高等数学不定积分

1、高等院校非数学类本科数学课程第五章 一元函数的积分本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式. 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平

2、面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。二.不定积分的计算利用不定积分的性质利用不定积分的性质换元法换元法( 第一、第二第一、第二 )分部积分法分部积分法部分分式法部分分式法3. 不定积分的分部积分法 . 种方法积分时应用较广泛的一分部积分法是计算不定 :导公式相对应该方法与函数的乘积求 , )( ),( 则有上可微在区间设函数Ixvxu . )()()()() )()(xvxuxvxuxvxu , )()( )()( 对上式两的原函数存在与如果函数xvxuxvxu , 便得到积分边关于 x . d)()()()(d)()(xxvxuxvxuxxvxu . 分

3、部积分公式该公式称为不定积分的定理 )()( . )( , )( xvxuIxvxu若函数上可微在区间设函数 , 则上的原函数存在在区间 I . d)()()()(d)()(xxvxuxvxuxxvxu . 分部积分公式该公式称为不定积分的 . 函数的积分计算一个数的积分计算转化为另分部积分公式将一个函一般说来, 当被积函数为下列形式之一时, 可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 ,指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 ,两个函数的乘积 .例1解 . dsin xxx计

4、算xxu)(1)( xuxxvsin)(xxvcos)(xxxxxxxd)cos()cos(dsinxxxxdcoscos . sincosCxxx例2解 . sindcos 3xxxx计算x1xx3sincosx2sin21xxxxxxxx223sin2d21sin2sindcos . cot21csc22Cxxx333dsin)d(sinsindcosuuxxxxx . sin212122CxCu) sin (xu 例3解 . darccos xx计算x1xarccos21 1x 1 darccosdarccos2xxxxxxx . 1 arccos2Cxxx例4解 . dsin 2xxx

5、计算xcosxsin2xx2xxxxxxxxdcos2cosdsin22xsinxcosx1)dsinsin(2cos2xxxxxx . cos2sin2cos2Cxxxxx . , , , 用分部积分法可以连续使只要条件允许与换元法一样该例说明例5解xsinxcosxexe . dcos xxex计算 dsinsindcosxxexexxexxxxcosxsinxexe)dcoscos(sinxxexexexxx dcoscossinxxexexexxx . )cos(sin21dcos Cxxexxexx故 :,可能会出现下列关系式在运用分部积分法时该例显示 . ) 1 ( d)()(d)

6、(axxfaxxxf , ,便可得出后任意常数经移项并在等式右端加此时C 所求的不定积分 . )(11d)(Cxaxxf例6解x122ax 22axx . d 22xaxI计算 dd2222222axxxaxxxaxI d)(2222222axxaaxaxx dd2222222axxaxaxaxx|ln 22222axxaIaxx . |ln221d 2222222CaxxaaxxxaxI故例7解 . ,d)(ln Znxxn计算x1nx)(lnxxnn1)(ln1 ,d)(ln 则记xxInn d)(ln)(lnd)(ln1xxnxxxxInnnn . )(ln1nnInxx : , 得到一

7、个递推关系式于是 . )(ln1nnnInxxI利用递推关系式可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分. . d)(ln ,33xxI求例如 ,3)(ln233IxxI ,2)(ln122IxxI ,ln01IxxI ,dd)(ln00CxxxxI)(ln1CxxxI)(ln(2)(ln22CxxxxxI . 6ln6)(ln3)(ln 233CxxxxxxxI故例8解xcosxsinxn 1sinxxnncossin) 1(2 . dsin xxn计算 ,dsin 则记xxInnxxxxxInnndsinsindsin1 dcossin) 1(cossin221xxxnxxnn dsin

8、) 1(dsin) 1(cossin21xxnxxnxxnnnxx22sin1cosnnnInInxx ) 1( ) 1(cossin21 . 1cossin1 21nnnInnxxnI故 . d0CxxI 如果需要，条件又允许，则不定积分的换元法、分部积分法等可以混合起来使用。例9解 . 1 d xxexxe计算 1d2d ) 1ln( 1 22，故，则令uuuxuxeuxuuuuuuuuexxexxd) 1(ln 21d2) 1() 1ln( 1 d2222 , d)1ln() 1ln( 2uuu1d) 1ln(d) 1ln(uuuuuuuuuuuud11) 1() 1ln(, | 1|l

9、n) 1ln(1Cuuuu类似地，有 | 1|ln) 1ln(d) 1ln(2，CuuuuuuCuuuuuexxexx| 1| 1|ln24) 1ln(2 1 d 2故 . 11 11 ln21 )2(2Ceeexxxx例10解 . d1arctan 22xxxx计算 d1arctan) 11( d1arctan2222xxxxxxxx d1arctandarctan2xxxxx )d(arctanarctan1darctan2xxxxxxxx1xarctan211x . arctan21)1ln(21arctan22Cxxxx4. 不定积分的部分分式法 众所周知，有些函数虽然在某区间上连续，

