高三导数综合训练资料

1、导 数1 .导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量Ax，那么函数y相应地有增量y=f (x0 + Ax) f (x0),比值竺叫做函数y=f (x)在x0到x0 + Ax之间的 x平均变化率，即jy = f(x0 x)-f(xo)olxlx如果当Axt 0时，包有极限，我们就说函数y=f(x)在点xo处可导，并 x把这个极限叫做f (x)在点x0处的导数，记作f' (x0)或y' I xb。即 f (x0) =lim 竺= lim f (x0 +&x) - f(x0)。 J0 x x-0x说明：(1)函数f (x)在点x0处可导，是指Axt 0时，也有极

2、限。如果 岂不 匚xlx存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数口(2) Ax是自变量x在x0处的改变量，Ax #0时，而Ay是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f (x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量 Ay =f (x0+Ax) - f (x0)；(2)求平均变化率 y = f(x0+Ax)f(x0), 二 x二 x(3)取极限，得导数f' (x0)=她2 .导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f (x)在点p (x0, f (x。)处的切

3、线的斜率是f' (x0)。相应地，切线方程为y-y0=f/ (x0) (x x0)。3 .常见函数的导出公式.(1) (C) =0;(2) (xn= nxn，(nQ);(3) (sin x) = cosx, (cosx) =_sin x ;,、11(4)(In x) ,(loga x)loga e；xx(5)(ex) =ex, (ax) =axlna;(6) f(x) _g(x) = f (x) _g (x)；(7) f(x)g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x), C f(x) =Cf (x);F(8)f(x)二 f (x)g(x) - f (x)g (x)g(x)g2

4、(x)4,形如y=f (x )函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解一一求回代。法则：y/ | x = y / | u , u7 | x例1.求下列函数的导数:(1)y=(2x 2-1)(3x+1)(2)y = x2 sin x (3)y = ln(x .1x2)ex 1 y"(5)x cosxy 二x sin x(6)cos2xy =sin x - cosx4 2例2、用定义求y = 5x,(xW10)在点x=10处的导数。16x -80, x 10例3.求函数y=。的导数。x211例 4. (1)求 y=x(x +十二)的导数；x x(2)求 y =(Vx+1)(；-1)的导数

5、； xx x-(3) 求 y = x-sincos的导数； 222(4)求丫="一的导数；sin x23x - x、x , 5 ?- - x - 9 r 日兴心(5)求丫= _ 的导致口x例5.写出由下列函数复合而成的函数并求其导数。(1) y=cosu,u=1+X2(2) y=lnu, u=lnx5.导数的应用(1)单调区间：一般地，设函数y = f (x)在某个区间可导，如果f'(x)>0,则f(x)为增函数;如果f' (x) < 0 ,则f(x)为减函数；如果在某区间内包有f'(x)=0,则f(x)为常数；(2)极点与极值：曲线在极值点处切线

6、的斜率为 0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左 侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧 为正；(3)最值：一般地，在区间a, b上连续的函数f (x)在a , b上必有最大值与最小值。求函数？(x)在(a, b)内的极值；求函数？(x)在区间端点的值？(a)、？(b)；将函数？ (x)的各极值与？(a)、？(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。32 一.例1.求函数y = x +3x +4x + 5的极大值，极小值，最大值，最小值及单调区 问。例2.求函数y =3x4 -2x3 -9x2 +4的极大值，极小值，最大值，最小值及单调 区间。例3. (

7、2009年广东卷文)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-二,2)B.(0,3) C.(1,4) D.(2,二)例4. (2009安徽卷理)已知函数f(x)在R上满足f(x) = 2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()A. y=2x_1 B. y=x C. y=3x_2 D. y =-2x 3A . B . C . D .例6.曲线y =1和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积x是 0例7.对于R上可导的任意函数f (x),若满足(x-1) f' (x) >0,则必有(A.f (0) +f(2

8、)<2f(1)B. f(0)+f(2)勿(1)Cf (0) +f(2)或f(1)D. f(0)+f(2)>2f(1)例8.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个例9.(海南宁夏文21)(本小题满分12分)已知函数 f (x) = x3-3ax2-9a2x , a3.(1)设a=1,求函数f(x)的极值；1(2)若a a,且当x-匕4a】时，f (x) E12a恒成立，试确定a的取值范围 4例 10、已知曲线 C: y =3x4 -2x3 -9x2

