二项式定理的练习及答案

1、式定理 的练 习及答案基础知识训练（一）选择题1 . （x + 3=）6展开式中常数项是（）A.第 4项 B.24C6C. C6D.22 . （x1）11展开式中x的偶次项系数之和是（）A.-2048B.-1023 C.-1024D.10243 . （1+72）7展开式中有理项的项数是（）A.4B.5C.6D.74 .若C）与cm同时有最大值，则m等于（）A.4 或 5B.5 或 6 C.3 或 4 D.55 .设（2x-3） 4=a0 +a1x+a2x2+a3x3 +a4x4,则 a0+ai+a2+a的值为（）A.1 B.16C.-15D.156 . （x3 -工）11展开式中的中间两项为（

2、）xA. <151x12,C；1x12B.C161x9,-C151x10C. -C151x13,C15x9D.C51x17, （tx13（二）填空题7 .在（2x-1y）7展开式中，x5y2的系数是8 . C0 +3C； +32C：十一 +3nC： =9 . （3/5+）20的展开式中的有理项是展开式的第 项. , 510 . （2x-1） 5展开式中各项系数绝对值之和是 .11 . （1+3x+3x2 +x3）10展开式中系数最大的项是 12 . 0.9915精确到0.01的近似值是.（三）解答题13 .求（1+x+x2）（1-x） 10展开式中x4的系数.14 .求（1+x）+（1+

3、x） 2+（1+x） 10展开式中 x3的系数.15 .已知（1-2x） 5展开式中第2项大于第1项而不小于第3,求x的取值范围.16 .若f(x) =(1 +x)m +(1 +x)n(m .n w N)展开式中，x的系数为21,问m n为何值时，x2的系数最小？17 .自然数n为偶数时，求证：18 .求8011被9除的余数.19 .已知(A-4)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14; 3,求展开x式的常数项.20 .在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数.21 .求(2x+1) 12展开式中系数最大的项.参考解答：-31.通项书=C6x6(：)r =C6x 右2，由 6-

4、|r = 0= r = 4,常数项是 T5 =C424 ,选(8)2 .设 f(x)=(x-1) 11,偶次项系数之和是 f"(1) =(2)11/2 = 1024,选(C).2r3 .通项Tr书=C7(J2)r =C72 ,当r=0, 2, 4, 6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选(A)4 .要使Cn7最大，因为17为奇数，贝 n = 177或n = 17 +1 =门=8或门=9,若n=8, 22要使Cm最大，则 m=4,若n=9,要使 Cm最大，则 m = -或m=m=4或222m=5综上知，m=4或m=5故选(A)5 .C 6.C7.224 ;8.4 n;9.3,9,1

5、5,21310 . (2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令x=1, 则所求和为3511 .(1+3乂+3乂2+/)10=(1+刈3°,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是ThCx15.12.0.991 5=(1-0.009) 5=C5 C50.009 +定 0.9613 . (1+x+x2)(1 -x)10 =(1 -x3)(1 -x)9，要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与 (1-x) 9展开式中的项c9(-x)4作积，第一个因式中的x3与(1-x) 9展开式中的项C；(-x)作积，故x4的系数是C19+C9 =135.10

6、1114 . (1 +x) +(1 +x)2 + (1 +x)10 =(1+x)1-i=(x+1) 31),原式中 x3 实为 1-(1 x)x这分子中的x4,则所求系数为C；1.15.由 J1 , _ 、_ 0C5 (2x) > C5 C5(2x)之C2(2x)2-1x :10- x < 0441016 .由条件得 m+n=21 x2的项为 Cmx2 + C：x2,则 Cm + C： = (n 4)2+399.因 nC N,24故当n=10或11时上式有最小值，也就是 m=11和n=10,或m=1蹄口 n=11时，x2的系数 最小.17 .原式=(C： +C1n+C2 +. +C

7、：+C：) + (C； +C：+Cn+C：)=2n+2n=3.2n,18 . 8011 -(81 -1)11 -C1018111 -C1118110C；81 -1 =81k 1(k Z),. k Z, ,9k-1 CZ,8111 被 9 除余 8.19 依题意 Cn : Cn =14:3= 3C4 =14C2 .3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!= n=1010r设第r+1项为常数项，又 +=。(a)10(-丹)r =(-2)rC；0xk x令10二5r =0= r =2,二 丁2书=C20(-2)2 =180.此所求常数项为 180 220 . (x2 3x 2)

8、5 =(x - 1)5(x 2)5在(x+1) 5展开式中，常数项为1,含x的项为c5 =5x ,在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32,含 x 的项为 C524x =80x展开式中含x的项为1(80x)+5x(32) = 240x ,此展开式中x的系数为24021 .设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有;展开式中系数最大项为第5项，T5=16C42x4 = 7920x4三.拓展性例题分析例1在二项式%x+21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有 24 x有理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项 公式

