解圆锥曲线问题常用的八种方法和七种常规题型

1、完美WORD格式解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法(点参数、 K参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型(1)中点弦问题(2)焦点三角形问题(3)直线与圆锥曲线位置关系问题(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题(5)求曲线的方程问题1 .曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。2 .曲线的形状未知-求轨迹方程(6)存在两点关于直线对称问题(7)两线段垂直问题常用的八种方法1 、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中，r1+2=2a。第二定义中，red1 r 2=e

2、d2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中，r1 -r2| = 2a,当口2时，注意门的最小值为c-a :第二定义中，r1=ed1,2=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与"点到准 线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不 要忽视判别式的作用。3、设而不求

3、法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(Xi,yi),B(x 2,y 2),弦AB中点为M(xo,y 0),将点A B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不 求”法，具体有：22(1) J + I = 1(a A b > 0)与直线相交于 A、B,设弦 AB中点为 M(X0,y 0),则有a2 b2笠+ yk=0。(其中K是直线AB的斜率) a b22(2) 与吟=1(a >0,b &g

4、t;0)与直线l相交于 A B,设弦AB中点为M(X0,y0)则有 a b空咚k =0(其中K是直线AB的斜率) a2 b2(3)y2=2px (p>0)与直线l相交于 A B设弦AB中点为M(x0,y。)，则有2y0k=2p,即yok=p.(其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y = kx+b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2+bx + c = 0的方程，方程的两根设为 xA，xB,判别J: :V A 式为,则|AB|=/1+k2 |xA -xB|= V1 +k2 -一，若直接用结论，能减少配方、开 |a|方等运算过

5、程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如"2x+y”,令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令Jx2 +y2 =d，则d表示点P (x, y)到原点的距离；又如“ 上手,令_y二3=k,则k x 2 x 2表示点P (x、y)与点A (-2, 3)这两点连线的斜率6、参数法(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点” )，以此点为参

6、数，依次求出其他 相关量，再列式求解。如 x轴上一动点P,常设P (t, 0);直线x-2y+1=0上一动点P。除设P (xi,yi)外，也可直接设 P (2yi-1,y 1)(2)斜率为参数当直线过某一定点 P(x0,y0)时，常设此直线为 y-y0=k(x-x 0),即以k为参数，再按命题 要求依次列式求解等。(3)角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求(或求证)目标Q',方法1是将条件P1代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件P1, 方法3

7、可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 J2 )与到准线的距离和最小，则点P的坐标为(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标 为。分析：(1) A在抛物线外，如图，连 PF,则PH = PF ,因而易发现，当 A P、F三点共线时，距离和最小。专业知识分享完美WORD格式2 2) B在抛物线内，如图，作 QRL l交于R,则当B Q R三点共线时，距离和最

8、小。解：(1) (2, 22)连PF,当A、P、F三点共线时，AP +|PH =|AP + PF最小，此时 AF的方程为442 02y =-(x1)即 y=2 42 (x-1),代入 y =4x 得 P(2,2 J2 ),(汪：另一交点为3 -1(1,-<12 ),它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)21 ,(1,1)4过Q作QR! l交于R,当®。R三点共线时，|BQ+QF = BQ +QR最小，此时 Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=1 , Q(l,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细 体会。22例2、F是椭圆学一+匕=

9、1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆F4yx43上一动点。(1) PA +|PF的最小值为(2) |PA +2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 PF'或准线作出来考虑问题。解：(1) 4-痣设另一焦点为F',则F'(-1,0)连AF',PF'PA +PF =|PA +2a PF ' =2a(PF' 一 PA)之 2a AF' = 4 V5当P是F 'A的延长线与椭圆的交点时，PA十PF取得最小值为4- V5。1(2)作出右准线 l ,作 PHL l 父于 H,因 a =4, b =3

