常微分方程应用题和答案

1、应用题(每题10分)1、设f(x)在(3,8)上有定义且不恒为零，又r(x)存在并对任意 x, y恒有f (x +y) = f (x) f (y),求 f (x)。2、设F(x) = f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(3产)内满足以下条件 f(x)=g(x), g(x) = f(x), f(0) =0, f(x) g(x) =2ex(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式。3、已知连续函数f(x)满足条件f (x)=广f壮Idt +e2x ,求f (x)。034、已知函数f (x)在(0,一)内可导，f(x)>0, lim f(x)=1,且满足 x

2、.1limh_.01=ex ,求 f (x)。f(x hx)hf (x)55、设函数f (x)在(0, f)内连续，f(1) = ,且对所有x,tw(0,十厘)，满足条件2xtxtJ1 f(u)du=t( f(u)du+x( f(u)du,求 f(x)。6、求连续函数f (x),使它满足1fo f (tx)dt =f (x) +sin x x。7、已知可微函数 f(t)满足) 3 f dt=f(x)1，试求f (x)。1 t9、设位于第一象限的曲线 y = f (x)过点 交点为Q,且线段PQ被x轴平分。(1)求曲线y = f (x)的方程；f (t) t. 一2 x 二 18、设有微分方程

3、y'-2y=(x),其中5(x)=/。试求在(*严)内的连续函0 x 1数y=y(x)使之在(笛,1)和(1,十资)内部满足所给方程，且满足条件y(0) = 0。，其上任一点P(x, y)处的法线与y轴的(2)已知曲线y=sinx在0, n上的弧长为 l，试用l表示曲线y = f (x)的弧长s。y = y(x),使得由曲线y = y(x)与直线 x轴旋转一周的旋转体体积最小。10、求微分方程xdy+(x2y)dx = 0的一个解 x=1, x =2以及x轴所围成的平面图形绕11、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为a,已知|MA|=|两， 且

4、L过点'-,-i,求L的方程。2 212、设曲线L的极坐标方程为r =(8)，M (r,e)为L上任一点，M 0(2,0)为L上一定点, 若极径OM0, OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0, M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。13、设yi =*和y2 = xln x是二阶齐次线性方程y"+p(x)y'+q(x)y = 0 的两个解，求p(x),q(x)以及该方程的通解。14、设对任意x>0,曲线y = f (x)上点(x, f (x)勉的切线在y轴上的截距等于1 xJo f (t)dt，求f (x)的一般表达式。15、设函数 f (x), g(x

5、)满足 f '(x) = g(x), g '(x)= 2ex 一 f (x),且 f (0) = 0, g (0) = 2, 求愤-卷卜。16、设函数y=y(x)在(，,n)内具有二阶导数，且 y'#0, x = x(y)是y=y(x)的反d2xdx函数。(1)试将x = x(y)满足的微分方程j+(y+sinx) =0,变换为y = y(x)dy<dyJ所满足的微分方程；3(2)求变换后的微分万程满足初始条件y(0) =0, y'(0)=的解。2 x_17、已知连续函数 f (x)满足 J f (tx)dt = x±+f (x) f (t)dt

6、 ,求 f (x). 'ux ' u1 x21*解：设 u=tx,则原式化为一j f (u)du =x + f (x) - - f f (t)dt x 0x 0x .即2 1f (t)dt =x3+xf(x) 由f (x)连续知上式右端可导即f (x)可导1对上式两病关于x求导，得一阶线性方程f'( x) - f (x) = -3x所求函数为x11-dx-dx2,f (x) = e x ( -3xe x dx c) = cx - 3x c 为任意常数22、4r18、.对于任意简单闭曲线l,恒有2 2xyf (x )dx + f (x ) - x dy = 0L其中f (

7、x)在(8尸)有连续的导数，且 f (0)=2.求f (x).19、设 f (x)满足 f r(x) =f ( 1-x),求 f(x)x20、设中(x) =ex _ (x u)邛(u)du,其中中(x)为连续函数，求中(x)21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。(1)如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？44(2)如在3小时的时候，有细菌数 10个，在5小时的时候有4x10个，那么在开始时有 多少个细菌？应用题答案1、解：首先从导数定义出发，证明f(x)处处可微，并求出 f (x)与f'(x)满足的关系，最后定出f (x)。由于 f (x)不恒为零

8、，设 f(x0 +0)00,因而f (x0) = f (x0 +0)= f (x0)f (0)得到f(0) =1又由f '(0)存在，对任意x有f (x 匚x) - f (x)f (x)f( x) - f(x)=lim.I；_xf(x)f( ：x)-1二 x=f(x) f (0)LXdf = f (0)dx f一 2dx , 2xF(x) =e .4e由 F(0) = f (0)g(0) =0 得F (x) = e2xC = -1, 2x-e由此可见f (x)处处可微且满足f '(x) = f (x) f '(0)即解得 f (x) = cef (0)x又由 f(0)=

