高中数学复习_任意角和弧度制及任意角的三角函数人教版必修4

1、任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数1.角的概念角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线个位置所成的图形旋转开始时的射线OA叫做角的叫做角的始边始边，旋转终止时的射线，旋转终止时的射线OB叫做角的叫做角的终边终边，按，按逆逆时针方向旋时针方向旋转所形成的角叫做正角，按转所形成的角叫做正角，按顺顺时针方向旋转所形成的角叫时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零零角角2象限角象限角把角置于直角坐

2、标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与始边与x轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角，我们就说这个角是第几象限角象限角象限角象限角象限角的集合表示的集合表示第一象限第一象限角角 | |k k360360k k3603609090，k kZZ第二象限第二象限角角 | |k k3603609090k k360360180180，k kZZ第三象限第三象限角角 | |k k360360180180k k360360270270，k kZZ第四象限第四象限角角 | |k k3

3、603609090k k360360，k kZZ3.象限界角象限界角(即轴线角即轴线角)角角终边位置终边位置角角的集合的集合在在x x轴非负半轴上轴非负半轴上 | |k k360360，k kZZ在在x x轴非正半轴上轴非正半轴上 | |k k360360180180，k kZZ在在y y轴非负半轴上轴非负半轴上 | |k k3603609090，k kZZ在在y y轴非正半轴上轴非正半轴上 | |k k3603609090，k kZZ在在x x轴上轴上 | |k k180180，k kZZ在在y y轴上轴上 | |k k1801809090，k kZZ注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个

4、角不属于任何注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，即为象限界角一个象限，即为象限界角(或轴线角或轴线角)4终边相同的角终边相同的角所有与角所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合在内，可构成一个集合S|k360，kZ或或S|2k，kZ，前者前者用角度制表示，后者用角度制表示，后者用弧度制表示用弧度制表示注意：注意：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍(2)一般地，终边相同的角或通式表达形式不

5、唯一，如一般地，终边相同的角或通式表达形式不唯一，如k18090(kZ)与与k18090(kZ)都表示都表示终边在终边在y轴上的所有角轴上的所有角(3)应注意整数应注意整数k为奇数、偶数的讨论为奇数、偶数的讨论5弧度制弧度制(1)把长度等于把长度等于半径半径长的弧所对的长的弧所对的圆心角圆心角叫叫1弧度的角以弧弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制弧度制，它的单位符，它的单位符号是号是rad，读作，读作弧度弧度(2)一般地，正角的弧度数是一个一般地，正角的弧度数是一个正数正数，负角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个负数负数，零角的弧度数是，零角的弧度

6、数是0.6度与弧度的换算关系度与弧度的换算关系周角的周角的 为为1度的角度的角即即 周角周角1， 周角周角1rad3602rad180=rad,1= rad,1rad 5718.13601360121801807扇形的半径为扇形的半径为R，弧长为，弧长为l，(02)为圆心角为圆心角弧长弧长lR，即弧长等于，即弧长等于该弧所对的圆心角的弧度数乘以半该弧所对的圆心角的弧度数乘以半径径扇形面积扇形面积S lR R2.12128在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(

7、x，y)，那么，那么：(1)y叫做叫做的的正弦正弦，记作，记作sin，即，即siny；(2)x叫做叫做的的余弦余弦，记作，记作cos，即，即cosx；(3)y,x叫做叫做的的正切正切，记作，记作tan，即，即tan (x0)yx9利用角利用角终边上任意一点的坐标定义三角函数终边上任意一点的坐标定义三角函数设直角坐标系中任意大小的角设直角坐标系中任意大小的角终边上任意一点的坐标为终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离是，它与原点的距离是r(r0)，那么任意角的三角函数，那么任意角的三角函数的定义：的定义：注意：要特别注意三角函数的定义域注意：要特别注意三角函数的定义域10各象限角的三角

