逻辑代数基础

1、第 一 章 逻辑代数基础教学要求：理解数制与编码，掌握数制间的转换；熟练掌握基本定理和公式并能导出常用公式；理解真值表、逻辑代数式、逻辑图和卡诺图表示逻辑函数；掌握公式化简法、卡诺图化简法简化逻辑函数。教学重点：数制与编码。逻辑函数及其表示。逻辑函数的化简。1.1 概述布尔：英国数学家，1941 年提出变量“ 0 ” 和 “ 1 ” 代表不同状态。本章主要介绍逻辑代数的基本运算、基本定律和基本运算规则，然后介绍逻辑函数的表示方法及逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，而不同于普通代数。1.2 逻辑函数及其表示法1 . 2 . 1 基本逻辑运算所有条例都具备事

2、件才发生1 、与运算开关：“1”闭合，“ 0”断开;灯：“1”亮，“0”灭真值表：把输入所有可能的组合与输出取值对应列成表。逻辑表达式：L=Kl*K2 （逻辑乘）逻辑符号:L原有符号:讨论与逻辑运算的逻辑口诀逻辑功能口决：有“ 0”出“ 0” ，2、或运算至少有一个条件具备,事件就会发生。（逻辑加）Ki应逻辑符号:>1讨论或逻辑运算的逻辑口诀 逻辑功能口决：有 “1”出“1”全 3、非运算：一结果与条件相反逻辑表达逻辑符号:讨论非逻辑运算的逻辑口诀逻辑表达式：YAB2,或非>1qY ic=>逻辑表达式工YA+B有打却出*0'：全竺4出*1&也>11.2.

3、2几种导出的逻辑运算、与非运算、或非运算、与或非运算有“0 ”出向，；全“1 ”出川0逻辑表达式1YAB + CD、异或运算和同或运算1.异或£如在计算机中用于判断Y =>逻辑表达式,1二4百十工二H82,同或Y a=>相同为“0 '：不同为"1ABY逻辑表达式：丫 = 4豆+工5二月5相同为“1”，不同为“ 01.3逻辑代数的基本定律和规则1.3.1 逻辑代数的基本公式一、逻辑常量运算公式表1.3.1逻辑常量运算公式局运Ji1喊运宣1等运赛0»0-0D + 0= 00»1- 00 + 1=12=口1 *0=01 +010m 111=

4、】1+1= 1二逻辑变量、常量运算公式表1.3.2逻辑变量、常量运算公式身送就送建聿运*A -0=0 A*1=A A - A=A A , A = 0A + 0- A A + l= 1 A + A= AA + A = l,nA = A变量A的取值只能为0或为1 ,分别代入验证1.3.2 逻辑代数的基本定律 逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。这些 定律和普通代数 相似，有其独特性。、与普通代数相似的定律表1.3.3交换律 结合律分配律A B = B + AA , B =B - A鳍合律(A + B)+C="f8 + C)A , B , 6= (A B

5、) , 6= A * (B A(B+C)= AB + ACA + BC=(A +BH(A+C)吸收律 吸收律可以利用基本公式推导出来，是逻辑函数化简中常用的基本定律 表1.3.4吸收律吸收建证明 AB + AB = A A +AB= A A + AB=A + B AB4AC + BC AB + ACAB + A§ - A (B+B)-A U- A h + AB= A (1 + B)= A - 1 = A A-*AB= (A + AJ(A + B)= 1 (A+B)=A + B AB + AC + BC(A + A) =AB+AC + ABC + ABC s AB(! +C) + AC

6、(1 +B> =AB+AC与学生一同验证以上四式。(1.3.1)第式的推广：皿+五C + BCDE=AB+ AC由表1.3.4 可知，利用吸收律化简逻辑函数时，某些项或因子在化简中被吸收掉，使 逻辑函数式变得更简单。三、摩根定律摩根定律又称为反覆律,它弯下面两种形式鼠豆=A + §A+B = A * B与学生一同验证以上二或用其值表表 1.3.5ABA+BA-B0011010010001100表 1.3.6户E = A * E的证明1ABA +B000110111 1 1 01 11 01.3.3 逻辑代数的三个重要规则、代入规则 对于任一个含有变量A的逻辑等式，可以将等式两边