9、 4(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。ix2 x1例1. y=f(x)=在x=1处可导，则 a=b=ax +b x >1一 一x2x M1一 一思路：y = f (x)=)在x = 1处可导，必连续lim f (x) = 1、ax+b x>1i lim*f(x)=a+b "1)=1 a+b = 1v_Ilim 2 x0 - xlim y =a.J0二x例2.已知f(x)在x=a处可导，且f ' (a)=b ,求下列极限:2-f(a 3h) - f (a -h) 、f(a h)-f(a)(1) hm -

10、;(2) hm -.h)02hh >0h分析：在导数定义中，增量 x的形式是多种多样，但不论 x选择哪种形式， y也必须 选择相对应的形式。利用函数f(x)在x = a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：股 f(a+3h)-f(a-h)=iim f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h)h 0 2hh w2hf(a 3h) - f (a) f (a) - f (a - h)lim2hh 力 2h= 3lim f(a 3h)-f liim f(a-h)-f(a) 2 h P 3h2 h 0-h3 .1 .二一f'(a)f'(a)=2

11、b22 himof (a h2) - f (a)导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最 小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。(极值)1 . f(x)=x3-3x2+2 在区间 11,1上的最大值是 2(最值)2_2 .已知函数y =f(x) =x(xc)在x=2处有极大值，则常数c=633 .函数y=143x-x有极小值 1 ,极大值 3题型二：利用与数几何意义求切线方程1,曲线y=4xx3在点(一1，一3)处的切线方程是y = x 242 .若曲

12、线f(x)=x x在P点处的切线平行于直线 3xy=O,则P点的坐标为 (1, 0)43 .若曲线y=x的一条切线l与直线x 4y-8 = 0垂直，则l的方程为4x- y-3=04 .求下列直线的方程：(1)曲线y=x3+x2+1在p(-1,1)处的切线；(2)曲线y=x2过点P(3,5)的切线；解：(1) 丁点P(/，1)在曲线 y=x3 +X2+1 上，y/ =3x2 +2x ，k=y/|x三1=3一2=1所以切线方程为y -1 =x +1 ，Wx-y +2 =。2(2)显然点P (3, 5)不在曲线上，所以可设切点为A(Xo，y0),则y°=X0又函数的导数为 y/ =2x,所

13、以过A(x0，y0)点的切线的斜率为k =y4=2x0,又切线过A(x0，y0)、P(3,5)点，所以有2x0 =也二5<x° =1 或(x0 =5X03，由联立方程组得，/=1Ly°=25,即切点为(1, 1)时，切线斜率k2 =2x° =10 ；所以所求的切线有两条,为k1 =2xo=2;；当切点为(5 25)时，切线斜率为 方程分别为 y -1 =2(x1)或y 25 =10(x5),即y =2x -1 或y =10x 25题型三：利用与数研究函数的单调性，极值、最值321 .已知函数f(x)=x +ax+bx+c,过曲线y = f(x)上的点P(1,

14、 f (1)的切线方程为 y=3x+1(I)若函数f (x)在x = 2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(i)的条件下，求函数 y = f(x)在3,1上的最大值；(出)若函数y = f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围解(1)由 f (x) =x3+ax2+bx+c,求导数得 f'(x) =3x2+2ax+b.过y = f(x)上点p。，”1)的切线方程为：y - f (1) =f (1)(x T),即y -(a +b +c + 1) =(3 +2a +b)(x1).而过y = f(x)上P1，f(1)的切线方程为y = 3x+1.3 +2a +b =3. 2

15、a +b =03即故 ac=-31a c=3y = f (x)在x = -2时有极值，故f '(-2) =0，-4a + b = -123- 2由得 a=2 , b=-4, c=5f(x)=x +2x 4x+5.2 f (x) =3x2 +4x 4 =(3x2)(x+2).2 一，3Wx< 二时，f (x) >0;当2 Ex <时，(x)<0;3一 2当 2 <xE1 时，f (x) >0.二 f(x)极大=f(4=133又f(1)=4，,. f(x)在_3, 1上最大值是 13。-_ 2 一 .(3) y=f(x)在2, 1上单调递增，又 f (x

16、)=3x +2ax + b,由知 2a+b=0。依题意 f (x)在2, 1上恒有 f'(x)>0,即 3x2bx+b 2 0.bx = 1 时，f (x)min = f (1) =3 b b . 0,. b _ 6当 6bx=2日t, f (x)min = f (一2) =12 2b b _0,. b当 6-2 <6 M1 时，f (x)min =12bb 之0,则0 MbM 6.当 b12综上所述，参数b的取值范围是0,也) 322 .已知三次函数f(x)=x +ax +bx+c在x=1和x = 1时取极值，且f(2)=T.(1)求函数y = f(x)的表达式；(2)求