10、, c =1, a=2 , c=1 , e=,21PF| =1|PH，即2 PF = PHPA +2PF| =|PA + PH专ik知识分享完美WORD格式专业知识分享2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为a-_xA = 4_1=3Ac例3、动圆M与圆C：(x+1) 2+y2=36内切，与圆G：(x-1) 2+y2=4外切，求圆心 M的 轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M C共线，日D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的MC = MD )。C(?M,DJ1A 0B 5解：如图，MC = MDAC - MA

11、= MB - DB 即6 - MA =|MB -2MA + MB =8(*)2，点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4, c=1 , b2=15轨迹方程为 162=115点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出了(x+1)2 +y2 +J(x1)2 +y2 = 4,再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐!例 4、4ABC中，B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3 sinA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以 2R (R为外接圆半径)可转化为边长的关系。解：s

12、inC-sinB= sinA 2RsinC-2RsinB= - 2RsinA553AB - AC =3 BC5即 AB AC =6(*).点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)-2a=6, 2c=10a=3, c=5 , b=422所求轨迹方程为 人上 =1(x>3)916点评：要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)完美WORD格式例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M求点M到x轴的最 短距离。分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设 A(xi,xij, B(X2, Xj,又设AB中点为M(xoyo) 用弦长公式及中点公式得出y0关

13、于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(xi, xi2) , B(x2, x22) , AB中点 M(xo, yo)1(为-x2)2 , (x2 -x；)2 =9 则x1 +x2 =2x02 ,2-xi x2 = 2 yo由得(x i-x 2) 21+(x i+x2)2=9即(x i+x2)2-4x ix2 i+(x i+x2)2=9由、得 2xix2=(2x o) 2-2y o=4xo2-2y o代入得(2x 0) 2-(8x 02-4y 0) 1+(2x 0) 2=91 ,92 4y

14、76; -4x0,1 4xO24y0 =4x0922 - (4x04x0-1专业知识分享A2MR- 1= 5,y0 - 5425.2 5当 4x0+1=3 即 xO=± 时，(y0)min = 一此时 M (士 ,)242 4法二：如图,2 MM 2 = AA2| +|BB2| = |AF| + |BF|AB|=3A：Ai0m完美WORD格式专业知识分享3MM 2 >2即MM i.5， ，一，一MM 1之一，当AB经过焦点F时取得最小值。4 5.M到x轴的最短距离为54点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消xi, X2,从而形成y0关于X0的函数，这是一种“设而不求”的方

15、法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。、韦达定理法【典型例题】22例6、已知椭圆 十一=1(2<m<5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线m m 7从左到右依次交于 A B、C、D设f(m)= | AB - CD| , (1)求f(m), (2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不

16、知如何运算，因 A B来源于“不同系统” ，A 在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁， 将这些线段“投 影”到x轴上，立即可得防f (m) = (xb -xa)<2 - (xd -xc)<2二2 (Xb Xc ) - (Xa Xd )= &(Xb +Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。22. x y . .2解：(1)椭圆+= 1中，a =m,m m 7' 2 (xb - xa) - (xd - Xc )b2=m-1, c2=1,左焦点 Fi(-1,0)则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my2-m(m-1)=

17、0得(m-1)x 2+m(x+1) 2-m2+m=0(2m-1)x 2+2mx+2mm=0设 B(xi,yi),C(x 2,y 2),则 xi+x2=- 2m (2 < m < 5)2m -1f(m) =|AB -CD| = V2|(xb -xa)-(xd xc)=J2|(x1 +xz)-(xa +xc) =。2区 +x2 = <2 2m1 112m-1(2) f (m)-2m -1 1-1、二.22 (1 )2m -12m -1，当m=5时,f (m)min10 .29当m=2时,.4.2f ( m) max -3点评：此题因最终需求Xb +Xc,而BC斜率已知为1,故可也