8、函数值和符号如图所示各象限角的三角函数值和符号如图所示三角函数正值口诀：三角函数正值口诀：全正，全正，正弦，正弦，正切，正切，余余弦弦11终边相同的角的同一三角函数的值终边相同的角的同一三角函数的值相等相等，即，即sin(k2)sincos(k2)cos(其中其中kZ)tan(k2)tan12三角函数线三角函数线图中有向线段图中有向线段MP，OM，AT分别表示分别表示正弦线正弦线、余弦线余弦线和和正正切线切线注意：当角注意：当角的终边与的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角一个点，此时角的正弦值和正切值都为的正弦值和正切值都为0；当角；当角的终

9、边的终边与与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角角的正切值不存在的正切值不存在考点陪练考点陪练 1.已知集合已知集合A第一象限角第一象限角，B锐角锐角，C小于小于90的的角角，下列四个命题：，下列四个命题：ABC，AC，CA，ACB，其中正确命题的个数为，其中正确命题的个数为()A0B1C2 D3答案：答案：A2.将分针拨快将分针拨快10分钟分钟,则分针转过的弧度数是则分针转过的弧度数是( ).33.66ABCD答案答案:B 3,833.243.1,33.816ABCD若扇形的面积为半径为 则扇形的圆心角 为答案答案:B4.有下列命题

10、有下列命题:(1)终边相同的角的同名三角函数的值相等终边相同的角的同名三角函数的值相等;(2)终边不同的角的同名三角函数的值不等终边不同的角的同名三角函数的值不等;(3)若若sin0,则则是第一是第一 二象限的角二象限的角;(4)若若是第二象限的角是第二象限的角,且且P(x,y)是其终边上一点是其终边上一点,则则cos=22.xxy其中正确的命题的个数是其中正确的命题的个数是( )A.1个个 B.2个个C.3个个 D.4个个解析解析:根据任意角三角函数的定义知根据任意角三角函数的定义知(1)正确正确;对对(2),我们可举出反例我们可举出反例对对(3),可指出可指出 ,但但 不是第一不是第一 二

11、象限的角二象限的角;对对(4),因为因为是第二象限的角是第二象限的角,已有已有x0,应是应是cos= .答案答案:A2;33sinsin02sin222xxy5.若若sin0,则则是是( )A.第一象限角第一象限角 B.第二象限角第二象限角C.第三象限角第三象限角 D.第四象限角第四象限角解析解析:sin0,是第一是第一 三象限的角三象限的角.是第三象限的角是第三象限的角.答案答案:C类型一类型一角的集合表示角的集合表示解题准备解题准备:(1)任意角任意角都可以表示成都可以表示成=+k360(0360,kZ).(2)并不是所有角都是某象限角并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时当角

12、的终边落在坐标轴上时,它就不属于任何象限它就不属于任何象限.(3)相等的角终边一定相同相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等终边相同的角不一定相等,终边相终边相同的角有无数个同的角有无数个,它们相差它们相差360的整数倍的整数倍.(4)注意注意“第一象限角第一象限角” “锐角锐角” “小于小于90的角的角”是是范围不同的三类角范围不同的三类角,需加以区别需加以区别.【典例典例1】 (1)如果如果是第三象限角是第三象限角,那么那么-,2的终边落在何的终边落在何处处?(2)写出终边在直线写出终边在直线 上的角的集合上的角的集合;(3)若角若角的终边与的终边与 角的终边相同角的终边相同,求在求

13、在0,2)内终边内终边与与 角的终边相同的角角的终边相同的角.分析分析 利用终边相同的角的集合进行求解利用终边相同的角的集合进行求解.3yx673 解解 (1)由由是第三象限角得是第三象限角得+2k +2k(kZ) -2k-2k(kZ).即即 +2k-+2k(kZ).-的终边在第二象限的终边在第二象限;由由+2k +2k(kZ)得得2+4k20),当当为多少弧度时为多少弧度时,该扇形有该扇形有最大面积最大面积? 22 1l,S ,60r10,lcm,310110132323350,S3SS1010sin2cm. 弓弓扇解设弧长为 弓形面积为 222222212:c2rl2rr.rSr11222