17、函数y = f (x)的单调区间和极值； 若函数g(x)=f(xm)+4m(m>0)在区间m3，n上的值域为-4，16，试求m、n应 满足的条件.解：(1) f (x) =3x2+2ax+b ,由题意得，1，T是3x2 +2ax+b=0的两个根，解得，a=0, b = -3.3再由 f) =Y 可得 c=-2.，f (x) =x -3x2.(2) f (x) =3x2 3=3(x+1)(x1),当 x<1 时，f (x) >0 ；当 x=-1时，f'(x)=0；当1<x<1 时，f (x) <0 ；当 x=1 时，f (x) =0 ；当x>1时

18、，f '(x) A0 .函数f(x)在区间(3，-1上是增函数；在区间-1，1上是减函数；在区间1, +上是增函数.函数f (X)的极大值是f (-1) =0,极小值是f=乂 .(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间 "3，n m上的值域为"4m，164m(m>。).而 f(3=-20 , . 乂 -4m = -20 ,即 m =4 .于是，函数f(x)在区间7,n4上的值域为-20,0.令f(x) =0得x = _1或x=2.由f的单调性知，一1强仙一4 2即3强Un 6综上所述，m

19、、n应满足的条件是：m =4 ,且3制n 6 .3,设函数 f(x)=x(x-a)(x-b).(1)若f(x)的图象与直线5x-y-8 = 0相切，切点横坐标为2,且 f(x)在x=1处取极值，求实数a，b的值；(2)当b=1时，试证明：不论 a取何实数，函数f (x)总有两个不同的极值点.解:(1) f (x)=3x2-2(a+b)x+ab.由题意f (2) =5, f (1) =0 ,代入上式，解之得：a=1, b=1. 当 b=1 时，令f(x)=0得方程 3x22(a+1)x+a = 0.2因A=4(a -a 1) >0，故方程有两个不同实根x1，x2.''不妨设

20、x1 <x2,由f (x)=3(x_x1)(x_x2)可判断f (x)的符号如下：当 x <x1时，f (x) > 0 ；当 x1 < x < x2时，f (x) < Q .当 x > x2时，f (x) > 0因此x1是极大值点，x2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不 同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1.如右图：是f (x)的导函数，f (x)的图象如右图所示，则f (x)的图象只可能是(3 方程2x3 -6x2 7 =0在(0,2)内根的个数为xA、 0 B 、 1 C 、 2题型五：利用单调性、极值、

21、最值情况，求参数取值范围f (x) = -x3 2ax2 -3a2x b,0 : a ：1.1.设函数3(1)求函数f(x) 的单调区间、极值.(2)若当 xWa+1，a+2时，恒有 | f'(x)Fa，试确定a的取值范围.解：(1)f (x) = -x2 +4ax -3a2 = -(x -3a)(xa),令 f '(x) = 0得 x- =a,x2 = 3a列表如下：x(-°°, a)a(a, 3a)3a(3a, +°0)f (x)-0+0-f(x)u极小U极大uf (x)在(a, 3a)上单调递增，在(-8, a)和(3a, +oo)上单调递减

22、4 3x = a时，f极小二13a , x = 3a时，f极小(x)=b22_(2) f (x) = x +4ax -3a0 < a < 1,对称轴 x = 2a<a + 1,. f (x)在a+1 , a+2上单调递减- fMax - -(a 1)依题|f(x)但a =222+ 4a(a+1)3a =2a13口 =(a + 2)十 4a(a+2)3a =4a 4| fMax | - a | fmin | a即 |2a1|£a,|4a4|Wa4,a -1解得5,又0 : a ： 1，a的取值范围是41)2.已知函数f (x)=x3+ ax2 + bx+ c在x =

23、3与x=i时都取得极值(1)求a、b的值与函数f (x)的单调区间(2)若对x 1,2，不等式f (x)解:(1) f (x) = x3+ax2 + bx+c, fc2恒成立，求c的取值范围。(x) = 3x2 + 2ax+ b2123)=94 ,1a+b=0-3, f (1)=3+2a+b=0得a=2 , b= 2x2(一 ,3)232(3,1)1(1, +)f(x)十0一0十f (x)极大值极小值(x) =3x2 x2= (3x + 2) (x-1),函数f (x)的单调区间如下表:所以函数f (x)的递增区间是(一3 )与(1, +),递减区间是(一22(2) f (x) = x3 2

