重点高中数学不等式归纳讲解

1、重点高中数学不等式归纳讲解作者:日期:第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。3-1不等式的最基本性质对称性：如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;传递性：如果x>y,y>z；那么x>z；加法性质；如果x>y,而z为任意实数，那么x+z>y+z；乘法性质：如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(符号法则)3-2不等式的同解原理不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H

2、(x)的定义域所包含，那么不等式F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H(x)G(x)同解；如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。不等式F(x)G(x)>0与不等式F(x)0或F(x)0同解G(x)0G(x)0不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x大于大的或x小于小的F(x)<0的解集为x大于小的

3、或x小于大的3-3重要不等式103-3-1均值不等式1、调和平均数:2、几何平均数:3、算术平均数:4、平方平均数:GnAnQna?1(ala2an ) n(a1 a2 an)n2_2_2、(a1a2. an )n这四种平均数满足Hn <Gn <An <Qna1、a2、anR+,当且仅当a1=a2=an时取3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b,有a2b22ab(当且仅当a=b时取“二”号)（2）对非负实数a,b,有ab2/ab2.2,ab、2.（6）对非负数a,b,有abL厂）ab（7）若a,b,cR,有abO3Vabc（等号仅当abc时成立）2.22（8）对非

4、负数a,b,c,有abcabbcac2-aba2b2（9）对非负数a,b,丁77ab22-ab2123-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，具和有最小值。均值不等式求最值主要方法：1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）3-3-2权方和不等式m 1a?m 1a3m 1 anbmbmbm(A a? a?an)m1(b b2 b3 bn)ma,b,n为正整数。为正数。3-4绝对值不等式a+b|<|a|+|b|ab|a|b|

5、3-5不等式例题解析3-5-1绝对值不等式1、求|x25x5|1的解2、右边的常数变为代数式|x+1|>2x;(2)|x2-2x-6|<3x形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：|f(x)|<g(x)g(x)<f(x)<g(x)|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<g(x)3、两个绝对值不等式解不等式(1)|x1|<|x+a|;(2)Ix-2I+Ix+3|>5.形如|f(x)|<|g(x)|型不等式1)此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|f(

6、x)|<|g(x)|f2(x)g2(x)f(x)g(x)f(x)g(x)<02)所谓零点分段法，是指：若数2,X2,，4分别使含有|xxi|,|xx2|,，|xxn|的代数式中相应绝对值为零，称xi,x2,，尤为相应绝对值的零点，零点xi,x2,，4将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化

7、。例题.不等式|x+3|-|2x-1|<|+1的解集为。解：4x(x-)21|x+3|-|2x-1|=4x2(3x-)x4(x3)4、含参数绝对值不等式解关于x的不等式Mx24mx4m2m3解题原不等式等价于|x2m|m3当m30即m3时，x2mm3或x2m(m3)x3m3或xm3当m30即m3时，|x610:认6当m30即m3时，xR方法归纳：形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(aR)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：当a>0时，|f(x)|<aa<f(x)<a;|f(x)|>af(x)>a或f(x)<一a;当a=0

8、时，|f(x)|<a无解，|f(x)|>af(x)#0当a<0时，|f(x)|<a无解，|f(x)|>af(x)有意义。4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式|x4|+|3*|<2的解集为空集，求a的取值范围。思路此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0,得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|<|a|+|b|,便把问题简化。

9、解题解法一(1)当aq时，不等式的解集是空集。(2)当a>0时，先求不等式|x4|+|3x|<a有解时a的取值范围。令x4=0得x=4,令3x=0得x=3当x>4时，原不等式化为x4+x-3<a,即2x-7<a解不等式组：t4x7-a,/.a>12x7a2当3<x<4时，原不等式化为4x+x3<2得2>1当x<3时，原不等式化为4-x+3-x<agp7-2x<a解不等式x3Zx33,总>172xa22综合可知，当a>1时，原不等式有解，从而当0<aWl时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求a取