14、2441,42162(2),.44,ccccc 扇解法一扇形周长当且仅当即舍去 时 扇形面积有最大值22ax2m2(),2111()2:2241,42162,2.21622rlc,rSl,S2cllcclrllcllcclccclcrc 解法二 由已知当时此时当扇形圆心角为当扇形圆心角为2弧度时弧度时,扇形面积有最大值扇形面积有最大值.类型三类型三三角函数的定义三角函数的定义解题准备解题准备:(1)任意角的三角函数值任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关只与角的终边位置有关,而而与终边上的点的位置无关与终边上的点的位置无关;(2)当点当点P的坐标中含字母时的坐标中含字母时,表表达达r时要注意

15、分类讨论思想的应用时要注意分类讨论思想的应用.【典例典例3】 已知已知的终边经过点的终边经过点P(-4a,3a)(a0),求求sin cos tan的值的值.分析分析 根据任意角三角函数的定义根据任意角三角函数的定义,应首先求出点应首先求出点P到原点的到原点的距离距离r,由于含有参数由于含有参数a,要注意分类讨论要注意分类讨论.22ra0,r5a,.sincost( 4 )(3 )5|.33,554433,.554an4aaayaraxayaraxa 解若角在第二象限a0,r5a,.sincosta343,.554n 若角在第四象限 反思感悟反思感悟 (1)当角当角的终边上点的坐标以参数形式给

16、出时的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.(2)熟记几组常用的勾股数组熟记几组常用的勾股数组,如如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等等,会给我会给我们解题带来很多方便们解题带来很多方便.(3)若角若角已经给定已经给定,不论点不论点P选择在选择在的终边上的什么位置的终边上的什么位置,角角的三角函数值都是确定的的三角函数值都是确定的;另一方面另一方面,如果角如果角终边上一点终边上一点坐标已经确定坐标已经确定,那么根据三角函数定义那么根据三角函数定义

17、,角角的三角函数值也的三角函数值也都是确定的都是确定的.类型四类型四象限角与三角函数符号问题象限角与三角函数符号问题解题准备解题准备:三角函数的符号如下表三角函数的符号如下表正值口诀正值口诀:全正全正 正弦正弦 正切正切 余弦余弦.【典例典例4】 (1)如果点如果点P(sin cos,2cos)位于第三象限位于第三象限,试试判断角判断角的终边所在的象限的终边所在的象限.(2)若若是第二象限角是第二象限角,则则 的符号是什么的符号是什么?()(2 )sin coscos sin 分析分析 (1)由点由点P所在的象限所在的象限,知道知道sin cos,2cos的符号的符号,从而可求从而可求sin与

18、与cos的符号的符号.(2)由由是第二象限角是第二象限角,可求可求cos,sin2的范围的范围,进而把进而把cos,sin2看作一个用弧度制的形式表示的角看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其并判断其所在的象限所在的象限,从而从而sin(cos),cos(sin2)的符号可定的符号可定. 解解 (1)因为点因为点P在第三象限在第三象限,sin cos0且且2cos0,cos0,故故的终边在第二象限的终边在第二象限. (2)因为因为是第二象限角是第二象限角,所以所以cos0,且且-1cos0,即即cos是第四象限角是第四象限角,因此因此sin(cos)0;又又sin2=2sin cos0,所以

