版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、第四章数列§ 4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1 项(或首项),第 2 项,第 n 项, .3.通项公式:一般地,如果数列a 的第项与序号之间的关系可以用一个公式来n表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列 : 项数有限的数列叫做有穷数列 .5. 无穷数列 : 项数无限的数列叫做无穷数列6. 数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式 . 递推公式是给出数列的一种重要
2、方法,其关健是先求出 a1,a 2, 然后用递推关系逐一写出数列中的项 .7. 等差数列 : 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公差通常用表示8. 等差中项 : 如果,这三个数成等差数列, 那么aba b2我们把2叫做和的等差中项二、疑难知识导析1. 数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;( 2)同一数列中可以出现多个相同的数;( 3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集( 1, 2, 3, n ) 的函数 .2.
3、 一个数列的通项公式通常不是唯一的.3. 数列 a 的前 n 项的和 S 与 a间的关系: anS1(n1),若 a 适合nnn 之SnSn 1( n2).1an(n>2),则 an 不用分段形式表示,切不可不求a1 而直接求 an.4. 从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a 1+(n-1)d=d· n+ a 1-d, an 是关于 n 的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n, an )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解:等差数列的前n 项之和公式可变形为dn2(a1dd
4、, B a d2Sn)n ,若令 A,则 Sn An+Bn.222126、在解决等差数列问题时,如已知,a1, an, d, Sn ,n 中任意三个,可求其余两个。三、经典例题导讲 例 1 已知数列 1,4,7,10, 3n+7, 其中后一项比前一项大3. ( 1)指出这个数列的通项公式;( 2)指出 1+4+ +(3n 5)是该数列的前几项之和.错解:( 1)an=3n+7;(2) 1+4+ +( 3n 5)是该数列的前 n 项之和 .错因:误把最后一项 (含 n 的代数式) 看成了数列的通项 .( 1)若令 n=1,a 1=101, 显然 3n+7不是它的通项 .正解:( 1)an=3n
5、2;(2) 1+4+( 3n 5)是该数列的前 n1 项的和 .例2已知数列 an 的前 n 项之和为 Sn 2n 2n Sn n2n 1求数列an 的通项公式。错解 : an2n2n2(n1) 2(n1) 4n3 ann 2n1 ( n1) 2(n1) 1 2n错因:在对数列概念的理解上,仅注意了an Sn Sn-1 与的关系,没注意a1=S1.正解 :当 n1时, a1S11当n 2时,an2n2n2(n1)2(n1)43n经检验n1时a11也适合,an4n3当 n1时, a1S13当 n2 时, ann2n1 ( n1) 2( n1) 1 2n an3(n1)2n( n2) 例 3 已知
6、等差数列an的前 n 项之和记为 Sn, S10=10,S30 =70,则 S40 等于。错解 : S = S · 2d.d 30,S40= S+d =100.301030错因:将等差数列中S , S2mS,S3mS 成等差数列误解为S, S, S成等差数列 .mm2mm2m3m10a1109 d1022正解 :由题意:2得 a129 d, d30a130705152代入得 S40403940120。40a12d 例 4 等差数列an、 bnSn7n1a7;的前 n 项和为 Sn、 Tn. 若4n( n N ), 求b7Tn27错解 :因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数,故由
7、题意令an=7n+1;b n=4n+27.a777110b7472711错因:误认为SnanTnbn正解 :a7a7a7S13713192b7b7b7T134 132779 例 5 已知一个等差数列an的通项公式 an=25 5n,求数列| an | 的前 n 项和;错解: 由 an0 得 n5an 前 5 项为非负,从第6 项起为负,Sn=a1 +a2+a3+a4+a5=50(n5)当 n6 时, S = a + a + a + +a( 205 n )( n5 )n678n250,n5S n= (205n)(n5),n62错因:一、把 n5 理解为 n=5,二、把“前 n 项和”误认为“从
8、n 6 起”的和 .n(45 5n),n52正解 :(205n)(n 5)n6250 , 例 6 已知一个等差数列的前10 项的和是310,前 20 项的和是1220,由此可以确定求其前n 项和的公式吗?解: 理由如下:由题设:S10310S20122010a145d310a14得:20a1190d1220d6 Sn4nn(n 1)6 3n 2n2 例 7 已知: an 1024lg 21 n( lg 20.3010 ) n N( 1) 问前多少项之和为最大?( 2)前多少项之和的绝对值最小?an1024(1 n) lg 2 010241024解:(1)1024n lg 2 0n1 3401