9、解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =0,1,2.得系数为：t1 = 1, t2 = C； = n, t3 = C； = n（ n - 0 ,12 n 2 2n 4 81 由已知：2t2 =t1+t3 n=1+ n（n-1）,8 n =8 通项公式为,16 J3r. 1Tr4=C8x 4 r =0,1,28,Tr书为有理项，故16-3r是4的倍数， . r =0,4,8.依次得至U有理项为 T1 =x4,R =C4 4 x = - x,Tg =C8 工 x-2x2.282256说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r的取值，得到了有理 项.类似地，（J2+V3）1

10、00的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r的取值， 得到共有17页系数和为3n .1例2（1）求（1 -x）3（1+x）10展开式中x5的系数；（2）求（x+2）6展开式中的常x数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.解：（1） （1-x）3（1+x）10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类 项：用（1-x）3展开式中的常数项乘以（1 + x）10展开式中的x5项，可以得到C50x5；用（1-x）3展开式中的一次项乘以（1+x）10展开式中的x4项可得到（-3x）（

11、C40x4） = -3C40x5 ；用（1-x）3中的x2乘以（1十x）10展开式中的x3可得到3x2 C30x3=3C30x5 ;用（1-x）3中的x3项乘以（1+x）10展开式中的x2项可得到-3x3 C2°x2 =-C2°x5,合并同类项得x5项为：(C；0 -C4o +3C；0 -C2o)x5 = -63x5 .，一、1 if(2) x + +2 = VX + x15(x 2)5x12 /I由展开式的通项公式1 =以2晨2)12r= C；2X6",可得展开式的常数项为C：2 =924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可

12、以 通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.例3求(1+x-x2)6展开式中x5的系数.分析：(1 +x-x2)6不是二项式，我们可以通过1 + x-x2 = (1 + x) - x2或1 + (x-x2)把 它看成二项式展开.解：方法一：(1+xx2)6 = (1+x)x27其中含 x5 的项为 C6x5 -6C5x5 +15C；x5 =6x5 .含x5项的系数为6.方法二：(1 x f x2)6 = 1 (x -x2) 6其中含 x5 的项为 20(3)x5+15(4)x5+6x5=6x5.；x5项的系数为6.方法3:本题还可通过把(1+x-x2)6看成6个1+x-x2相乘，每个因式各取一

13、项相乘可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到.5个因式中取x,一个取1得到C5x5.3个因式中取x, 一个取-x2 ,两个取1得至IJC； C3x3 (-x2).1个因式中取x,两个取-x2 ,三个取1得至IJC； C5x -(-x2)2 .合并同类项为(C6 -C6c3+C6c5)x5 =6x5, x5项的系数为6.例 4 求证：(1) C； +2c2 +nC： =n 2n/；(2) cn+1C；+1C： + +，C： =(2n卡1) .23n 1 n 1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质， 我们可以用二项式系数的性质来 证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个

14、小题的关键是通过组合 数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质cn +C； +C2 i +C： =2n.解：(1) ；kCn=k n =n= n (n-1) = nC：1k!(n -k)! (k-1)!(n-k)! (k -1)!(n k)!:左边=nC： JnC；+ +nCni= n(CnJL+CnJL+- +Cnl)=n 2rn=右边.(2)Cn =-n=nk 1 k 1 k!(n -k)! (k -1)!(n -k)!1 (n 1)!1 '_Cn+n 1 (k 1)!(n -k)! n 1:左边Cn+C2+ +，Cn：n 1 n 1n 1= 4(C；书 +C

15、2 书 +Cn：)=3(2n +1)=右边.n 1n 1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解.止匕外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：例5:求29C10十28C；。+27c1。十十2c2o +10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1 +2)1°的展开式接近，但要注意：从而可以得到：10+2C20 + +28C；。+29C；0 =1(310 1).2例6利用二项式定理证明：32nH28n-9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明32n七8n-

16、9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32" =9n+ = (8+1)n*,将其展开后各项含有8k,与82的倍数联系 起来.解：/32n42-8n -9= (8n+C1n+ 8n' + +Cn；) 64 是 64 的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题， 而且可以用此方程求一 些复杂的指数式除以一个数的余数.r 3 5例7展开2xr | .<2x2 J分析1:用二项式定理展开式.5解法 1: 2x-< 2x J分析2:对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法2:薮斗尸313）5< 2x2；32x10_ _ 5_ _2=32

17、x -120x180 135 405243-+xx48x7 32x10说明：记准、记熟二项式（a+b）n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提 条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.例8若将（x+y+z）10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）.A. 11B. 33 C. 55 D. 66分析：(x + y +z)10看作二项式(x + y) +z10展开.解：我们把x + y+ z看成（x + y）+z,按二项式展开，共有11 “项”，即10（x+y+z）10=（x + y）+z10=£ Cx + y）10zk . k =0这时，由于“和”中各项z的指数各

18、不相同，因此再将各个二项式（x+y）1展开,不同的乘积Cx + y）10* zk （k=0,1，10）展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积C&x + y）10" 2k （ k =0,1，10）.其中每一个乘积展开后的项数由（x + y）10”决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10 + 9+1 = 66, 应选D.1'n例9若x + 1-2 |的展开式的常数项为-20,求n.< x Jnx - -2 = x. .一 1 1'A当 x<0时，同理 x+-2 =(一1) <-xx J1 fn4= I .然后写出通