Banach不动点理论及其应用

1、不动点定理及其应用综述摘要本文主要研究Banach空间的不动点问题。1介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；23介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；4介绍了不动点定理在证明Fredholm积分方程和Volterra积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；5讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用、压缩映射原理压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x和y在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d（x,y）的倍（1）。它的数学定义为：定义设X是度量空间，T是X到X的映射，若存在，1,使得对所有x,yX,有下式成立()d(Tx,Ty

2、)d(x,y)则称T是压缩映射。定理（不动点定理）：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x有且只有唯一解。证明：设是X种任意一点，构造点列',使得Xi TXo,X2TXiT2X0,|,XnTXn 1 TnX0()则Xn为柯西点列。实际上,d ( xm 1 , Xm)d(Txm,Txm1)d (xm , Xm 1)d(TXm1,TXm2)d (xm 1, xm 2 )()|l|md(x1,X0)根据三点不等式，当nm时,d(xm,Xn)d(xm,xm1)d(xm1,xm2)1d(xn1,Xn)1111n1)d(x0,x1)()d(%,x)所以

3、当m,n使得xmx(md(Xm,Xn)时，d(Xm，Xn)m-d(Xo,X1)(n m)10,即Xn为柯西列。由于X完备,),又由三点不等式，有()d(X,TX)d(X,Xm)d(Xm,TX)d(X,Xm)d(Xm1,X)()上面不等式右端在m时趋于0,故d(X,TX)0,即xTx。不动点的唯一性：假设同时存在xX,有xTx成立，则d(x,x)d(Tx,Tx)d(x,x)()由于1,所以必有d(x,x)0,即xxo证毕。定理中的映射T是定义在整个X上的，但实际上有些问题中遇到的映射T只在X的一个子集上有定义或压缩性质。为了适应这种情形的需要，定义X上的闭子集的不动点定理如下。定理设(X,)是完

4、备的。T是XX的映射。若在X的闭球Yx:(x,xo)r上T是压缩的，并且满足条件(Xo，TXo)(1)r,(Ty,Tx)(y,x),x,yY()此处是满足01的常数，则T在Y内有唯一的不动点。证明：Y作为(X,)内的闭集按X的距离成一完备距离空间，倘能证明T(Y)Y,那么T就是YY上的压缩映射，根据不动点定理即可得证。实际上，任取xY,令yTx,则(,y)(x0,Tx)(x0,Tx°)(Tx°,Tx)(1)r(%,x)r,可见yY,证毕。应用压缩映射原理需要注意的几个方面(1)根据证明可知，为了获取不动点x,可以从X中的任意一点出发(2)在T满足d(Tx,Ty)d(x,y)

5、,xy()的条件下，T在X上不一定存在不动点。例：令Txxarctanx,xR,T是从R到R的映射。设x,yR,则TxTyxy(arctanxarctany)()2根据微分中值定理，必定存在(x,y),使得TxTy(xy)2,故1TxTyxy()即d(Tx,Ty)d(x,y),但是当Txx时，方程arctanx万无解，因此，映射T没有不动点。倘若给满足()的算子加上适当的限制，便能保证T有不动点。定理设(X,)完备，映射T:XX满足条件()o若T(X)X是列紧集，则T有唯一的不动点。证明：取的闭包X。它是X内的自列紧集(即紧致性)，而且有T(一)一。在一上定义一个实值函数(x)(x,x)()(

6、x)是一上的连续函数。它在一上达到最小值，即存在x*使(x,Tx)min(x,Tx)x则(x,Tx)0。假若不然，即(x,Tx)0,考虑Tx和T2x,它们都属于。而由()得一*一2*一*、,，一、(Tx,Tx)(x,Tx)min(x,Tx)()x'"得到矛盾，不动点的存在性证得。那么一方面有T的不动点是唯一的。假设有xx使得Txx,Txx(Tx,Tx)(x,x),另一方面由()有(Tx,Tx)(x,x),矛盾，可见xx。证毕。(3)压缩映射原理中，距离空间的完备性不能少。例：设X(0,1具有由R诱导出的距离，定义T如下：Tx=x()2T是压缩映射，但是没有不动点。(4)万程T

7、xx的不动点x在大多数情况下实际上不易求得，因此常用xn作为其近似值。这样就要估计xn与x*的误差。若用xn近似代替x*,由于xnT41,则其误差为n*、d(xn,x)-dgT%)()1这就是误差估计式。二、隐函数存在定理和皮卡定理定理(隐函数存在定理)：设函数f(x,y)在带状域axb,y()中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy(x,y),如果还存在常数m和M满足0mfy(x,y)M,mM()则方程f(x,y)0在区间a,b上必有唯一的连续函数y(x)作为解：f(x,(x)0,xa,b()证明：在完备空间Ca,b上作映射A,使对任意的函数Ca,b,有1.(A)(x)(x)f(x,(x)o按

