电动力学静电场参考答案

1、编号： 班级：学号：姓名:成绩：第1章静电场1 .证明均匀介质内部的极化电荷体密度Pp,总等于自由电荷体密度 Pf的(1 工)倍。D D ="P 二-' P 二 J ( e 0 E)= J ( - 0 )E一 0_; 0P -' (0 )D = -(1-)ZZ1 /172.有一内外半径分别为1和2的空心介质球，介质的介电常数为6 ,使介质内均匀带静止自由电荷 ：- f ,求(1)空间各点的电场；(2)极化体电荷和极化面电荷分布。解1)由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向故：r < r1时2:f、八4叮2 E( r)=寸VdV = 0 或 E

2、( r ) = 0；0ri <r <2时球壳体内：2r211 D nds =4二r D(r) =- f 4二r dr1D ( r ) = fi 1 - ( r1 )3E (r) = D) =工1 -(r1)3 3 r030r在r a b的球形外:2_1r2、23；。4 r E (r) =一 、4 r dr 二；0N:22E (r )=(r22 -r12)3d2式中 w 二与辞写在一起0(r < A )i fr1 3E = 1-()3 r(ri <r <2 )3%r0,22、，、-3 “2 -ri )r (r >2) 羊orfr1 32)P = DtE =(e

3、 % )1 -()3 r3；orPp = V P 名 一曲Pf(与第一题相符)z内表面：Pfir 30=-n。-R) = = -n (% -8)E-O=-1 -()3 = 037ri外表面:二 p = -n (p2 - pl ) r 士=- n 0 -( ； - 0 )E3；。2(1-工)r24 / 173 .证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折满足:tan2；2t a ni 彳式中鸟和配分别为两介质的介电常数，%和为分别为界面两侧电场线与法线 的夹角。证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度仃f = 0 ,故边值关系为:E2t = Eit ,D2n= Din( 一乂 伍 -

4、 E i) =0, n (D 2 - Di )=%)若两种介质都是线性均匀的，即D1=鸟Ei , D2 =82 E 2；上边两式为：E2sin92 = Ei sin91 , %E2coS2 =鸟日coSi于是得：叫;二tan -i i4 .试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体 外的电场线总是垂直于导体表面。证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。2绝缘体静电情况下：E1 =0, D1 =0由边值关系：n (E2 E1) =0,nD2_ D1 ) - f可得：E2t = Elt , D2n - Din -二 f即，E2t = 0 , D2n =仃 f对于各向同性线性介质

5、D = ；E _ 二 f所以，E = n z即导体外的电场线垂直于导体表面5 .如图1,有一厚度为2a,电荷密度为 P。的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。解：以。原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性，电势分布仅与x有关，即一维问题。容易写出定解问题:x = a 时 ? =ex=0 时* ( x) =0直接求解得pQ = -0-a(2x -a )2%'6 .内半径a ,外半径为b的两个同心导体球壳， 令内球接地，外球带电量Q ,试用分离变量法求空间电势分布。解.根据球对称性,空间电势分布中仅与r有关，定结问题为:=0'J .2 二 0(a 二 r 二 b)(

6、r b)21 / 171rir=b时中 1二2H17 ；。一 二 r. 2 八-0)ds = Qr求解得Q4 二；0b(1 -)rQa(1 -)4 二；0rb7 .均匀外电场中E 0,置入半径为 R的导体球。求以下两种情况的电势分布。(1)导体球上接有电池，使球保持电势为0； (2)导体球上带有总电荷 Q o解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向， 可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r有关1)中的定解问题为，/中=0(r >R0)r* r =R0 = 0E°r cos 日 +Q此时Q是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为: = ：0 一 E0r cos

7、 ( '。- 0 因EoR3：。一rr2)中的定解问题为2。= 0r出0=R （待定）.QQds = ,r田。：筋；。类似解为0-E0r cos 言 48.介电常数为 名的无限均匀介质中，挖一个半径为矩为pf的自由偶极子，试求空间电势分布。a的空球，球心处置一电解 如图建立球坐标系,中的定解问题为21P%，e| r-C= 0r=a 时，* =穹e ；pf的方向为极轴ex方向，(r ：a)(r a):三 e；0 1 二；e二 r 二 r注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，i =fo <Arn 犷n1）pn（cos。）4 二；0rg?可写为:第二项为极化电荷激发的势，该项在

8、球心应为有限值，故 Bn=0解的电势分布:P f r ( - 0) P f ri 4二"3 2二;0(2； 力)a3_3Pf re4二(2 ；0 )r39.半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子pf ,球外充满另一种介质,求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为名1,球外为82）。解：求解与上题类似，只需1, ,8T 22 ,(r < Ro )，得 1 ) f32 1 - 2 f r 34 二；1r 4 二；1 12 ；2 Ro3 Pf r4 二 1 2 2 r3(r 之 Ro )，极化电荷分布，在介质球内Pd = 1 包PfpI 1因此在球心处有一极化电偶极矩在r=R