19、所以-1sin20.故故 ()0.(2 )sin coscos sin 反思感悟反思感悟 此处要正确理解此处要正确理解sin(cos)的含义的含义,sin(cos)中中,是把角是把角的余弦值的余弦值(一个实数一个实数)作为一个角的弧度数作为一个角的弧度数,求该角求该角的正弦值的正弦值,因此只需研究因此只需研究cos这个角的范围这个角的范围(所在象限所在象限)即即可可.错源一错源一 忽视表示区间角的不等式两端的大小关系忽视表示区间角的不等式两端的大小关系【典例典例1】 用集合表示终边在阴影部分的角用集合表示终边在阴影部分的角的集合的集合. 错解错解 由图可知由图可知,终边落在射线终边落在射线OA

20、上的角为上的角为2k+ (kZ),终边落在射线终边落在射线OB上的角为上的角为2k- (kZ).43所以终边落在图中阴影部分的集合为所以终边落在图中阴影部分的集合为|2k+ 2k- ,kZ.43 剖析剖析 上面集合中的关于角的不等式是一个矛盾的不等上面集合中的关于角的不等式是一个矛盾的不等式式,左边的比右边的大左边的比右边的大. 正解正解 由图知由图知,终边落在射线终边落在射线OA上的角为上的角为2k+ (kZ),终边落在射线终边落在射线OB上的角为上的角为2k+ (kZ).所以所以终边落在图中阴影部分的集合为终边落在图中阴影部分的集合为|2k+ 2k+ ,kZ.评析评析 利用终边相同的角的表

21、达式表示区域角要把握两条原利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原则则:(1)按逆时针方向书写按逆时针方向书写;(2)表示区域角的不等式两个端点表示区域角的不等式两个端点值的差必须是终边落在两条边界射线值的差必须是终边落在两条边界射线(或直线或直线)上的最小差上的最小差值值.453453错源二错源二 利用三角函数值符号判断角的位置时利用三角函数值符号判断角的位置时,忽视轴线角而忽视轴线角而致错致错【典例典例2】 已知已知sin0,cos0,试确定试确定终边的位置终边的位置.错解错解 由由sin0知知,终边在第一象限终边在第一象限,或第二象限或第二象限,或或y轴的轴的非负半轴上非负半轴上;

22、又由又由cos0知知,终边在第一象限终边在第一象限,或第四象限或第四象限,或或x轴的非负轴的非负半轴上半轴上.故故终边在第一象限终边在第一象限.剖析剖析 错解的解答中由错解的解答中由sin0和和cos0确定确定终边位置时终边位置时,分别遗漏了分别遗漏了x轴和轴和y轴的情形轴的情形,造成错误造成错误. 正解正解 由由sin0知知,终边在第一象限或第二象限终边在第一象限或第二象限,或或x轴轴,或或y轴的非负半轴上轴的非负半轴上;由由cos0知知,终边在第一象限或第四象限终边在第一象限或第四象限,或或y轴轴,或或x轴的非轴的非负半轴上负半轴上.故故终边在第一象限终边在第一象限,或或x轴的非负半轴上轴

23、的非负半轴上,或或y轴的非负半轴上轴的非负半轴上. 技法一技法一等分单位圆等分单位圆一一 单位圆的二单位圆的二 四等分法四等分法在单元圆中在单元圆中,当角当角=k+ 或或=k (kR)(此时此时|sin|=|cos|)时时,其终边分单位圆为二其终边分单位圆为二 四等份的情况如四等份的情况如下图下图1 图图2.44表表1:大小关系大小关系sincossin|cos|sin|cos成立的成立的的取值范围为的取值范围为( )55.,.,4 244453.,.,4442ABCD 解析解析 由图由图1和表和表1可知此题选可知此题选B.答案答案 B二二 标象限法标象限法在单位圆中在单位圆中,当角当角= (kZ)时时,角的终边和坐标轴重角的终边和坐标轴重合合,其终边分单位圆为四个象限的情况如下图其终边分单位圆为四个象限的情况如下图.2k表表2: 3.单位圆的八等分法单位圆的八等分法在单位圆中在单位圆中,当当= (kZ)时时,其终边分单位圆为八等其终边分单位圆为八