18、用“点差法”设 BC中点Xo. Xo 1-l m m -12m2m -1为M(X0,y0),通过将 B C坐标代入作差，得 风+y0 k = 0,将y°=X0+1, k=1代入得 m m -11- Xo =,可见 Xb + Xc2m -1当然，解本题的关键在于对f (m) =| AB - CD |的认识，通过线段在 x轴的“投影”发现f (m) =|xb +xc是解此题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

19、若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1, y()> B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。1 .以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆 土十匕=1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线164的方程。解：设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2)；M (2,1)为 AB 的中点 ，X+X2=4y+y2=222. _22. _,又 A、B 两点在椭圆上，则 x1 +4y1 =16, x2 +4y2 =16 2

20、222两式相减得(x1 -x2 ) 4( y1 y2 ) = 0于是(x “2)(x1 -x2) 4(% y2)(y1 72) =0y1 一丫2 二 -x2 二 4 二 1x1 -x2 -_4(Y1 y2) _4_2 -_211 ,_即kAB=，故所求直线的方程为 y1 = (x2),即x + 2y4 = 0。222例2、已知双曲线x2 -y- =1 ,经过点M (1,1)能否作一条直线l ,使l与双曲线交于 A、B ,且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l ,求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中

21、点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB ,且A(x1,y1)、B(x2,y2)y V2 =222 y1.x1 一 一 = 1 ,222 y2.x2 - = 12y- 2X -x2两式相减，得1函 x2)(x1一x?) -2(y1y2)(y1 一y2) = 0kAB故直线 AB: y -1 =2(x-1)y -1 =2(x -1)y2消去 y ,得 2x2 4x+3 = 0=12 三(一4)2 -4 2 3 =-8 :二 0这说明直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看

22、到中点弦问题中判断点的 M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点 M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹221例3、已知椭圆 人+'=1的一条弦的斜率为 3,它与直线x=的交点恰为这条弦的中点 75 252解：设弦端点P（x1,y1）、Q（x2,y2）, 弦PQ的中点M（X0, y0）,则1x0 =2M ,求点M的坐标。22"至=17525即 2y。(必 - y2) 3(x1 -x?) =0yi 一 丫2xx22y0x1 + X2 = 2Xo 1 ,22又 y_ + x_=1, 752

23、5两式相减得 25(y1y2)(y1 - y2) 75(x1x2 )(x1 - x2) = 0k=32=3x1 一 x2一 =32y°加 1,即 y0 = -2一，11、二点M的坐标为（，一）。2222V x例4、已知椭圆 +=1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹万程。75 25解：设弦端点P（x1,y1）、Q(x2,y2),弦 PQ 的中点 M(x, y),则x1 +x2 = 2x ,y1 V2 =2y22互丝=1752522又叫+当_=1,7525两式相减得 25(y1y2)(y1 - y2) 75(x1x2)(x1 - x2) = 0即 y(y1 y2)+3x(x1 x2) = 0

24、,即 y1y2 = -3xk = y1 - y2 = 3X1 - X23xx + y = 0由y2 x2 得+ =17525Q(5235 3)2_3x=3,即 x + y =0y丁点M在椭圆内:它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x y = 0(-5. 3一 ：x :二222例1已知椭圆 土十y2 =1 ,求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程 2解 设弦的两个端点分别为 P(x1, y1 ),Q(x2,y2 ), PQ的中点为M (x, y ).则 x- +y12 =1 , (1) x2- + y22 =1 , (2)22(1)-(2 " y+(y12 722)=0,中+ - (y1 72)

25、 = 0.22 K f2又 x1 + x2 = 2x, y1 + y2 = 2y, y2 = 2,x+4y=0.K - x2丫弦中点轨迹在已知椭圆内，二所求弦中点的轨迹方程为 x +4y =0 (在已知椭圆内)2例2 直线l:axy (a+5) = 0 (a是参数)与抛物线 f : y = (x+1)的相交弦是AB ,则弦AB的中点轨迹方程是解 设 A(x1,y1 > B(x2,y2), AB 中点 M (x, y ),则 x1 + x2 = 2x.y 5l :a(x1 )(y+5 )=0,. l 过定点 N(1,5)，: kAB = kMN =-. x -1又 y1 =(x1+1 2,