9、n 3403an 1lg 2lg 2 n 3402( 2) Sn1024nn(n1) (lg 2)02当 Sn0或 Sn 近于 0 时其和绝对值最小令: Sn0即 1024+n(n1) (lg 2)02得: n2048 16804.99lg 2 nN n6805例 8项数是2n 的等差数列, 中间两项为 an和 an1 是方程 x2pxq 0 的两根, 求证此数列的和 S2n是方程lg 2 x(lg n2lg p 2 ) lg x(lg n lg p) 20的根。 ( S2n0 )证明: 依题意 anan1p a1a2 nanan 1p S2n2n(a1a2 n )np2lg 2x(lgn2l
10、gp2 ) lgx(lgnlg) 20p (lg xlg np)20 x npS2 n(获证)。四、典型习题导练1已知a1且Sn 1 2n ,求an 及 Sn 。3 an2设 an122334n(n1) ,求证: n(n 1)an(n 1)2。223.求和 :111112123123n4.求和:(100 2992 ) (982972 )(4232 )(2 212 )5.已知 a,b, c 依次成等差数列,求证:a 2bc,b 2ac,c 2ab 依次成等差数列 .6.在等差数列an中, a5a1340 ,则a8a9a10()。A 72B 60C 48D367.已知 an是等差数列,且满足amn
11、, an m(mn) ,则 am n 等于 _。8.已知数列1成等差数列,且 a311 , a513,求 a8 的值。an267§ 4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1.等比数列: 一般地, 如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比都等于同一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示2.等比中项:若,成等比数列,则称为和的等比中项n a1(q1)3.等比数列的前 n 项和公式: Sna1 (1 q ) a1an qn1)1q1(qq二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此
12、 q 也不为 0.2.对于公比 q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从. 第2项或第3 项起是一个等比数列 .4.在已知等比数列的a和 q 的前提下,利用通项公式n-11a =a q , 可求出等比数列中的任n1一项 .5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用nmn-m可求等比数列中任意一项 .a =a q6.等比数列 an的通项公式 an=a1qn-1 可改写为 ana1 q
13、 n . 当 q>0,且 q 1 时, y=qxq是一个指数函数, 而 ya1 q x 是一个不为 0的常数与指数函数的积,因此等比数列 anq的图象是函数ya1qx 的图象上的一群孤立的点.q7在解决等比数列问题时,如已知,a1, an, d, Sn ,n 中任意三个,可求其余两个。三、经典例题导讲例 1n0, q 1, q 为非零常数),则 an已知数列an 的前 n 项之和 Sn=aq ( a为()。A. 等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列,也不是等比数列D.既是等差数列,又是等比数列错解 :an 1Sn 1Sn aq n 1aq naq n (q 1)anSSn 1aq n
14、 1 (q 1)nan 1q (常数)anan 为等比数列,即B。错因:忽略了anSnSn 1 中隐含条件n 1.正解 :当 n1 时, a1=S1 aq;当 n>1 时, anSnSn 1aq n 1 (q1)an 1q (常数)ana2q 1q但a1an既不是等差数列,也不是等比数列,选C。例 2已知等比数列an 的前 n 项和记为 Sn, S10 =10 , S30=70,则 S40 等于 .错解 : S30= S 10· q 2.q 2 7, q7 , S 40= S 30· q = 70 7 .错因:是将等比数列中S , S2mS,S3m S成等比数列误解为
15、S , S, S成等比数列 .mm2mm2m3ma1 (1q10 )a11q1010正解 :由题意:得1,a1 (1q30 )qq10或 q103(舍去)1q702S40=a1 (1 q40) 200 .1q 例 3求和: a+a2+a3+ +an.23n1a n错解 : a+a +a + +a1.a错因:是( 1)数列 an不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n 项和公式( 2)用等比数列前 n 项和公式应讨论q 是否等于 1.正解 :当 a0 时, a+a2+a3+ +an 0;当 a 1 时, a+a2+a3+ +ann;当 a1 时,23n1a na+a +a + +a .1a 例