7、的所有变量 A用同一个逻辑函数 替代，替代后等 式仍然成立。这个规则称为代入规则。代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的 二值性保证的。己知£§=区+心试证明用BC替代B后，等式仍然成立. 这个例子证明了摩根定律的一个推广式.二,反演规则尸口 一 1U 4 1即求Y <- = +< A - a如求y二月+3+至+Q+互 求Q则：?二15c万总可用于证明同或等于异或.若既函数格等,其反演式也相弟.（可用于变换推导公式）.三.对偶规则对逻辑函数式匕。三: IU <1若两函数相等，其对偶式也相等。（可用于变换推导公式）。讨论三个规则的正确性。1.4.1逻辑函

8、数及其表示法一、逻辑函数的建立 举例子说明建立（抽象）逻辑函数的方法，加深对逻辑函数概念 的理解。例1.4.1两个单刀双掷开关A和B分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯, 上楼后关灯；反之下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试建立其逻辑式。例1.4.1真值表ABY000110111 001二、逻辑函数的表示方法1 真值表逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有n 个变量时，共有个不同的变量取值组合。在列真值表时，变量取值的组合一般按n 位二进制数递增的方式列出。用真值表表示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看出逻辑函数值和变量取值之间的关系。分析逻辑式与逻辑图之间的相互转换以及如何由逻辑式或

9、逻辑图列真值表。2 逻辑函数式写标准与- 或逻辑式的方法是：（ l ）把任意一组变量取值中的1 代以原变量，0 代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如 A 、 B 、 C 三个变量的取值为110 时，则代换后得到的变量与组合为A B 。（ 2 ）把逻辑函数值为1 所对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与- 或逻辑式。3 逻辑图逻辑图是用基本逻辑门和复合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。1.5 逻辑涵数的公式化简法1. 5 . 1 化简的意义与标准一、化简逻辑函数的意义根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和

10、所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。这对于节省元器件，优化生产工艺，降 低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力是非常重要的。、逻辑函数式的几种常见形式和变换常见的逻辑式主要有5种形式，如逻辑式 Y二AB+百C可表示为常见的逻辑式主要有5种形式，如逻辑式丫=48+口C可表示为Yj =AB+ BCY2= (A+b)(B+C)丫3= AB SCY4= A+g + B+CYj= AB+BC与一或表达式 或-与表达式与非-与非表达式 或非一或非表达式 与或非表达式利用逻辑代数的基本定律,可以实现上述五种逻辑函数式之间的变族,现将Y1的与所誉送式爻揍丸Y2的或-与表达式说明如下. 利用摩根定律

11、将R式变换为Y2式Y1 = AB+ 百 Cy!=(久+ )(B+G)=AB4- A c + b C=AB4- B 5利用摩根定律利用吸收律Yl = A B + BC=(Ai B) (B+C) 所以Yl = Y2利用摩根定律三、逻辑函数的最简与-或式1 .5.2逻辑函数的代数化简法并项法 运用基本公式A+A=l,将两项合并为一项,同时消去一个变量.如1. Ab C +Ab c = Ab (C + c) = Ab2. A (BC+ B c) +A (Be + B C ) = A (bc+ec ) +A (Be + bC) = A二、吸收法运用吸收建A +AB =A和AB + %C +BC =AB

12、+ &C，清去多余的与项.如1. AB+AB (E + F) = AB2. ABC+ AD+ CD + BD =ABC+(互 + G)D +BD= ABC+ acD + BD=ABC+ ACD=ABC+ AD+ CD三、消去法运用吸收律A»AB=A+B，消去多余因子.如1. AB4- AC+bC = AB + (a + b)C=AB+ ABC= AB + C2. AB + AB + ABCD+ A BCD =AB + AB+(AB+ A B)CD=Ab + aB+ ab+ab CD=Ab + aB + CD四.配项法迸行曹项再化简。如1. AB+bc+AcD2. ABd +

