大部类及获相互关系的甬度与从各个部门相互关系的角度，对社会再生产平衡条件 进行表述不仅所导出的矩阵方程十分“形似”，而且高度“神似”，部类平衡与部门平衡,实质上 是完全相同的，两大部类内部及部类之间的实物替换与

14、价值补偿就是各个部门产品的供求平 衡;逆命题也成立。所以两者是相互包含的完全等价的，两者的差别主要是俺述问题的角度不 同。当然，从各生产部门的角度进行分析，更有利丁数据的收集与处理，更有利于对各产业部门 间复杂的投入产出联系的全面、准确(定董)把握,其分析结果也便于实际应用。因此，可以认为 马克思再生产图式的改进和具体化，就是当代数理经济学中的多部门生产模型。附录：投入产岀模型与再生产平衡短阵方程的形式1致性令x(t)为总产出向为消费向量,A为消耗系数矩阵,B为资木系数矩阵，则静态与 动态投入产岀模型分别为：x = Ax + y(1)x(t) = Ax(t) + BCx(t + l) x(t)

15、 3+y(t)(2)设生产一单位第i种产品需消耗工时为li，则为了产出x(t)所需消耗的总工时为x】(t)x?(t).xd设每工时的工资率为W,则Lx(t)总工时所得工资总额为wLx(t)0假设每人每丄时所得 w元所购产品数量为其中y；,y?-y2为各种产品人均消费结构。那么wLx(t)元?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Publishing House. All rights reserved http:ZAyd)=Lx(t)=L A 1yi1"1二%():iyLJn.1Xn(t)J的工资总.额所消费的各种产品的量为yJlity

16、nlr-yXj Lxn(t)_y弭朋bx2(t)=y°Lx(t) = Cx(t)(3)其中A：=yL称为投入产出系统的消费系数矩阵把(3)式代入(1)、(2)式，得x = Ax+y = Ax+Cx = A +Cxx(t)= Ax(t) + Bx(t + 1) x(t) + y(t) =Ax(t) + Bx(t 4- 1) x(t) + Cx(t) =A + Cx(t) + Bx(t + 1) x(l)令A+C=A】,则、(5)式可分别化为x = Atxx(t) = Atx(t) + Bx(t + 1) x(t)J(4)(5)(6)(7)?1994-2017 China Academic Journal Ekclronic Pub