空间向量高考题.doc

1、空间向量高考题1 .如下图，在长方体ABC> ABCD中，已知AB=4,AD=3,AA=2. E、F分别是线段 AR BC上的点，且 EB=FB=1.(I)求二面角C- DE- G的正切值；(H)求直线EC与FD所成角的余弦值.2 、.如图，四棱锥P ABCM ,底面ABCDfe!形,AB=8, AD=4后，侧面PAD为等边 三角形，并且与底面所成二面角为60。.P(I)求四棱锥P-ABCD勺体积；(H)证明PALBD4、如图，anB=l,ACa,BCB,点A在直线l上的射影为 Ai,点B在直线l上的射影为Bi,已知A况2, AA=1, BB= ,求：(I)直线AB分别与平面a, B所成

2、的角的大小；(H)二面角 Ai-AB- B的大小. -.AAi± B , BB± a ,证: a，B , a n B =l , AAL , BB，l , 则/BAB, /ABA分别是AB与a和0所成的角.曳也RtzXBBA 中，BB=拒,AB=2 . . sin / BAB= AS 2 , ./BAB=45° .RtzXAAB 中，AA=1, AB=ZM 1 sin / ABA= AS 2 ,. . / ABA=30° .故AB与平面a , B所成的角分别是45° , 30° .(H)如图，建立坐标系，则 Ai (0, 0, 0) ,

3、 A (0, 0, 1) , Bi (0, 1,0), B (2 1, 0).在AB上取一点F （x, y, z）,则存在t R,使得.伊=tF即(x, y, z 1) =t(.-I)，点F的坐标为(0t , t , 1 t).要使 4尸1工£,须973=0,即(伤，t, 1-1) (正，1, -1) =0,J理2'立二22t+t (1 1)=0 ,解得 t= 4 点 F 的坐标为(4' 4*4). A=( 4' 4*4).设E为AB的中点，则点E的坐标为（0,一 一 J2 1 1 L 1 1 1EFAB = （一 ,一）（在 J厂 1）_一 一二 Q又,.：

4、- -! / A 1FE为所求二面角的平面角“丽又 cosZAiFE=M/l,ll8 16 16p.l =L=皂|厂2 楞 3 ;二面角皂AAB- Bi 的大小为 arccos 3 5、如图，在直三棱柱 给CT禺9中，AB=BC,D. £分别为弱、编的中点。点。(I)证明：ed为异面直线b，与*Q的公垂线；(ii)设从4k。二向2求 二面角4一打呜的大小(I)如图，建立直角坐标系°一松，其中原点。为ac的中设义仰),幽帅4触0则C(R,Q)G(W2)幽V),DM，c)io= (0 /0),函=(0,0,2c),ED，西=°/, EDI BS 又工Ci 二(-2a,

5、0,2c)班"，C = 0, .-.edxAC所以矶)是异面直线笳1与工。的公垂线。(n)不妨设 却。).则圮二(T70)5二(7！(二(0,0,2),品疝=0瓦热二0,即为1就加1回，又回!盟盟,二肥上面晕。又雕0J), DQIDCTO© ,而二(TQE 疝 ET。口瓦口1,0),正赤二0瓦而=0,即比1眼EC1町又SD二 E5二E以面C幽,即得而和死的夹角为60。,所以二面角 一如G为60°6、已知四棱锥P ABCD勺底面为直角梯形，AB/ DC二必二不二.底面ABCD且PA=AD=DC=AB=1, M是PB的中点。力(I)证明：面 PADL面PCD (H )

6、求AC与PB所成的角；(m)求面 AMGW 面BMCT成二面角的大小。证：因为PAL AD PAL AB, AD£ AB,以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图 建立空间直角坐标系，则各点坐标为1A(0Q0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1Q0),P(0,0,1),M(0,1,2 ).kkk1(I)证明：因工尸=(0,0,1), DC =(0,1,0),故工尸 DC =0,所以 AP,DC.又由题设知AD£DC且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得 DCL面PAD又DC在面PCD±,故面PADL面PCD.(II )解：因 乂C=(1,1,0)

7、, 阳=(0,2,-1),故| 工C |=五，| FB |=后，AC , PB =2,所以_ _ 岑-艺叵cos< AC -?B>=| 月C|F£|= 5由此得AC与PB所成的角为arccos 5(III )解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在 入CR,使充=人航,1 1 况=(1-x,1-y,-z),=1C =(1,0,- 2 ),.x=1-入,y=1,z= 2 人.14要使AN! MC只需AN - MC =0,即x- 2 z=0,解得人=5 .41 2_ _可知当人=看时,N点坐标为(二,1, 5),能使乂N MC =0.1212此时，HN=(5,1, 5),

8、3N=(5,-1, 5),有删 MC =o.由4M - MC =0, BN -脑7=0得AN! MC,BNL MC所以/ ANB为所求二面角的平 面角._ 屈 _ 项_ _ 4| 上 |=，| _|=,'-=-屈屈_22 . * * 1 -， . cos<HR,町/ >从砌I做I故所求的二面角为arccos(- 3).7、如图，四棱锥 P-ABCD,底面ABCDfe矩形，PDL底面ABCD AD=PD E、F 分别为CD PB的中点。RA(I )求证：EF，平面PAB ( II)设AB=J5 BC求AC与平面AEF所成的角的 大小。证：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如

9、图所 示的直角坐标系.(I )证明：设 E (a, 0, 0)其中 a>0, WJ C (2a, 0, 0) , A (0, 1, 0) B (2a, 1,0) , P1 1(0, 0, 1) , F (a, 5 , 5).y/_1 1 _ _EF = (0, 2, 2) , =B= (2a, , A8= (2a, 0, 0)EF - P3=0,EF± PB.AB - EF =0,EF，AB 又 PBC 平面 PAB ABC 平面 PAB PBn AB=B. EF，平面PAB.(H)解：由 AB=2 BC,彳4 a= 2 .可得 RC=(亚，-1, 0) ,=(后,_ _ 乎.

10、招cos< AC , PB >=l I "11= 6由异面直线AC PB所成的角为arccos 6 _ 72 1 1RE = ( 5 , - 2 , 2 ). AF 尸£=0,pb，af.又PB! EF, EF、AF为平面AEF内两条相交直线，.'.AC与平面AEF所成的角为E-arcccif疝W266即AC与平面AEF所成的角为arcsin 68.如图，已知四棱锥P-ABCD PB±AD侧面PAM边长等于2的正三角形，底 面ABCM菱形，侧面PADt底面ABC所成的二面角为1(I )求点P到平面ABCD勺距离；(H)求面APBt面CPB所成二

11、面角的大小(I )解：如图，作POL平面ABCD垂足为点O连结OB OA OD OB与AD交于点E,连结PEV ADL PD, AD± OBPA= PD, . .OA= OD于是OB平分AD点E为AD的中点，所以PE!AD由此知/ PE明面PAM面ABC断成二面角的平面角，/PE& 1, /PE0 601.由已知可求得P9行，有33P0= PE - sin60 1=5 x =2 ,即点 P到平面 ABCD勺距离为 2 .(H):如图建立直角坐标系，其中 O为坐标原点，x轴平行于DA33733有 JP(0,0, 2) , B (0, ,0) , PB 中点 G 的坐标为(0, 丁，),连结 AG有3有_ 有 3又知 A (1, , 0) , C