9、1 所以 f(x) =ef'(0)x。2、解：(1) F (x) = f'(x)g(x) + f (x)g'(x) = g2(x)+ f 2(x)= f(x) g(x)2-2f(x)g(x)=(2e2)2-2F(x)于是F (x)满足一阶线性微分方程y'+2y = 4e2x(2)按一阶线性微分方程的通解公式，-2x ；, 4x2x _ -2xe . 4e dx C ' = e Ce3、解：方程两端同时对x求导，得到f'(x) =3f (x)+2e2x由题设知道f (0) =0 +e° =1。y -3y = 2e2x 故令 f(x)=y

10、即得 V ,x=0.y - = i3x 2x=Ce -2ey =33'、.|C +2e2x e dx 卜e3x C + 2edx Ix/=1 得到 C=33x 2xf (x) = 3e -2e4、解：设y因为f(x hx)hmlnf(x) J11y = lim lnh 0hf (x hx )f (x)1 f(x hx) ln y 二 一 ln.h f(x)f (x hx) xln f (x hx) - ln f (x) =limf (x) h w 1 hhx= xln f(x)',由已知条件得xln f (x)e1ex ，xln f (x)e一 一 . 1 一因此 xln f(

11、x)=,即ln x.1f(x)2.x1解之得 f (x) =Ce x 。5、解:由 lim f (x) =1,得xJ ：.C =1。由题意可知，等式的每一项都是1故 f(x) = e x。x的可导函数，于是等式两边对x求导，得tf (xt) =tf(x) 15在(1)式中令x =1 ,由f(1)=得 2tf (u)dutf(t)= 2tt十 11f (u)du ,(2)f （t）是（0,收）内的可导函数，（2）式两边对t求导，得,5f(t)+tf'(t) = + f(t)，f'(t)5-o2t上式两边求积分，得55由 f (1) = ,得 C =。于22f (t) =5lnt

12、C25是 f (t)=a(lnt+1)。1 x 一一6、斛：令 u =tx, du = xdt ,原方程变为一f (u)du = f (x) + xsin xx 0X2.0 f (u)du = xf (x) x sinx.两边求导数，得到积分得f (x) = f (x) xf (x) 2xsin x x2 cosxf '(x) = -2sin x - xcosxf (x) = 2cosx - xdsin x = 2cosx -xsinx cosx C =cosx - xsinx C .7、解：首先从题设可求得f(1)=1,方程两边求导得J(x) =f'(x).x3f(x) x记

13、 y = f(x)y' = -vy x y考虑xx = x(y),方程可化为伯努利方程dx 13-x = xdy yxL13 .du =-2x dxdu 2u - -2 dy yC + |-2-dy e'y '一 3y变量还原得或者f2(x)23f 3(x) = C .x 3又因为f (1)=1 ,代入上式可得-2_f(x)2f35-T(x)=.x338、解:当 x<1 时，y'2y=22dx一 2dxy = eC1 i2e dx2x 二e2e'xdx = C1e2x -1y(0) = 0 代入得 C1 = 1所以 y2x=e -1(x ： 1)x

14、 >1时通解为y = C2ey - 2 y = 02dx = C2e2x=1 处y(x)是连续的所以是若补充函数值C22 xe(x 1)m0c2e2x2=1 - e .2 2x=C2e = lim (e - 1)=e2 -1.-1 ,则得到(*,七)上连续函数是所求的函数2xe -1x -1是所求的函数。-2x 2xJ1-e )e9、解：(1)曲线y = f (x)在点P(x, y)处的法线方程为1,Y-y =-(X -x)，其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标，令 X =0,则y xy ，y故Q点坐标为 0,y + A o由题设知< y'Jxy + y + = 0,即 2

15、 ydy + xdx = 0。 y'积分得x2 +2y2 =C ( C为任意常数)。,122由 y 产=知 C =1 ,故曲线y = f(x)的万程为x +2y =1 (x20, y >0) o x=22曲线y =sin x在0,扪上的弧长为l /X+coJxdx.曲线y = f (x)的参数方程为x = cos1,2=sin 二2ji0£u E,2故其弧长为s=12Jsin2H +1cos28d6 =j=0 22312 dsin2 1 d- 0(令日=-1)10、11、1=21F篇 1 +cos2t(dt)21 2二l .241=2解：原方程可以改写为一阶线性方程-d

16、x应用其通解公式得 y = e x体积为Co解:令dx x-f2dx)fe x dx =x-1 .C 2 dxx2=Cx x由y=Cx2+x, x=1, x=2, y = 0所围成的平面图形绕 x轴旋转一周的旋转体V(C) = 2二(x Cx2)2dx ' I31C2 15C 71523V'(C) =n ：62C +17=0 解得驻点 C 5275, 八0 =,由于 V''(C)12462=ji5754 一 ，,是唯一的极小值点，因而也是最小值点，于是得所求曲线为 124设点M的坐标为由切线 MA的方程为 Y y = y'(X -x) X =0,则 Y