26、(1)y2 =仇+1 f ,(2)22(1)(2 得：y1一丫2=(x1+1) (x2 +1) =(x1x? Xx1+x2+2 ),kAB = y-y2 = x1x22.x1 -x2-V，5rr2是 y=2x +2,即 y =2x -7.x -1弦中点轨迹在已知抛物线内，二所求弦中点的轨迹方程为 y = 2x2 - 7 (在已知抛物 线内).3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,J50)的椭圆被直线l:y = 3x-2截得的弦的中点的，1横坐标为1,求椭圆的方程。222解：设椭圆的方程为 冬十与=1,则a2b2=50 a b设弦端点 P(xi，y)、Q(X2,

27、y2),弦 PQ 的中点 M(%,yo),则11x0，y0- 3x0 2 . rxix2- 2x0 1, yiy2 2y0 1222222又+A22 ,两式相减得 b (y1 y2)(y1 - y2) a (x1 x2)(x1 -x2) =0即-b2(y1 -丫2)a2(x1 -x?) =0yi -y2x1 一 x22 a b72a2 =3 一b2联立解得a2 =75 ,b2 =252=1252-,，、一 y二所求椭圆的方程是75例3已知 MBC的三个顶点都在抛物线 y2 =32x上，其中A(2,8 ),且 MBC的重心G是抛物线的焦点，求直线 BC的方程.解 由已知抛物线方程得 G(8,0

28、).设BC的中点为M(x0,y0),则A G、M三点共2 2x0 _8线，且AG = 2 GM，-G分1M所成比为2 ,于是J 1+2 !二012lx =11解得 0，, M (11,-4)yo = -4设 B(X，y1),C(X2，y2 ),则必 +丫2 = -8.22又 y = 32x1, (1) y2 = 32x2, (2),-22“.% - y23232,(1)一(2 X导：y1 - y2 32( xl 一 X2 ),. kBC 4.X1 一%y1 y28二 BC 所在直线方程为 y+4 = Y(x11),即 4x + y40=0. ,冗山=1 (a A b A 0 )的一条准线方程是

29、x = 1 ,有一条倾斜角为 -的,求椭圆方程.1 1直线交椭圆于 A、B两点，若AB的中点为C I - ,2,4解设A,治卜8区，丫2 ),则 X +x21一 1,丫1*丫2 - 二，且22 X -2 a2+ 刍=1, (1)b2-2a2V2+勺=1 ,b(D-(2 居:22X一义22a222. 2.y1y2.y1y2_ b (x1x2 ) _ b 7b2'x1 -x2a2 Y1y2a2122必y2 _ 2b一 _2"，x1 一 x2a22二 a =2b , (3)2-a .2一又=1,工a = c , (4)而c2. 22,、a =b +c , (5)2121由(3),

30、(4),可得 a = 一，b =, 242x所求椭圆方程为122=1.144.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题22例6、已知椭圆x_+匕=1 ,试确定的m取值范围，使得对于直线 y=4x + m,椭圆上总43有不同的两点关于该直线对称。解：设H区) , P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y=4x + m的对称两点，P(x,y)为弦PP22 一 222的中点，则 3x1 +4y1 =12, 3x2 +4y2 =122222两式相减得,3(x12 -x22) 4(y12 一 y22)二 0即 3(xi x2)(x1)4(yi y2)(y - y2)=0y1 一 y21 x1 + x2 = 2x ,

