空间向量与立体几何单元测试题

1、一、选择题空间向量与立体几何单元测试题1、若a ,b ,c是空间任意三个向量，九江R，下列关系式中，不成立的是（A a +b =b +a1 a b = 1 a;: b B.6、若直线l的方向向量为a，平面二的法向量为n ,则能使l 的是(-4*a= 1,0,0 ,n= -2,0,0R a= 1,3,5 ,n= 1,0,1AB.a= 0,2,1 ,n= -1,0-1n a= 1,-1,3 ,n= 0,3,1CD.7.空间四边形 OABC中，OB=OCa b c = a b c C./AOB=/AOC =，,则 cos < OA, BC >的值32、给出下列命题d b Aa444 *1

2、44 44a b c c b-a =b c已知a .Lb,则' f；是（）1A.一2、2B.2-1C.2D0A、B、M、N为空间四点，若BA，BM，BN不构成空间的一个基底,则A、B、M、N共面;8、正方体 ABCD-AB1c1D1的棱长为1,E是A1 B1中点，则E到平面ABC1D1的距离是已知a _L b ,则a，b与任何向量不构成空间的一个基底已知Me是空间的一个基底量内以与向量m=ac构成空间另一个基底.-.3.21.3A. 2 B, 2C, 2 D, 3正确命题个数是（9.若向量 a与 b的夹角为 60° "b =4, (a +2b)(a 3b) =72,

3、则 a =()A.B. 2C. 3D. 43、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60?那么a + 3b等于（A.B.厢D. 44、a =1,=2，c=a+b，且cj则向量a与b的夹角为（A. 30B. 60C, 120D. 150M4 45、已知 a =(一3,2,5 ),b 江1*,-1 ),且 a b=2,则 x 的值是(A. 2B.4C. 6D. 1210 .如图，A1B1c1ABC 是直三棱柱，/BCA=90°，点 D1、F1 分别是 A1B1、A1G 的中点，若 BC=CA=CC, 则8口与AF1所成角的余弦值是（）30100J5102151011 .在三棱锥 PABC中

4、，AB± BC, AB= BC= - PA,点O、D分别是 AC PC的中点，2OP,底面ABC,则直线OD与平面ABC所成角的正弦值（）必T,2*14 J0 4,3430A. 3B. 4C. 5D. 612.正三棱柱ABC -A1B1C1的底面边长为3,侧棱AA = 3 J3 , D是CB延长线上一点,2且BD = BC ,则二面角B1 - AD - B的大小（）13、n A.3填空题B. 一62 二D.3已知A（1,2, 1）关于面xOy的对称点为B ,而B关于x轴的对称点为C ,则BC =19、棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为ABiCi ,/BAC=9

5、0, AA_L 平面 ABC, AA=T3, AB = V2, AC=2, AC1 = 1,BDDC14、角为庆8。和4 DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD/ CBA=/ DBC=60;贝U AD与平面BCD所成(I)证明：平面AAD _L平面BCC1B1；15、若直线l的方向向量为（4,2,m）,平面勺法向量为（2,1,-1），且l，o（,则m = .16、已知ABCD为正方形，P为平面 ABCD外一点，PD _L AD, PD=AD=2,二面角P AD C为60°,则P至U AB的距离为三、解答题（口）求二面角 A-CC1 一 B的平面角的余弦值.(D（口）求BF的长;

6、求点C到平面AECF的距离.17、已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为 a的正方形，PA1底面ABCD,E为PC上的点且CE: CP=1: 4,求在线段 AB上是否存在点 F使EF/平面PAD?18、如图，已知点 P在正方体ABCD-ABCD的对角线BD上，/ PDA=60 .（1）求DP与CC所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 AEC1F所截面而得到的，其中AB =4,BC =2,CC1 =3,BE =1.1CE =41a,-a, 4. a a bb ，44 4f 3a 3a b)CE = AE AC = AE = CE