10、值范围是a<1解法二由|x4|+|3x|的最小值为1得当a>1时，|x4|十|3x|<a有解从而当a<1时，原不等式解集为空集。解法三：<a>|x4|+|3x|>|x4+3x|=1当a>1时，|x4|+|3x|<a有解从而当a<1时，原不等式解集为空集。方法总结：1) 一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2) fxa有解afxmin；fxa解集为空集f x max。fxmin；这两者互补。fxa恒成立afxa有解afxmin;fxa解集为空集f x max。afxmin;这两者互补。fxa恒成立fxa有解afxmax;fxa解集为空

11、集afxmax;这两者互补。fxa恒成立afxminofxa有解afxmax;fxa解集为空集afxmax;这两者互补。fxa恒成立afxmino6、绝对值三参数不等式问题2已知函数f(x)axbxc(a,b,cR),当x1,1时|f(x)|1,求证:(1)|b|1.若 g(x) bx2ax c(a,b,cR），则当x 1,1时,求证:|g(x)|2思路本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c的值，但应该注29意到：所要求的结论不是b或g（x）的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用f 1、f、f 1来表示a，b,c。因为由已知条件得|f(1)|1,|f(0)|1,|f(1)

12、|1解题证明：（1）由fl,1,abc,f1abcbf12从而有1 1c|b|2f(1)f(1)2(1f(1)lIf(1)I),Q|f(1)l1,lf(1)11,1,|b|2(lf(1)lIf(1)l)1.由f1abc,f1abcb2f1f1,acgf1f1,cf(0),从而a1f1f1f(0)将以上三式代入g(x)bx2axc(a,b,cR),并整理得211|g(x)|f(0)(x21)-f(1)(x1)-f(1)(1x)|2 2211lf(0)(x21)|-|f(1)(x1)|-lf(1)(1x)|2221r1lf(0)lx21|-|f(1)|x1|-lf(1)|1x|222112112|

13、x1|lx1|1xl1x(x1)(1x)2x22222收获1)二次函数的一般式yax2bxc(c0)中有三个参数a,b,c.解2）本题变形技巧性强,题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数同时运用公式|ab|a|b|,|ab|a|b|及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力例题2.已知函数f(x)=&x2,a,bR,且ab,求证|f(a)-f(b)|<|a-b|分析：要证|彳刀杆刀11ab|,考察左边，是否能产生|a-b|证明：|f(a)-f(b)|= |、1 a2. 1 b2 |22|a2_b2|_,1 a2,1 b2|a b| |a b|a|

14、|b|a| |b|a| |b|1a bl 1a bl(其中1 a1_ Va2 |a|,同 理，1 b2 |b|,1-JaJb21|a| |b|回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。止匕外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。2、本题的背景知识与解析几何有关。函数yVlx2是双曲线，y2x21的上支，而|32|(即1ff(b)|),则表示该图象上任xiX2ab意两点连线的斜率的绝对值。(学过有关知识后)，很显然这一斜率的范围是在(-1,1)之间。2.(1)已知不等式|x-3|+|x

15、+1|<a,的解集为空集，求a的取值范围；(2)已知不等式|x-3|+|x+1|<a有解，求a的取值范围。分析：“有解”即“解集非空”，可见(1)(2)两小题的答案(集合)互为补集(全集为R)2x2(x3)当然可以用|x-3|+|x+1|=4(1x3)这种“去绝对值”的方法22x(x1)来解，但我们考虑到“三角形不等式"：|a|-|b|<|ab|<|a|+|b|知|x-3|+|x+1|>|x-3-x-1|=4这样|x-3|+|x+1|<a等价于|x3|x1|a(*)|x3|x1|4若(*)解集为，则aq,若(*)有解，贝Ua>4。解(略)回顾

16、：本题是“绝对值不等式性质定理”(即“三角形不等式”)的一个应用。发展题：(1)已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a的取值范围。(2)已知不等式|x-3|+|x+1|<a的解集非空，求a的取值范围。3.已知f(x)的定义域为0,1,且f(0)=f，如果对于任意不同的xi,x260,1,都有|f(xi)-f(x2)|<|xi-x2|,求证：|f(xi)-f(x2)|<；分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1)，与|f(xi)-f(x2)|<|xi-x2|两个。首先，若|X1-X