17、= y -xy',故点 A的坐标为(0, y -xy')| MAHOA|,有| y -xy'|= (x -0)2 (y - y xy')275 2 y = x -x12412化简后彳导2yy' y2x令 z = y2 ,得 dz - dx=-x 。z一 =x。x12、13、14、口dx (_r!dx)解得 z=e x Jxe x dx+C =x(x + C)。IJ即 y2 = -x2 +Cx 。由于所求曲线在第一象限内，故y = Cx -x2 。再以条件 y , 3 =色；代入得 C = 3。于是曲线方程为22y = 3x - x2(0 ： x : 3)

18、.解：由已知条件得两边对日求导得dr从而r ,，r2 -1-J°r2d=- f 白Jr2 + r '2d ,2 02 0r2 = Jr2 +r'2 , 即 r' = ±r Jr2 -1 ,=±d °一、， dr11.因为一f二一arcsin 一 十 C , 所以 arcsin 一+ C = ±0r .r2-1rrI- Ar n ,一 fn丁 C由条件r(0) =2 ,知C =,故所求曲线L的方程为 rsin,一+日=1。66解：由. 1必=1, y1 = 0, y2 = ln x +1,、2=_ ;分别代入方程得到xp(

19、x) xq(x) = 0p(x)(ln x 1) q(x)xln x = 0曰1r1(1)M|nx(2) 得 一p(x)= 即 p(x)= 一 xx11把 p(x)=一 代入(1)式得 q(x)=xx 一、11所以原方程为 y -1y 2y=0 x x又由于y1/y2=lnx不为常数，y1,y2是齐次方程的基本解组原方程的通解为y =c1x+c2xln x。解：曲线y = f (x)上点(x, f (x)处的切线方程为过 令 X=0,得截距 Y = f (x) xf'(x)。Y - f(x) = f '(x)(X -x)1 x由题思，知 一 f f (t)dt = f (x)

20、-xf '(x),即 x 0x10 f (t)dt=xf(x)xf'(x),d上式对 x 求导，化简得 xf "(x)+ f'(x) =0,即 2(xf'(x) =0。dx积分得xf'(x)=Ci,因此 f (x) =C/n x+C2 (其中Ci,C2为任意常数)15、解：(解法一)由是 f'(x)=g(x)得 f"(x) = g'(x) =2ex f(x),于是有 f "(x) f(x) =2ex,f(0)=0,解之得 f (x) =sinx cosx 十 ex。f'(0) =2,二%_ 0 ItV

21、x x)2dxf (x) dx = Tg(x)(1+x) f(x)*姮_ 0(1 x)2二 f'(x)(1 x) - f (x) 二 f(x)一2 dx 0(1 x)0 1 xf(x)二f (二)1 ex=T (0)=1 x 01 二1 二(解法二)同解法，得 f (x) =sinx - cosx ex二 g(x)- 2 ，0 It 1 - x (1 x)2二 1dx 0f(x)dr一 fx)dx0 1 x(*)(2)方程 y -y 0的通解为 Y = C1exC2e'o设方程(*)的特解为y = Acosx + Bsinx ,二 g(x)1= 巨dx f(x)0 1 x1 x

22、芳一 f(0)：鲁 dx 一;代入原微分方程得y,y = sin x。x1 exdx1dx16、解：(1)由反函数的求导公式=一 得 y'=1。dyy'dy两端关于x求导，得y.dx+dHhy')2 =0dy dy2dx,2y由此得到二一叟r 一七。dy2(y )2(y)31 .1代入万程(*)求得a = 0, b =,故 y = sin x ,2 21从而方程(*)的通斛是y=C1e +C2e -sinxo,.3 一 由y(0) =0, y(0)=得C1 =1, C2 = 1。故所求值问题的解为2x_x 1 .y =e -e sin x。21 x21 x17、解：设

23、u=tx ,则原式化为 一 f (u)du =x + f (x) - - f f (t)dt x 0x 0x3即21(t)dt =x3+xf(x) 由f(x)连续知上式右端可导即f(x)1对上式两端关于x求导，得一阶线性方程f'(x) -2 f (x) = -3xx-dx_ dx2f(x)=e x (J3xe x dx+c)=cx 3xc 为任意常数 18、解：根据积分与路径无关的充要条件有- L、xyf(x j 1 = - If (x ；) -x '1.y二 x22、即 2xf(x2)=-22x -4x3或-2-f(x2)=2x2二 x二 x设 x2=tf) - f (t) = 2tdt1dtdt由一阶线性方程