31、 y1 + y2 = 2y,=x1 - x24:y =3x这就是弦PH中点P轨迹方程。它与直线y =4x+m的交点必须在椭圆内y =3xx =mc 3 c联立y，得，则必须满足y2 <3 3 x2,j=4x + m、y =-3m42 132.13-：m :13132.32即(3m) <3 - m ,解得45. 求直线的斜率例5已知椭圆259=1上不同的三点 A xi,Yi ,BF(4,0 )的距离成等差数列.(1)求证：为+x2 =8； (2)若线段AC的垂直平分线与 x轴的交点为T ,求直线BT的斜率k.(1)证略.(2)解'：x1 +x2 =8 ,J.设线段 AC 的中

32、点为 D(4,y0).又A、C在椭圆上,22x2y2,(1) + =1 , (2)25922y1-y29(1)-(2 碍:22x1- x225y1 y2x1 -'X29 为 X29 83625 yi y225 2y025 yO25y025y0一直线DT的斜率kDT =，二直线DT的万程为y - y0 =(x43636人664令 y =0,得 x = ？4, 259-0，二直线BT的斜率k = -54-64256.确定参数的范围例6若抛物线C : y2 =x上存在不同的两点关于直线 l : y = m(x-3)对称，求实数m的取值范围解当m = 0时，显然满足当m00时，设抛物线C上关于

33、直线l:y = m(x-3)对称的两点分别为22P(xi，Yi ' Q(x2,y2 ),且 PQ 的中点为 M (x0,y0 ),则 y1 =x，(1) V2 =x2,(2)22.y1 一 丫2(1)(2 卿：y1 - y2 = x1 - x2 ,二 kPQ = x1 - x21yy212y0p1m又 kPQ=,二 yo =-m2丫 中点 M (x0 ,y0 底直线 l : y = m(x 3)上，y0= m(% 3),于xo;中点在抛物线y2 =x区域内cr m'25F FM y02 < x0,即一见 <-,解得-Tw < m< Vw.I 2 J 2综

34、上可知，所求实数 m的取值范围是(_屈,而).7 .证明定值问题22例7已知AB是椭圆 与+ y7=1(a)bA0 )不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的 a b中点，O为椭圆的中心.求证：直线 AB和直线OP的斜率之积是定值证明设 A(x1,y1 ), B(x2,y2 )且“ #x2,y1 1y2x1 _ X22X12 X2(1) -2- a2-X2-2 a2y+ 7 =1 , (2)b222V - y2 2b (Xi+X2 ). k2ayiy2AByi ry2X1 - X2 2b XiX2-2ayiy2b2ab2 (定值). a8 .其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。例9,

35、过抛物线y2 =2pX(p>0)上一定点P ( X0, yo) ( yoQ),作两条直线分别交抛物 线于 A ( Xi, Yi), B ( X2, y2).(i)求该抛物线上纵坐标为p的点到其焦点F的距离；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 Vi *y2的值,并证明直线 AB的斜率 V。是非零常数.- y2 - yiAB22y2yiiy2yi,yi - yokPA=22y i - yoyiyoy2 -y。22y2 一 y。iy2yo解 略(2):设 A (yi2,yi) ,B(y22,y2),则由题意，kAB=-k AC,iyi yoiy2 yo，则 Yi + 丫2 = -2

36、yo则：kAB=-L为定值。2yo例io、抛物线方程y2 =p(X+i)(p >o),直线x+y =1与*轴的交点在抛物线准线的右边。(i)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OAL OB求p关于t的函数f(t)的表达式。(i)证明：抛物线的准线为i： x=iR4由直线x+y=t与x轴的交点(t, o)在准线右边，得t>i P,而4t + p + 4o4x -y =t 、22由 W 2消去 y得 x _(2t+p)x+(t p)=0y =P(x 1)2, . 2、一 ,-： =(2t p) -4(t p) =p(4t p 4) 0故直线与抛物线总