7、 + AC =,，一由14 4 4>设点F的坐标为（x,0,0,） （0w xw a）,EF I x则3a 3a _ b4 ,4 , 4又平面PAD的一个法向量为AB=（a,0,0）依题意,EF_AB x-3a,4a=0= x = 243在线段AB上存在点F满足条件，点F在线段AB的4处.18解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系参考答案选择题DCCCC DDBCA CA填空题13. (0, -4, -2)14. 3015.-216.7解答题17、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=b),则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(

8、0,0,b),则 CP=(-aa，b),E为PC上的点且 CE CP=1: 3,则旅=(1,0,0), CC*= (0,0,1).连结 BD , B'D .在平面BBD'D中，延长 DP交B'D'于H .设 DH =(m, m ,1)(m >0),由已知 < DH ,DAa 60 ,由 DALiDH = DA DH cos< DA,DH >可得 2m = J2m2 +1 .解得 m =,2因 为 0 011由三垂线定理知 BE _LCC1,二/ AEB为二面角A CC1 B的平面角.cos < DH ,CC122过Ci作CiF _L

9、 AC交AC于F点，则 CF= AGAF=1, CF=aa=6 ,所以DH；CC'k45 .即DP与CC '所成的角为45.C1CF =60 .(n)平面 AADD的一个法向量是DC =(0,1,0).在 RtAEC 中，AE = AC sin 60' = 2 3 332因为 cos < DH ,DC >= 2、2、20 1 1 01 ,所以 <DH,DCa60.在 RtzXBAE 中，tanAEB =AE 一36.AEB = arctan, 3可彳# DP与平面AADD所成的角为30, .即二面角 A CC1 B 为 arctan Y6319.解：解

10、法一：(I) 7A1A _L 平面 ABC,BC匚平面ABC ,解法二：(I)如图，建立空间直角坐标系,: A1A1 BC .在 RtAABC 中，AB =72,AC =2,，BC =通,则 A(0,0,0), B(V2,0,0), C(0,2,0), A(0,0,V3), Ci(01 ,V3),6 BD, BD :DC =1: 2,二 BD =，又,3 ABAB* 一 一1. 2,2 BD :DC = 1: 2 ,二 BD = BC .二 D 点坐标为 40.DBAs/XABC,，nadb=/bac= 901即 AD_L BC .又 AApAD =A, BC，平面 A1AD ,BC = (-

11、V2,2,0), AA = (0,0,V3).B BC u平面 BCC1B1 ,二平面 AAD _L平面 BCC1B1 .(n)如图，作AE _LCC交C1C于E点，连接BE,C1A1B1AD(第19题，解法一)I"IBC_AA = 0 , bCLaD = 0 ,二 BC _L AA1 , BC，AD ,又 A Al"! AD = A ,b BC，平面 AAD ,又 BC二平面 BCC1B1 ,，平面 AAD_L 平面 BCC1B1 . C(n) B BA1平面 ACC1Al ,取 m = AB = (J2,0,0)为平面 ACC1A1 的法向量,由已知得AB_L平面ACC

12、1A .设平面BCC1B1的法向量为n = (l, m, n),则BCLn=0,CCtn = 0 .:AE是BE在面ACCA内的射影.j；2l2m =0,-m : J3 n = 0,图，可取m = 1 ,则上 n1 AE = 0,/日由一得n AF -0,0父 x+4M y + 1= 0_2Mx+0M y + 2 = 0'4y + 1 = 0, 2x+ 2 = 0,国当.3 Jcos m, n -衿,22 0 1 0 -33.(2)2 02 02L ：(.5)2 12二叵一 5 15 即一面角 a CC1 - B 为 arccos.5x= 1,1 y = -4又CC1 =(0,0,3)，设CC1与R 的 夹 角 为 a , 则CC1 n347 33cost = =-=r - =. /. C 到平面 AEC1 F 的距离|CG| |m| 311 13316为 d =| CC1 | cos-：334 . 331120.解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0) , B(2,4,0)A(2,0,0), C(0