13、ABC * AB在不能直接运用公或、定律徒簿时,可通过乘"1A； =1或加入零项A * A =。= AB+bc+AcD(B+e)=AB + bc+ABcD + AbcD=AB (1+ CD)+ B C(1 + AD)=AB+ B C=ABC + ABC * AB + AB AB=AB (C + AB)+ ABC * AB=AB * ABC + ABC * AB=ABC (AB + AB)=ABC = A + B + C在实际化简逻辑函数时，需要灵活运用上述几种方法，才能得到最简式1.6逻辑函数的卡诺图化简法1.6. 1最小项与卡诺图一、最小项的定义和性质1 .最小项的定义特点：每项都

14、有n个变量每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次共有2n个最小项以三变量为例】 卡诺图A BC1最小项|编号表不000ABCmo0 01ABCmi0 10ABCg0 11ABC幽1 00ABC叫1 01ABC迎1 10ABCg1 11ABCm72 .最小项的基本性质a .只有一组取值使之为 “ 1b .任二最小项乘积与 “ 0 ”c .所的最小项之和为 “1”二、表示最小项的卡诺图1 .相邻最小项 逻辑相邻项只有一个变量取值不同其余变量均相同的最小项 两个相邻最小项可以相加合并为一项，同时消去互反变量，合并结果为相同变量如: ABC+ABC = AB （C+CJ = AB2 .最小项的卡诺图表示

15、（0. 口个变量一一2n个小方块（即最小项）00m（）mimm瑕01gme10miamumi；nii411meITlnB 01AX 00011011°皿mi| 0 gmJm3g1唯i gni7fW J1 “（2） .逻辑相邻则几何位置亦相邻|对于五变量及以上的卡诺图，由于很复杂，在逻辑函数的化简中很少使用1.6. 2用卡诺图表示逻辑函数 一、逻辑函数的标准与-或式如一个或逻辑式中的每一个与项都是最小项，则该逻辑式叫做标准与-或式，又称为最小项表达式，并且标准与-或式是唯一的。二、用卡诺图表示逻辑函数1 .最小项表达式卡诺图例1.6. 2试画出例1.5.1 中的标准与-或式的卡诺图。解

16、：(1 )画出4变量最小项卡诺图，如图2. 5. 4 所示。啊.出、对应的方格(2)填卡诺图.把逻辑式中的5个最小项啊 中填入1,其余不填.图2.5.400011011CDAd 、 0001 w112 .真值表卡诺图 逻辑函数真值表和逻辑函数的标准与 -或式是 一一对应的关系，所以可以直接根据 真值表填卡诺图。3 . 一般表达式样卡诺图(1)、化为最小项表达式(2)、把卡诺图中含有某个与项各变量的方格均填入1 ,直到填完逻辑式的全部与项。1.6.3用卡诺图化简逻辑函数步骤：画卡诺图正确圈组写最简与或表达式1.7.1 具有无关项的逻辑函数的化简、逻辑函数中的无关项无羊项 （任意项 对某些输入项，输出是任意的'约束项逻辑变量之间一定约束关系，使它们的取值不可能出现用“X" （或“d” ）表示利用无关项化简原则：、无关项即可看作 “1”也可看作 “ 0” o、卡诺图中，圈组内的“X”视为“1” ，圈组外的视为 “ 0” 。例1.7.1 为8421BCD码，当其代表的十进制数 >5时，输出为 “1” ，求Y的最 简表达式。（用于间断输入是否大于5 ） 解：先列真值表，再画卡诺图，一00001 Pr_2<J寸XX ,11XXB o 1 o 1Art 1- 1«Y ooooolllllX X X X X X-M11BIIgeJ.L PL