8、照定理条件，f(x,y)是连续的，故(A)(x)也M连续，即ACa,b0所以A是Ca,b到自身的映射。A是压缩映射。实际上，对于1,2Ca,b,根据微分中值定理，存在01,满足(A2)(x)(Ai)(x)|112(x)-f(x,2(x)1(x)77f(x,1(x)MM2(x)1(x)M_fyx,1(x)(2(x)1(x)|(2(x)1(x)2(x)1(x)|(1m)Mmm由于01,所以令1一，则有01,且MM(A2)(x)(A1)(x)(2(x)1(x)按Ca,b中距离的定义，即知()()因此，A是压缩映射。由不动点定理，存在唯一的Ca,b满足A ，即d(A2,A1)d(2,1)1-(x)(x

9、)-f(x,(x),也就是说f(x,(x)0,axb。证毕。M定理(皮卡定理)：设f(t,x)是矩形D(t,x)|ttoa,xxob()上的二元连续函数，设f(t,x)M,(t,x)D,又f(t,x)在D上满足利普希茨条件，即存在常数K,使对任意的(t,x),(t,v)D,有f(t,x)f(t,v)Kxv()那么方程dxf(t,x)在区间Jto,to上有唯一的满足初值条件x(to)xdt的连续函数解，其中().Tbmina,M,K为了证明本定理，首先有如下结论和定理:结论：Ca,b是完备的度量空间定理完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X上的闭子空间(皮卡定理)证明：设Cto%表

10、示区间J=心上连续函数全体按距离d(x,y)maxx(t)y(t)所成的度量空间，由上面结论，Cto上是完备度量空间，又令C表示Cto,to中满足条件x(t)Xo|M(tJ)()连连续函数全体所成的子空间，不难看出C是闭子空间，由上面定理知，C是完备度量空间。令t(Tx)(t)xof(t,x(t)dt()t0则T是C到C的映射。事实上，因Mb,所以若xC,那么当tt。,to时，(t,x(t)D,又因f(t,x)是D上二元连续函数，所以上式右端积分有意义。又对一切tJ,(Tx)(t)x。:f(t,x(t)dtMtt。m|()to所以，当xC时，TxCo下面证明T是压缩映射，实际上，由条件()，对

11、C中任意两点x和v,有(Tx)(t)(Tv)(t)tf(t,x(t)f(t,v)dttto(Kmaxx(t)v(t)Kd(x,v)toaatb()令K,则01,且d(Tx,Tv)max(Tx)(t)(Tv)(t)ad(x,v)()所以T是C上的压缩映射。由不动点定理，存在唯一的xC,使得Txx,即tx(t)xof(t,x(t)dt()to且x(to)xoo两边对t求导，即得dx(t)f(t,x(t)o这说明x(t)是方程dtdx(t)dtf(t,x(t)满足初值条件x(to) xo的解。另外，设x也是此方程满足初值条件的解，那么tx(t)xtf(t,x(t)dtt0因而xC,且x是T的不动点，

12、由不动点唯一性必有xx,即方程dx(t)dtf(t,x)在区间to,to上有唯一的满足初值条件x(to) x。的连续函数解，证毕。三、利用Banach不动点定理证明区间套定理定理(区间套定理)：若闭区间列an,bn具有如下性质an,bnani,bni,n1,2,3,|(2)“m(bn%)0则存在唯一的，使得an，bn,n1,2,|在数学分析中，可根据单调有界原理证明区间套定理，下面采用不动点定理证明证明：由条件(2),不妨设该区间列中任意两个区间不完全重合，显然闭区间ak,bk按距离d(x,y)xy,x,y同1k1,2,|是完备距离空间。作映射：f(x)by1-ak-L(xak)aki()bk

13、ak于是对任意的xak，bj有f(x)aki,bki同八,从而f(x)是Eh到自身的映射。对于x,xRh,有f(x)f(x)111ak1|xxI()bkak令1(t1ak11),由于ak,bj同山/,于是0bak11,从而2bkakbkak01且bk1ak1,因此bkakf(x)f(x)xx|()所以f是akh到自身的压缩映射。由Banach不动点定理可知，f在图八上存在唯一不动点，即存在kakh,使得f(k)k,k1,2,|(,因aki,bkiEh,k1,2,“故存在anh,n1,2,|假设另存在an,bn,n1,2,HI,则有an,bn,n1,2,|,于是|bnan,n1,2,|()从而l