9、o的界面上，由（Tp = -n（P2 - Pi ）, p =（名 尸中可得，二丁厂 1二3；0 ；1 - ；2 Pf cos二p 二；2一 ；0 -2一；1一；01=；012丁一二二r=Ro.二二 火°2 二；1 ；1 . 2工 Ro10.两个接地的无限大导电平面，其夹角为60 1点电荷Q位于这个两面角的平面上，并与棱边(两面角之交线)相距为 a。试用电像法求真空中的电势。解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：(1)首先考虑半面 ON '，为了满足ON 平面的电势为零，应在Q关于ON对 称的位置B处有一像电

10、荷-Q,(2)考虑半面ON ,同样为了满足电势为零的要求，对于 A、B处两个点电荷+ Q和-Q,应在A、B关于ON对称的位 置C、D处有两个-Q、+Q,'(3)再考虑ON半平面，对于C、D处的-Q和+Q,应在E、F处有两个像电荷+Q和-Q才能使导体ON的电势为零。可以证明E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于ON平面对称，因而可满足 ON 平面的电势为零，这样找出了 5个像电荷，加上原来给定的点电荷， 能够使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P处的电势可表为Q+Q Q+Q Q2r31456 其中1 ,12，6分别为给定电荷Q及其像电荷到 P点的距离。在其余空间的电势为 0=

11、0o11.接地空心导体球，内外半径为Ri和R2,球内离球心a处(a < Ri)置一点电荷Q,试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量Q0,则电势分布又如何？若导体球壳具有确定的电势中0,电势分布如何？解：根据题意设球内区域电势为Q ,球外区域电势为 中2，二24Q呼1 =- X(x-a, y,z)%二, 中2 =0，*1 R 区=*2 R缶=0设像电荷位置如图所示，% = Q+QL4冗% (r r )99. 1 2199. 1 2其中 r = R a -2Racos,r = R b -2Rbcos由边界条件 R北=0 1 R

12、R1Q2 R12 b2 -2R1bcos =Q2 R12 a2 -2R1acosQ2 R12 b2 -Q2 R； b2 =2R Q2b-Q'2a c要使上式对任意日成立，必有；Q2(Ri2+b2)-Q'2(R2+b2)=0(*)2R1(Q2b-Q2a )=0b2 b a2 R2 R2 =0 aR2解得b1 =，,b2 =a ,(舍去) a代入(*),得 Q1 = Q, Q2 = Q aaRi, R cb ,Q Q aa由上可知，9 = Q +2Q0, 4 二 0 RQQR / a±1 Q + Qo|/2 >a f -2R(R12 / a cos 22”0若使有确

13、定中0,且两种情况有相同解1 Q Q。4 二；0 R2由边界条件Q.R2 a2 -2RacosQRi / ak+R-空Rcos i a a J厂2：1- _ 1 -.n二 n所以，外表面感应电荷面密度4二 0 R2 a2 -2RacosR2 R2内表面感应电荷面密度一砂 3R2-a212 0 . R由1 3cR4" jR(R2+a2-2Racos 产总感应电荷Q感应=卜2ds = _Q ,(可见全部在内表面上) s12.四个点电荷，两个+ q ,两个一q ,分别处于边长为 a的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为

14、q(0,0,0), -q(a,0,0), -q(0,a,0) , q(0,0,a)的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势分布为2 -qa 3xy一5- °4二 0 r13.求面电荷密度按 仃=仃0 cos6分布，半径为a的球的电矩。问该系统是否存在电四极矩？解：p : :ix x dv; 一在y对称，二 Px =(fOxdv =，Oxds=0 ,Py =二.二 ydv =:二 yds = 0_ .4_ 3 _pz =' zdv = - a、- 03所以，P =4na3o0 ez3;电荷系统对于z轴对称二电四极矩非对角分量为 0,且只有一个独立对角分量Dzz 二二 3z2 -

15、a2 dv =；:0 - 3z2 - a 2 ds = 0aacc1 c cDxx = Dyy =-二 Dzz =02(r a)(r ：二 a)14 .设真空中电场的势为q / r-qr2 /(2a3 )+3q /(2a)式中r是离坐标原点的距离，a和q是常数，求相应的电荷分布。p解：靖华=,P = V2中，,r > a 时，P = 一中2 I 名0 = 0 , .rr <a时，P = -2(-qr2 / 2a3 +3q / 2a 卜% =3q% / a303q % / a3(r a)(r :二 a)15 .在一点电荷q的电场中，距离它为d的地方有一偶极子，其电矩p = ql ,求在下列两种情况下，此电矩所受的力F和力矩L：