16、 4 设 a, b,c, d 均为非零实数,a 2b2d 22b ac db2c 20 ,求证: a,b, c 成等比数列且公比为d 。证明:证法一 :关于 d 的二次方程a2b 2 d 22b ac db 2c 20有实根,4b2 a c 24 a2b 2(b 2c2 ) 0 , b 220ac则必有: b 2ac0 ,即 b 2ac ,非零实数 a, b, c 成等比数列设公比为 q ,则 baq , caq2代入a 2a 2 q2 d 22aq a aq 2 d a 2 q2a 2 q 40 q 21 a 20 ,即 d 22qdq 20 ,即 dq0 。证法二: a2b 2d 22b
17、ac db 2c20 a 2 d 22abdb 2b2 d 22bcdc 20 adb 2bdc 20, adb ,且 bdc a, b,c, d 非零, bcd 。ab例 5在等比数列bn中, b43 ,求该数列前7 项之积。解: b1b2 b3b4b5b6b7b1b7 b2b6 b3b5 b4 b42b1b7b2 b6 b3 b5 ,前七项之积3233372187例 6求数列 n1 前 n 项和2n解: Sn1 12 13 1n12482n1111112 Sn1428316(n 1)2nn2n 1两式相减: 1111111 (11 )n22n2 Sn2 4 82nn2n 1112n 121
18、n1nSn2(122n2n 1 )n 12n2 例 7 从盛有质量分数为20%的盐水 2kg 的容器中倒出1kg 盐水,然后加入1kg 水,以后每次都倒出1kg 盐水,然后再加入1kg 水,问: (1) 第 5 次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg?(2) 经 6 次倒出后,一共倒出多少 kg 盐?此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?解: (1) 每次倒出的盐的质量所成的数列为 an ,则:a1= 0.2( kg) ,a2= 1 × 0.2 ( kg) ,a3= ( 1 ) 2× 0.2 ( kg)12121由此可见: a = (n 1( kg) ,a5= (
19、5 1)× 0.2)× 0.2= (n2221(2) 由(1) 得a 是等比数列a1=0.2 ,=n) 4×0.2=0.0125 ( kg)。21a1 (1q 6 )0.2(126)S6q10.39375(kg )1120.4 0.393750.00625(kg )0.00625 2 0.003125(kg)答:第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐0.0125kg; 6 次倒出后,一共倒出 0.39375kg盐,此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1. 求下列各等比数列的通项公式:1) a1= 2, a3= 82) a1
20、=5, 且 2an+1= 3an3)a1=5,且 an 1nann 12.在等比数列an ,已知 a15 , a9a10100,求 a18 .012n13.已知无穷数列 10 5 ,10 5 ,10 5 ,10 5,,求证:( 1)这个数列成等比数列( 2)这个数列中的任一项是它后面第五项的1 ,10( 3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列 an 为 1,2x,3x 2 ,4x3nx n1x0 求此数列前 n 项的和。5. 已知数列 an 中, a1= 2 且 an+1=Sn,求 an , Sn6. 是否存在数列 an ,其前项和 Sn 组成的数列 Sn 也是等比数列,且公比相
21、同?7. 在等比数列an中, a1a336, a2a460, Sn400 ,求 n 的范围。§ 4.3 数列的综合应用一、知识导学1.数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容. 解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型 .2. 应用题成为热点题型,且有着继续加热的趋势,因为数列在实际生活中应用比较广泛,所以数列应用题占有很重要的位置,解答数列应用题的基本步骤:( 1)阅读理解材料,且对材料作适当处理;( 2)建立变量关系,将实际问题转化为数列模型;( 3)讨论变量性质,挖掘题目的条件, 分清该
22、数列是等差数列还是等比数列,是求 S 还是求 a . 一般情况下,nn增或减的量是具体体量时,应用等差数列公式;增或减的量是百分数时,应用等比数列公式若是等差数列,则增或减的量就是公差;若是等比数列,则增或减的百分数,加1 就是公比 q.二、疑难知识导析1. 首项为正(或负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式a n0an0解决;或a n 10an 102. 熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前n 项和公式,在用等比数列前n 项和公式时,勿忘分类讨论思想;mnm)d, daman;等比数列中,nm n-mqn man3. 等差数列中 , a =a + (n
23、mna =a q ;am4. 当 m+n=p+q( m、n、p、q N )时,对等差数列 an有: am+an=ap+aq;对等比数列 an有: aman=apaq;5.若 a n 、 b n 是等差数列,则 ka n+bbn(k 、 b 是非零常数 ) 是等差数列;若 a n 、 b n 是等比数列,则kan、a nbn 等也是等比数列;6.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a +a +a ,a +a +a ,a +a +a )仍是等差(或等比)数列;1234567897. 对等差数列 an , 当项数为 2n 时, S 偶-S 奇 nd;项数为 2n 1 时, S 奇
