数学必修2红对勾讲与练第3章)

1、第三章直线与方程课标导航本章主要学习对直线的倾斜角与斜率的概念的理解与互化；直线方程的几种形式及其运用；直线位置关系的判定及距离公式的应用等这些内容是解析几何中最基本的知识，是进一步学习解析几何的基础另外，这一章我们还要学习一种很重要的方法坐标法(解析法)，通过这种方法，一方面把几何问题转化成代数问题，另一方面通过代数运算研究几何图形的性质，它是解析几何中最基本的研究方法内容提要内容提要1在本章学习中，要强化数形结合和分类讨论的思想方法如：(1)在确定直线的斜率时，要注意斜率存在的条件(2)在利用直线的点斜式和斜截式解题时，要防止由于直线斜率不存在而造成的漏解(3)在利用直线的截距式解题时，要

2、注意防止由于“零截距”造成的漏解2本章内容是解析几何的基础，本章的内容、方法、思维方式将会渗透到解析几何各部分内容中去，必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，在理解的基础上，应在“熟”字上下功夫学法建议学法建议3.1直线的倾斜角与斜率31.1倾斜角与斜率解析几何学的奠基人笛卡尔曾在拿破仑军中服役，当时笛卡尔是一名炮兵，他当时非常想解决一个问题，即如何将炮打的更准一些通过研究发现，炮弹的飞行轨迹与炮筒的仰角有很大关系，但是如何进行计算呢？或者说如果把炮筒看成直线，那么这种仰角应如何表示呢？这就是我们本节将要研究的解析几何第一节直线的倾斜角与斜率走进生活走进生活研习新知1当直线l与x轴相交时，我

3、们取_作基准，_与_之间所成的角叫做直线l的倾斜角并规定：直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为_，从而可得直线的倾斜角的范围是_ 2倾斜程度相同的直线，其倾斜角必_ ，倾斜程度不同的直线，其倾斜角_ 3把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的_ ，即k_ .但要注意，倾斜角是90的直线没有斜率，只有倾斜角不是90的直线才有斜率，而且倾斜角不同，直线的斜率不同，因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度知识预览知识预览x轴x轴正方向l向上方向00，180)相等不等斜率tan自我检测自我检测1在下列四个命题中，正确的命题共有()坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；直线的倾斜角的取值范围是0，1

4、80；若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为；若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan.A0个B1个C2个D3个解析：由于倾斜角为90时，直线的斜率不存在，所以不正确；由直线的倾斜角的定义可知直线的倾斜角的取值范围是0，180)，所以不正确；直线的斜率是一个实数，可以等于tan268，但直线的倾斜角不是268，所以不正确故选A.答案：A2以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A(4,2)与(4,1)B(0,3)与(3,0)C(3，1)与(2，1)D(2,2)与(2,5)解析：选项D中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，因此直线的斜率不存在答案：D3过点P(2，m)，Q(

5、m,4)的直线的斜率为1，则m的值为()A1B4C1或3D1或4解析：由斜率公式可求得m1.答案：A4已知点P(3,2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150，则点Q的坐标为_5如图1，已知ABC三个顶点坐标A(2,1)，B(1,1)，C(2,4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角图1互动课堂典例导悟典例导悟类型一：直线的倾斜角例1一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为(00，斜率为m的直线上有两点(m,3)和(1，m)，则此直线的倾斜角为_答案(1)5(2)60点评斜率公式有两种形式：一是用倾斜角的正切值表示；二是用两点的坐标表示在0，180)范围内的

6、一些特殊角的正切值要熟记题目中凡涉及直线上的点与倾斜角的问题，要用斜率的两个公式把它们联系起来但要注意应用斜率公式的条件，即90，两点坐标表示中要求x1x2.迁移变式2求过下列两点的直线的斜率及倾斜角.(1)P1(3,1)，P2(3,10)；(2)P1(b，bc)，P2(a，ca)(a，b，c为互不相等的实数)类型三：三点共线问题例3已知A(1,1)、B(3,5)、C(a,7)、D(1，b)四点共线，求a，b的值分析根据AB、AC、AD的斜率相等，列出a、b的方程组，求出a、b，问题得解点评两直线AB、AC的斜率相等A、B、C三点共线；反过来，A、B、C三点共线，则直线AB、AC的斜率相等(斜