17、2|<2,那么必有|f(xi)-f(x2)|<|x1-X2|wg即|f(xi)-f(x2)|<1成立。但若|X1-X2|>1呢？考虑到0W|xi-x2|Wl,则1-|xi-x2|<；,看来要证明的是|f(X1)-f(x2)|<1-|x1-X2|<1成立！证明：不妨设X1<X2,贝U0<X1<X2<1一11(1)当|X1-X2|W时，则有|f(X1)-f(X2)|<|X1-X2|Wg即1.、|f(X1)-f(X2)|<2成立。(2)当|X1-X2|>；时，即X2-X1>2时，:0WX2-X1W1必有1-|X

18、1-X2|<1即1-X2+X1<-22也可写成|1-X2|+|X1|<3(*)另一方面|f(X1)-f(X2)|=|f(1)-f(X2)+f(X1)-f(0)|<|f(1)-f(x2)|+|f(X1)-f(0)|<|1-X2|+|X1-0|则由(*)式知|f(X1)-f(X2)|<：成立综上所述，当xi,X260,1时都有|f(xi)-f(X2)|；成立。已知二次函数f(x)ax2bxc,当|1xF时,有1f(x)1,求证：当|2x2时,有|7f(xL.分析：研究f(x)的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数a,b,c.确

19、定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑f(1),f(1),f(0),这样做的好处有两个：一是a,b,c的表达较为简洁，二是由于1和0正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.要考虑|fx|在区间7,7上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑|fx|在区间端点和顶点处的函数值.证明：由题意知：f(1)abc,f(0)c,f(1)abc,.11.af(1)2f(0),b-(f(1)f(1),cf(0),22r2x2xx2xof(x)axbxcf(1)-f(1)f(0)1x.由I1x11时，有|1f(x),可得f(1)1,f11,f01.f(2)

20、3f1f13f03f1f(1)3f(0)7,f(2)f13f13f0f13f(1)3f(0)7.(1)若2,2,则fx在2,2上单调，故当x2,2时，2af(x)maxmax(f(2),f(2)此时问题获证.(2)若与2,2,则当x2,2时，2af(x)maxmax(f(2),f(2),fb-)2a又ff 0b| f(1) f( 1)2a,c 1 11 24此时问题获证.综上可知：当I2x2|时.有|7f(x)U.评析：因为二次函数f(x)ax2bxca0在区间(，上和区间2a,)上分别单调，所以函数fx在闭区间上的最大值、最小值2a必在区间端点或顶点处取得；函数|f(x)在闭区间上的最大值必

21、在区间端点或顶点处取得.7、绝对值不等式与其它知识的横向联系已知c0.设P:函数ycx在R上单调递减.Q:不等式x|x2c|1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.思路此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.解题:函数ycx

22、在R上单调递减0c1,不等式x|x2c|1的解集为R函数yx|x2c|在R上恒大于1,2x2c,x2c,.x|x2c|2c,x2c,函数yx|x2c|在R上的最小值为2c,不等式x|x2c|1的解集为R2c1,即c2,1右P正确，且Q不正确，则0c-；2若Q正确，且P不正确，则c1;所以c的取值范围为（0,j1,）.收获“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视3-5-2均值不等式2ab.一一1. yxv1x7

23、已知a,b,x,yR(a,b为常数)，一一1,求xy的取xy小值2. 已知x0,y0,且xy1,求J2x112y1的最大值.2 3y sin xsin xx3x13. 求取小值1f(x)xx14. 1设x0,y0,且xy(xy)1,则.2一Axy2、22B.xy2.22C.xy,21D.xy、212已知x>0,y>0,且x2-y-1,求证：xJy2C4,C216一3若ab0,求a2一史一的最小值b(ab)3-5-3分式不等式解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式(组)/八fX,(1) 0fXgX0gX(2)解题方法穿针引线法，又称“数轴穿根法”或“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。(注意：一定要保证X前的系数为正数)例如：将xa3-2xa2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号