24、x2 2x + c, x一1, 2，当 x = - 3 时，f (x) = 27 +c为极大值，而f (2) = 2+c,则f (2) = 2+c为最大值。要使 f (x)c2 (x 一 1, 2)恒成立，只需 c2 f(2)=2+c,解得 c 1 或 c2题型六：利用导数研究方程的根1.已知平面向量 a=(J3,i). b =( 2 , 2).IIIIIIII . 一 w * w(1)若存在不同时为零的实数k和t ,使x = a+(t2 3) b , y =-k a +t b , x ± y ,试求函数关系式k=f；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t) k=0的解的情况.

25、 解：(1) x £ y ? x y =o 即a+(t2-3) b (-k a+t b)=o.2 d22整理后得-k a +t-k(t2-3)a b+(t2-3) b=0,1 d22a b=0, a =4, b =1, .上式化为 -4k+t(t2-3)=0,即 k= 4 t(t2-3)11(2)讨论方程4 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线 f(t)=4 t(t2-3)与直线y=k的交点个数.33于是 f' (t)=4 (t2-1)=4 (t+1)(t-1).令f' (t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f' (t)、f(t)的变化情

26、况如下表:t(- oo , -1)-1(-1,1)1(1,+ 8)f' (t)+0一0+F(t)极大值极小值当t= 1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2 .1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-21函数 他)=4 t(t2-3)的图象如图132 1所示,可观察出：11当k> 2或k< 2时，方程f(t) k=0有且只有一解;11(2)当k= 2或k= 2时，方程f(t) k=0有两解;(3)当一2 v k< 2时，方程f(t) k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合1,设a10,函数f(x)=x3_ax在1,-)上是单调函数.(1)求实数a的取值范

27、围；(2)设 x0 >1 , f (x) >1,且 f ( f(Xo) = X。，求证：f (x0) =x0 .解：(1 ) y = f (x) =3x -a,若f (x)在1,+/)上是单调递减函数，则须 y'<0,即a >3x2，这样的实数a不存在.故f(x)在1,)上不可能是单调递减函数.若f (x)在1，收)上是单调递增函数，则aw 3x2,由于xw 1*)故3x2占3.从而0<旧3.(2)方法1、可知f(x)在1，y)上只能为单调增函数.若1 w x0 < f(x。)，则 f(x。)< f (f(x。)=X。矛盾，若 1w f(x。)

28、<x。,则 f(f(x。)< f (x。)，即 x。< f(x。)矛 盾，故只有f(X。)=x。成立.33方法 2：设 f(X0)=u，则 f(u)=x。，.x。aX0=u，u au=x。，两式相减得 (x3 u3) a(x。u) =u x。二(x。-u)(x(2 +x°u +u2 +1 a) =。” Xo.u >1 J. X2 +x0u +u2 之3,又。< a E3 J. x； +x0u +u2 +1 a A。f (x) = (x2 3)( X a)2.已知a为实数，函数2(1)若函数f(x) 的图象上有与X轴平行的切线，求 a的取值范围(2)若f&

29、#39;(T)=。，(I)求函数f(x)的单调区间| f (为)T (x2)卜:卫(n)证明对任意的x1、x2(T，。)，不等式16恒成立Q o 3393,f(x): x ax - x a f'(x) = 3x 2ax -解：22,2函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，二f'(x)=。有实数解2c 3 c.-： =4a -4 3 0 a 2,9>-2 ,所以a的取值范围是,一3 依 U|&L)7 f'(-1)=03-2a - =029.2 931a = _ . f'(x) =3x2x =3(x)(x 1)4222x由 f (x) A0,x<

30、1 或12；1f '(x) : 0,-1 : x :由21 （-二，-1）,（ -一，二）二f（x）的单调递增区间是2；单调减区间为f (-D = § 易知f (x)的最大值为8 , f (x)的极小值为149f("，又 f(0)w f （x）在-1，0上的最大值M彳，最小值49m 二16516.27 49二对任意x1, x2 = （ 一1,0）,恒有1f(x1)-f(x2)r：M-m=7-题型八：与数在实际中的应2.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度 x （千133yx - - x 8（0 ：二 x 三 120）.米/小时）的函数解析式可以表示为：12800080已知甲、乙两地相距 100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当x=40时，汽车