14、im(bnan)0,n1,2,|,因此,证毕。四、不动点定理解线性代数方程组定理设有线性方程组x=Ax+b,其中Aaj是nn矩阵，x(x1,*2,|卜Xn)T是未知向量，b(6,4,|”,4是已知的n维列向量，若矩阵A满足条件n()maxaj11 in.djj1则方程组x=Ax+b有唯一的解证明：令XFn,对于彳E意的x(x1,x2,|,xn)T,y=(乂,丫2,|卜yn)TX,定义它们的距离为d(x,y)maxxkyk,对于任意的xX，定义映射T:XX为:1kn/Tx=Ax+b。因为d (Tx,T y)max (1 i nnajxjh)n(aj yjh)j 1max1 i naijxjyjm

15、ax1 i nmax1 i nxjy, maxj 1 i naaijj 1aj d (x, y)()故T为压缩映射，由(Fn,d)的完备性知，T存在唯一的不动点x,因此xTxAxb,即方程x=Ax+b存在唯一解。五、积分方程解的存在唯一性定理(第二类Fredholm积分方程的解)设第二类Fredholm线性积分方程x(t) f(t)bK(t,s)x(s)ds a()其中为参数，对充分小的()有()(1)当fCa,b,K(t,s)是定义在atb,asb内的连续函数时,唯一的连续解x(t)Ca,b,而且x(t)是迭代序列Xn(t)f(t)abK(t,s)xni(s)ds,n0,1,2,|的极限，其

16、中x0(t)可取Ca,b中的任意函数；(2)当fL2(a,b),积分核K(t,s)是定义在atb,asb内的可测函数，满足bb2K(t,s)dtds()aa(K(t,s)是定义在atb,asb内的L2可积函数)时，()有唯一的解xL2(a,b)。证明：(1)令T:Ca,bCa,b为b(Tx)(t)f(t)K(t,s)x(s)ds()a由于f(t),K(t,s)分别在a,b和a,ba,b上连续，当xCa,b,TxCa,b,即T是Ca,b到自身的映射，并且算子T的不动点x就是积分方程的解。一般情况下，T不是压缩映射，但当|1/M(ba)时，T为压缩映射，其中MmaxK(t,s)。事实上，对Ca,b

17、中的任意两元素x,y有at,sbd(Tx,Ty)max(Tx)(t)(Ty)(t)at,sbbmaxK(t,s)x(s)y(s)dsat,sbamaxaK(t，s)x(s)y(s)dsat,sbaMmaxx(s)y(s)|(ba)at,sbIM(ba)d(x,y)()可见，当 M(b a)1时，T为压缩映射，由于Ca,b为完备空间，故T存在唯一的不动点x ,因止匕,1/ M (ba)时，积分方程()有唯一的连续解。(2)令T:L2(a,b)L2(a,b)为(Tx)(t)f (t)bK(t,s)x(s)ds a()K(t,s)x(s)dsdtbaK(s,t)2 ds| a|x(s):dsdtK

18、(s,t) 2 dsdtjx(s)2ds()以及T的定义可知，T是由L2(a,b)到自身的映射，取|充分小使得()21/2K(t,s)dsdt1于是d(Tx,Ty)1/2(Tx)(t) (Ty)(t)2dt2K(t,s)(x(s) y(s)ds dt1/2K(s,t) x(s) y(s)d21/2dt2K(s,t) dtds2x(s) y(s) ds1/2()故T为压缩映射，由不动点定理知,T存在唯一的不动点x*L2(a,b),即积分方1/22K(s,t)dtdsd(x,y)d(x,y)程()有唯一的平方可积解。证毕。考虑Volterra积分方程x(t) f(t)tK(t, )x( )d a()R:a t b上连续。其中f(t)Ca,b,K(t,)在三角形域推论设X是完备距离空间，A:XX,如果存在常数(0,1)和正整数n,使得()d(Anx,Any)d(x,y)则A在X中存在唯一不动点。定理(Volterra定理)f(t)Ca,b,R1,则积分方程()有唯一的连续解x(t)Ca,b0证明：记MmaxK(t,)。令(t,s)Rt(Ax)(t)f(t)K(t,)x()d()a则易知A:Ca,bCa,b,且对x,yCa,b,有td(Ax,Ay)mmax|aK(t,)(x()y()d|(ba)Md(x,y)()注意这里(ba)M未必小于1,故A并不一定是压缩映