37、有两个交点。(2)解：设点 A(xi, yi)，点 B(x2, y2)2x1x2 =2tp, x1x2 二t -pQOA-OB. kcAkoB =T贝U x1x2y1y2 =0又 y1y2 =(t xi)(t -x2),2xx2yy2 =t -(t 2)p =0, t2.p =f(t)=t 2又p>0, 4t +p+4 >0得函数f(t)的定义域是(2 0)=(0, +8)【同步练习】1、已知：Fi, F2是双曲线yJ =1的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点 Aa2 b2B,若 AB =m, AB桎的周长为()A 4a B 、4a+m C 、4a+2m D 、4a-m2 、

38、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是( )A y2=-16x B 、y2=-32xC 、y2=16xD 、y2=32x3、已知 ABC的三边AB BG AC的长依次成等差数列，且 AB A AC ,点B、C的坐标分另1J为(-1 , 0) , (1 , 0),则顶点A的轨迹方程是()22A匕工=14322=1(x 0)4322C ± L =1(x :二 0) D4322殳+匕=1(x >0 且 y /0)434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1 , 0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是)A (x)2 y2=9(x； -1) B 24

39、21 29 ,C x (y - ) = (x；-1) D241 229(x -) y =9(x= -1)2 421 29x (y ) =，(x= -1)245、22已知双曲线 上 _匕=1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是9166、抛物线y=2x2截一组余率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2 , 0),则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y 2=1的交点个数只有一个，则 k=2210、设点P是椭圆个一+匕=1上的动点，F1, F2是椭圆的两个焦点

40、，求 sin /F1PE的259最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于 A B两点，且AB中点M为(-2 ,1) , AB =4，3 , 求直线l的方程和椭圆方程。2x12、已知直线l和双曲线 2 a2y9 =1(a > 0,b > 0)及其渐近线的交点从左到右依次为b2A B、C Do 求证：AB = CD。参考答案1 、CAF2 AF1 = 2a, BF2 BF1 = 2a , AF2 +|BF2 AB=4a, AF2 + BF2 +|AB=4a + 2m,选 C2、C 点P至ij F与至

41、iJ x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x,选C3、DAB + AC =2父2,且 AB >|AC,点A的轨迹为椭圆在 y轴右方的部分、又 A B、C三点不共线，即yw0,故选D=4、A设中心为(x , y),则另一焦点为(2x-1 , 2y),则原点到两焦点距离和为4得 1 +J(2x1)2 +(2y)2 =4,(xI)2 +y2 =9 又 c<a, 24V(x -1)2 +y2 <2,-.(x-1) 2+y2<4 ，由，得 xw -1 ,选 a29,、，5、仝左准线为9x=- 9 , M到左准线距离为5929d =4-( ) =

42、则M到左焦点的距离55-1 ,1、6、x = (y)22，,，一，2设弦为 AB, A(x1, y1) , B(x2, y2)AB 中点为(x , y),则 y1=2x1 ,y2=2x22, yy 2=2(x 12-x 22)y y1121= 2(x1 + x2)2=2 - 2x, x = 将 x =代入 y=2x 得 y =,轨迹 x1 -x2222、-11方程x (y>)227、y2=x+2(x>2) 设 A(x1, y1), B(x2,y2), AB中点 M(x,y),则y1- 2x1 , y2 =2x2 , y1- y2 - 2(x1 -x2), (y1y2) - 2x1

43、- x2kAB =kMP =y0 , y 2y = 2 ,即 y2=x+2x 2 x 2又弦中点在已知抛物线内P,即y2<2x,即x+2<2x, . x>28、4 a2 =b2 =4,c2 =8,C=2V2,令 x = 2/5 代入方程得 8-y 2=4 .72=4, y=±2,弦长为49、土42 或±1 y=kx+1 代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0，(1-k2)x 2-2kx-2=0221 k2=0 /日 22得 4k2+8(1-k 2)=0 ,0 = 0k= ± J2 1-k 2=0 得 k= ± 110、解：a2