7、率存在时)，或斜率都不存在类型四：倾斜角与斜率的关系例4已知点P(1,2)，A(2，3)，B(3,0)，经过点P的直线l与线段AB有公共点时，求直线l的斜率k的取值范围图4分析分析过P点的直线l绕着点P，由PA转到PB的过程中，斜率的变化范围即可点评直线l过定点P(1,2)，与线段AB的交点在AB上，用数形结合的方法和运动变化的观点，可以求出斜率的变化范围图5反思总结反思总结1直线的倾斜角与斜率k之间的关系斜率和倾斜角的关系是本节命题的热点，它们之间的关系是“数与形”的关系，斜率是个数，倾斜角则是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，因此与k之间不是一一对应关系(

8、1)对应关系当90时，直线不存在斜率；当90时，k与是一一对应关系，ktan，(2)变化情况当090时，随的增大，斜率k在0，)范围内增大；当900，bc0Bab0，bc0Cab0Dab0，bc0答案：D 1直线方程的一般式与四种特殊形式之间的转化反思总结反思总结2要理解和掌握不同形式的直线方程之间互化的方法和用途在建立直线方程时，通常根据给出的两个独立条件，采用适当的形式例如，已知一点的坐标，求过这点的直线，可用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距等本节要求能将不同形式的直线方程互化，并能通过直线方程求出表示直线位置的特征(如斜率，截距等)

9、 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(20)思思 维维 拓拓 展展典例已知直线l1：ax3y10，l2：x(a2)ya0，求满足下列条件的a的值：(1)l1l2；(2)l1l2.3.3直线的交点坐标与距离公式33.1两条直线的交点坐标33.2两点间的距离人的每个阶段都是由三点一线组成，每个阶段的三点一线都不一样，求学的时候，教室食堂寝室；工作的时候，单位路上家简单的三点，简单的直线，看起来很简单的事情，往往认为抬脚便利，然而要实现自己的梦想，达到自己的预期目标，走的路却常常不是直线，我们必须在曲折中前进，也就是迂回前行，峰回路转，正所谓“无限风光在险峰”！走进生活走进生活研习

10、新知知识预览知识预览一组 解 无 无数 |y1y2| |x1x2| 自我检测自我检测答案：B2已知两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点为P，过点P和原点的直线方程为()A19x9y0B9x19y0C19x3y0D3x19y0答案：D答案：A 答案：C 5求经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线的方程互动课堂典例导悟典例导悟类型一：两条直线的交点问题例1求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程点评求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程若利用过两直线交点的直线系方程考虑，通过

11、待定系数法求解更简捷 迁移变式1求经过直线3xy150和2x5y70的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程类型二：直线过定点问题例2不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点，求出此定点的坐标分析整理为关于m的方程，再令m的系数等于0，即可求出定点坐标点评直线过定点的问题体现了函数思想和方程思想的运用 迁移变式2(1)不论m为何实数，直线l：(2m1)x(m3)y(m11)0恒过一定点，则此定点的坐标是_(2)已知直线l：(2m1)x(m1)y(7m4)0(mR)，求证：直线恒过定点，并求出此定点的坐标类型三：对称问题例3已知直线l1：2xy40，求l1关于直线l：3x4

12、y10对称的直线l2的方程点评求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线的问题，即在其上取一点(或两点)，求出它们关于直线的对称坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程一般地，当对称轴的斜率为1时，求P(x0，y0)的对称点Q，只需由对称轴方程解出x，再用y0代替y，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标迁移变式3一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线所在直线的方程图1分析设点P的坐标，由两点间距离公式列方程求解点评(1)点P在x轴上，其纵坐标为0；(2)用待定系数法设点的坐标，用方程的方法求解；(3)本题从正

13、、逆两方面考查了距离公式的应用迁移变式4已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A间的距离等于13，求点P的坐标类型五：坐标法及应用例5如果圆O的内接四边形ABCD的两条对角线互相垂直求证：对角线的交点O到一边的中点的线段长度等于圆心O到该边对边的距离分析坐标法是我们解决平面几何问题的一种有效方法，它通过建立坐标系，将图形中的点坐标化，将几何关系转化为代数关系，将几何证明转化为代数运算，因此，坐标系是实施数与形转化的一个最好途径当然，在建立坐标系时，要充分利用图形中的垂直关系，建立适当的坐标系，才能简化运算，图中的量便于代数化图2点评坐标法是解决平面几何问题的有效方法，它跳出了平面几何的圈子，