24、 S 偶 a 中( n N );8. 若一阶线性递推数列 an=kan 1+b( k 0,k 1) , 则总可以将其改写变形成如下形式: anbk (a n 1b) (n 2) ,于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;k1k1三、经典例题导讲 例1设ann是 其 前 n项和.证明:是由正数组成的等比数列,Slog 1 Snlog 1 Sn222log1 Sn 1 。22log 1 Sn log 1Sn 2错解: 欲证22log 1Sn 122只需证 log 1 Snlog 1Sn 2 2 log 1 Sn1222即证: log 1 (Sn Sn 2 ) log 1Sn2122由对数函数的单调
25、性,只需证(SnSn 2 ) Sn21Sn Sn2 Sn21 a12 (1q n )(1q n 2 )a12 (1q n 1 )2(1q)2(1q) 2 a12q n0SnSn 2 Sn2 1原不等式成立.错因:在利用等比数列前n 项和公式时,忽视了q 1 的情况.log 1Snlog 1 Sn2正解 :欲证22 log 1Sn 122只需证 log 1Snlog 1 Sn 2 2 log 1Sn1222即证: log 1 (SnSn2 ) log 1Sn2122由对数函数的单调性,只需证(SnSn 2 ) Sn21由已知数列an 是由正数组成的等比数列,q >0, a10 .若 q 1
26、 ,则 SnSn 2 Sn2 1 na1 (n 2)a1( n1)a1 2 a12 0;若 q1,SnSn2 Sn21 a12 (1 qn )(1qn 2 )a12 (1q n 1 ) 2(1 q)2(1q) 2 a12 qn0SnSn 2 Sn2 1原不等式成立. 例 2一个球从100 米高处自由落下,每次着地后又跳回至原高度的一半落下,当它第 10 次着地时,共经过了多少米?(精确到1 米)错解: 因球每次着地后又跳回至原高度的一半,从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为1 的等比数列,又第一次着地时经过了100 米,故当它第10 次着地时,2共经过的路程应为前10 项之和 .1001(
27、1)10 即 S102 199(米)112错因:忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.正解 :球第一次着地时经过了100 米,从这时到球第二次着地时,一上一下共经过100 100(米)因此到球第10 次着地时共经过的路程为了 2210010010010010010022232821001(1) 9 1002300(米)112答:共经过300 米。 例 3一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就在每年生日,到银行储蓄 a 元一年定期,若年利率为 r保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁上大学时,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数
28、为多少?错解:年利率不变,每年到期时的钱数形成一等比数列,那18 年时取出的钱数应为以 a为首项,公比为 1+r 的等比数列的第1918.19 项,即 a =a(1+r)错因:只考虑了孩子出生时存入的a 元到 18 年时的本息, 而题目要求是每年都要存入a 元 .正解 :不妨从每年存入的 a 元到 18年时产生的本息入手考虑,出生时的 a 元到 18 年时变为 a(1+r) 18,1 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r)17,2 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r)16,17 岁生日时的 a 元到 18岁时成为 a(1+r)1,a(1+r)18+ a(1+r)17+
29、 + a(1+r)1a(1r )1(1 r )18 1 (1r ) a (1r )19(1r )ra (1答:取出的钱的总数为r )19(1 r ) 。r例 4求数列 11 , 14 , 17 , 110,1(3n 2) ,的前 n 项和。aa2a 3a n1解:设数列的通项为a ,前 n 项和为 S ,则1(32)annnna n 1111Sn(11 )1 47(3n2)aa2an当 a1 时, Snn(13n2)n3n 2n2211(13n2)na n1(3n1)n当 a1 时, Sna n12a na n 121a例 5求数列6, 6 ,64,6,前 n 项和1 2233n(n 1)解:设数列的通项为b ,则 bn11)6(nn(n1)nn1Snb1b2bn6(11 )( 11)( 11)223nn16(1n1)6n1n1例 6设等差数列 a 的前 n 项和为 S ,且 Snan12(nN ) ,()nn2求数列 an 的前 n 项和解:取 n =1,则 a1( a11) 2a112又由 Snn( a1an )可得: n(a1an )( an1) 2222an1 ( n N * )an2n 1Sn135(2n1)n 2例 7大楼共 n 层,现每层指定一人, 共 n 人集中到设在第k 层的临时会
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
评论
0/150
提交评论