44、=25, b2=9, c2=16设 Fi、F2 为左、右焦点，则 Fi(-4 , 0)F2(4, 0)设 PFi =i,PF2 =2,速2 ”贝U J1 +r2 =2日r12 +r22 -2 r1r2 cos日=(2c)22-得 2lir2(1+cos 0 )=4b 21+cos 0 =4b22rj22b22一 一 ,2.rn的取大值为a,即 1+cos。岂18 252b2.1+cos。的最小值为2a-arccos'贝U当25cos 0 至-0 < 0 < n25,即sin / F1PF2的最大值为1。冗=一时，sin 0取值得最大值 1,22由题意：C、2C、 c成等差数

45、列,c211、设椭圆方程为x7a2y = 1(a b 0) b22a22 .4c=c+c即a =2c , c.a2=2(a2-bj,，a2=2b22椭圆方程为J2b2=1 ,设 A(xi,yi) ， b(x2,y2)x22b22+4=1b22-得”x2 2bxm2b2当k=0 b1. k=1直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3 ,代入椭圆方程即 x2+2y2-2b 2=0 得 x2+2(x+3) 2-2b 2=03x2+12x+18-2b 2=0,AB = xi21-1 = 1 . 1227 12(1812b2) 2=4.3 32解得b2=12,椭圆方程为十24122y- = 1 ,直线l

46、方程为x-y+3=012、证明：设 A(x1, y1), D(x2, y2), AD中点为M(x。，y。)直线l的斜率为k,则2 x12 a2 x22 a2 V1 b2 / b2-得雪30a bB(x1, y1),C(x2, y2), BC中点为 M (x0, y0),1212XV122ab1212x2V2a2 -b2=00-得2x；12 y0,k=0 成立由、知M M '均在直线| '：考数 ab2-k =0上，而M M '又在直线l上，若l过原点，则B> C重合于原点，命题成立若l与x轴垂直，则由对称性知命题若l不过原点且与x轴不垂直，则 M与M '重

47、合AB = CD四、弦长公式法若直线l : y =kx+b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A (x1, y1),B(x2, 丫2)则弦长 AB =，(x1 -x2)2 +(y1 - y2)2=(% -x2)2 kxi b - (kx2 b)2=v1 +k2|x1 -x2; Ji + k2 J(x1 +x2)2 4x1x2 同理：|AB|= . 1+4 |y2 yi I %?(y2 +y1)2 -4v)i k特殊的，在如果直线 AB经过抛物线的焦点，则|AB|=?一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程 y = kx +b代入圆锥曲线|AB|= ,1 k2 |xA -xB | =

48、，1 k2方程中，得到型如 ax2 +bx +c = 0的方程，方程的两根设为xA, xB ,判别式为4,则,若直接用结论，能减少配方、开方等运算过 |a|程。例 求直线x y +1 =0被椭圆x2 +4y2 = 16所截得白线段 AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2例题1:已知直线y =x+1与双曲线C：x2 =1交于A、B两点，求AB的弦长 4解：设 A (x1，y) B(x2, y2)y = x 122由 2得 4x2(x+1)2 4=0 得 3x22x5 = 0x2 -y- =

49、1L 4，+2x1十 x2 =二则有3得，5gL3AB = d1+k2 M(x1 +x2)2-4x1x2 =J21f +=342, 933x2c 1A、B两点，求AB的练习1 :已知椭圆方程为+ y2 = 1与直线方程l : y = x+-相交于22弦长 练习2:设抛物线y2=4x截直线y = 2x + m所得的弦长 AB长为3,5 ,求m的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长解：设 A（Xi，y） B（x2，y2）联立方程得 6x2 4x-3 =0X1 + x2 =则31x1x2 = .2=1 k2 Jx1 x2)2-4x1x2 = . 2. (-2)2 -4 (-；) 322 113解：设 A (x1，y)B(x2,y2)2 -4联立方程：y 一 > 得4x2 +(4