14、利用代数的观点来思考、解决问题，但它并不一定是最好的方法，可能会遇到繁杂的运算，要想找到一个好思路，就必须充分利用图形的几何性质，结合坐标法解决问题迁移变式5用坐标法证明定理：如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式AM2CM2BM2DM2成立证明：取长方形ABCD的两条边AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，如图3.设长方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)、B(a,0)、C(a，b)、D(0，b)在平面上任取一点M(m，n)，则AM2CM2m2n2(ma)2(nb)2，BM2DM2(ma)2n2m2(nb)2，AM2CM2BM2DM2.图31两条直线相交的判定(1)解

15、两直线的方程组成的方程组，若只有一个解，则两直线相交；(2)在两直线斜率都存在的条件下，若斜率不等，则两直线相交；(3)两直线中，若只有一条直线的斜率不存在，则两直线相交2求直线过定点的三种方法对于直线l：AxByC0，若A，B中含有字母系数m，则直线l必过某个定点，求定点坐标常用下列三种方法：(1)特殊值法取m的两个特殊值，得到两个具体的直线方程，这两个方程表示的直线一定相交，它们的交点坐标即为所求定点坐标(2)方程法将直线方程整理成关于m的方程的形式，令所求系数为0，得到一方程组，该方程组的解即为所求定点坐标反思总结反思总结(3)点斜式法将直线方程化成点斜式的形式，即yy0k(xx0)，则

16、可直接看出定点为(x0，y0)3过两条直线交点的直线系(1)过两条直线l1：A1xB1yC10(AB0)与l2：A2xB2yC20(AB0)交点的直线系为m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0(其中m，n为参数，m2n20)，当m1，n0时，方程即为l1的方程；当m0，n1时，方程即为l2的方程(2)上面的直线系可改写成(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(其中为参数)，但方程中不包括直线l2，这个参数方程形式在解题中较为常用4解决与距离相关的问题的方法(1)这类问题的求解步骤为：根据条件画图；化直线方程为一般式；运用距离公式建立关系往往作图方法就是题目的求解方法，因此求解时应重

17、视画图，特别是所求的曲线方程的图(2)用代数方法解决几何问题的基本步骤：第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数计算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(21)33.3点到直线的距离33.4两条平行直线间的距离世界最大直径的隧道终于在上海诞生，根据设计，整条隧道用于人员安全转移和工作联系的江中联络通道，在长达7.5千米的隧道中，每隔800米左右设置一条连结通道，总共有8条，目前已经完成了3条，使相距15米的两条隧道紧紧地联系在一起目前，长江隧道依旧采取盾构一边推进，一边开挖连结通道的新技术，确保下行线隧

18、道也将于今年年底前贯通，为2010年上海长江隧桥工程大桥段隧道段的全面通车打下坚实基础如果将两条隧道看成平行直线，那么如何在坐标系中计算它们的距离呢？走进生活走进生活研习新知知识预览知识预览d|x1x0| d|y1y0| 自我检测自我检测答案：D 答案：C 答案：B 4与直线7x24y5平行且距离等于3的直线方程是_答案：7x24y800或7x24y700 5在直线x3y0上求一点，使它到原点的距离等于它到直线x3y100的距离互动课堂典例导悟典例导悟类型一：求点到直线的距离 例1求点P(3，2)到下列直线的距离：(1)3x4y10；(2)y6；(3)x0.迁移变式1在x轴上求与直线3x4y1

19、0的距离等于5的点的坐标类型二：两条平行直线间的距离例2求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程迁移变式2求平行线2x7y80和2x7y60的距离迁移变式3设x2y1，求x2y2的最小值图1例4直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程点评本题的关键是求l1，l2的斜率，根据条件可考虑用待定系数法求出斜率注意不可忽略斜率不存在的情况迁移变式4已知直线l1：3x2y10和l2：3x2y130，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1d221，求直线l的方程反思总结反思总结 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(22)本章小结知识网络构建知识网络构建热点专题剖析热点专题剖析一、直线方程五种形式的应用直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论例1直