10、可以积分，但由于它的原函数不能表示为初等函数的形式（即初等函数的原函数不一定是初等函数），这时我们称该函数可积，但积不出. . dsin ,d ,dsin 22等例如：xxxexxxx 下面介绍原函数可以表示为初等函数的三类常用函数的积分法部分分式法. )()()(11101110mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR)cos ,(sinxxR) ,(2cbxaxxR换元法部分分式法(1) 有理函数的积分法 部分分式法式的商构成的函数：有理函数是由两个多项 )( 为有理真分式；时，称当xRmn . )( 为有理假分式时，称当xRmn )()()( 11101110mmmmnn

11、nnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR为一个多项式与一个运用除法可将假分式化 . 有理真分式的和的形式我们只需讨论有理真分式的积分方法.由高等代数知识，任何一个有理真分式均可化为下列四类简单分式之和的形式：, )( , , )( , 22kkqpxxBAxqpxxBAxaxBaxA . 04 2qpRqpaBAZk，且，常数其中，高等代数有关定理简介，则，若0)()()()( . 111aQZkxQaxxQk , )( )( )()( )( )(11111xQxPaxAaxAaxAxQxPkkkk . )( )( 11为有理真分式其中，xQxP，则，且，若04 )()()( . 2222

12、qpZkxQqpxxxQk , )( )( )()( )( )(2221112112xQxPqpxxBxAqpxxBxAqpxxBxAxQxPkkkkkk . )( )( 22为有理真分式其中，xQxP有理真分式可以分解为部分分式例11解 . 2422 1322)( 23452写成部分分式形式将xxxxxxxxR ) 1)(2(2422 222345，故令因为xxxxxxx ) 1)(2( 1322 2422 132222223452xxxxxxxxxxx1) 1(2222xEDxxCBxxA通分、比较分子的系数2342)22()2()(1322xEDABxDExDAxx)22()22(ECA

13、xEDBC得到代数方程组0 DA02 DE222EDAB222EDBC1322ECA , 2 , 1 , 4 , 3 , 1 故解方程组得：EDCBA . 12) 1(4321 2422 132222223452xxxxxxxxxxxx例12解 . d431 232xxxx计算 ) 1()2(43 223，得由xxxx , 2)2(14312232xCxBxAxxx 通分，比较系数，得 , ) 1)(2() 1()2(122xxCxBxAx ; 92 , 1 Ax得令 ; 35 , 2 Bx得令 , 97 , 0 Cx得令xxxxxxxxd2197)2(1351192d431 2232故 .

14、|2|ln97)2( 35| 1|ln92Cxxx(2) 三角函数有理式的积分法 半角代换 , 2tan 积分转化为相应的可将三角函数有理式的令xt 有理函数的积分计算： . 1d2) 11 ,12 (d)cos ,(sin2222ttttttRxxxR , 1 22tan12tan22sec2tan22cos2tan22cos2sin2sin2222ttxxxxxxxxx , 112tan12tan12cos)2tan1 (2sin2coscos22222222ttxxxxxxxxd它将代换”常常被人们称为“万能代换 . 2tan xt 而转化为有理函数积分 , d)( d)cos ,(si

15、nttRxxxR最差的情况也可用部解决了的有理函数的积分是彻底( 换”能够彻底解决从而可以认为“万能代分分式法 , ) . ,法但它不一定是最好的方计算三角函数有理式的积分请记住： 2tan时：xt 21 2sinttx2211costtx21d2dttx例13解 . sin45 d xx计算 , 1d2d , 1 2sin , 2tan 22故则令ttxttxxt 5 8 5 d2 sin45 d2tttxx ) 5 8 5 ( 5 d 012ttt223d2uu4 5 tuCu3arctan32 . 3 4 2 tan 3 5 arctan 3 2Cx例14解 . dcos2sin2 xx

16、x计算 dcos2sincos2d2dcos2sin2xxxxxxxx . )cos2ln(cos2)cos2( ddcos2sin2Cxxxxxx , 1d 2d , 11cos , 2tan 222故则令ttxttxxt3d 4cos2d22ttxx 3arctan341Ct 2tan31arctan341Cx . )cos2ln(2tan31arctan34dcos2sin2 Cxxxxx从而其它三角函数有理式的积分计算 , )cos ,(sin)cos ,sin( ) 1 (xxRxxR若 , , tan 此时则可令xt . 1dd , 11cos , 1sin22222ttxtxtt

17、x . cos , )cos , (sin)cos , sin( )2(xtxxRxxR则可令若 . sin , )cos , (sin)cos , (sin )3(xtxxRxxR则可令若 )4(的积分化将一些三角函数有理式运用三角函数恒等式可 . 为适宜的积分计算例15解 . sin2d 2xx计算 , 1dd ,1sin , tan 2222故则令ttxttxxt 2dsin2d22ttxxCt2arctan21 . 2tanarctan21Cx例16解 . tan2d 2xx计算 , 1dd , tan 2故则令ttxxt )1)(2(dtan2d222tttxx d211122ttt 2arctan21arctanCtt . 2tanarctan21Cxx例17解 . ) 0 , 0 ( cossind 为常数计算baxbxax cossin cossin222222xbabxbaabaxbxa , )sin(22xba . sin , cos