重积分的应用

1、对重积分应用的一些想法王烁正阳，PB07210138在第二学期微积分的学习中，一个很重要的变化就是“多元化”，无论是函数的微分，积分以及场论乃至后面的级数，无不体现了多元这一特点，正所谓从1到2是质变，从2到3只是量变。而在学习的这些有关多变量的知识之中，重积分，尤其是它的应用给我留下了很深刻的印象。本文将重点结合一些实例，对重积分应用中曲面的面积做一些补充，着重总结一下重积分在物理学中的应用，最后简单引申一点重积分在生活实际中的应用。目的在于帮助读者尤其是各位同学，加深对重积分的了解，回顾一下所学过的知识，并能在这之中得到一些启发。在我们的学习中，重积分的一个很重要的应用就是曲面面积。在上学

2、期的学习中，我们已经知道了普通积分代表的是平面面积，所以我们不难提出这样的问题：非平面的面积如何计算？也就使人们想要把定积分的元素法推广到二重积分的应用中，并用此方法来解决曲面面积的问题，既若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域da时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)da的形式，其中(x,y)在da,内这个f(x,y)da称为所求量U的元素，记为du.,从而有了这之后用此来表示曲面面积元。对于多重积分表示曲面面积的推导，书上已经写的很详细，这里再提供另一种想法设

3、曲面S的方程为zf(x.y).f(x.y)在区域D上具有连续偏导数.设dA为曲面上点M处的面积元素dA在xOy平面上的投影为小闭区域d。.点M在xOy平面上的投影为点P(x.y).因为点M处的法向量为n=(-fx.-fy.1).所以设曲面S的方程为z=f(x.y).f(x.y)在区域D上具有连续偏导数设dA为曲面上点M处的面积元素dA在xOy平面上的投影为小闭区域d。点M在xOy平面上的投影为点P(x.y),因为点M处的法向量为n=(-fx.-fy.1).所以於价版三1fx略W）仔能游d.提示：因为M处的切平面与xOy面的夹角为（nk）,所以dAcosn，k）Aa.又因为nk=|n|cos（n

4、”）=1,cos（n，k）Tn|_1,所以dA=|n|d（j.同样，对于曲面面积的认识，我们也不应仅停留在课本中那些抽象的图形上，下面举一实例加以说明实例一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道.通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动.若地球半径取为R,问卫星距地面的高度h应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？卜面我们来着重看一下重积分在物理中的应用1质量M平面薄片的质量设该薄片在xOy面上占据平面闭区域D,已知薄片在D内每一点(x,y)的面密度为P=P(x,y),且P(x,y)在D上连续。在闭区域D上任取一直径很小的闭区域do,则薄

5、片中对应于do(d仃也表示其面积)部分的质量可近似地表示为Hx,y)db,这就是质量微元，以其为被积表达式，在区域D上二重积分，得M=JJP(x,y)dcr。(4.6)D特别地，如果平面薄片为均匀的，即P为常数时，上式可简化为M=Pffda=Pb(。为D的面积)。(4.7)D类似地，有空间物体的质量如下设该物体占有空间区域V,体密度函数为P(x,y,z),则质量微元为：dM=P(x,y,z)dv,故M=mP(x,y,z)dv。V这部分内容在书上并没有专门说到，只是老师提过，这里略作总结，并举一例说明例：一物体占有的空间区域C由曲面z=x2+y2,x2+y2=1,z=0围成,密度为P=x2+y2

6、,求此物体的质量。2ccc2二1r二解M=./xy)dv=.;dr句dz0cT0dr0rdz=1。由于书上说的很简单，以下也把重心和转动惯量简单的说一下，以加深理解。2重心坐标设xOy面上有n个质点，分别位于(xi,yiMxz,yzlYxn,yn)处，质量分别为mi,m2,mn。由力学知，该质点系的重心坐标为_My'mixi一i1Mn“mixni 1n“miyiiTn7mii=1其中M=£mi为该质点系的总质量，My和Mx分别为该质点系关于x轴和y轴i1的静力矩。设一平面薄片在xOy面上占据有界闭区域D,已知薄片在D内每一点(x,y)的面密度为P(x,y),且P(x,y)在D

7、上连续。由前面平面薄片质量的讨论可知，对于闭区域D上任一直径很小的闭区域d»，薄片中对应于da(do也表示其面积)部分的质量可近似地表示为dM=P(x,y)da,这部分质量又可近似地看成是集中在点(x,y)处，由此可得对应于dcr的小薄片关于x轴和y轴的静力矩微元My及MydM y =xdM =xP(x, y)dcr,dMx =ydM =yP(x, y)d» ,以它们为被积表达式在区域D上二重积分，可得平面薄片关于x轴和y轴的静力矩My="xP(x,y)d。和Mx="yP(x,y)dcr,DD所以平面薄片的重心坐标为x：(x, y)d。DI I P(x,

8、 y)d。D一 Mx y 二My：(x, y)d。DII ':(x, y)d。D特别地，如果平面薄片为均匀的，即;为常数，上式可简化为1x xd 二A D1和yyd二AD其中A=1d。为平面薄片的面积。D由止匕我们也可以思考一下空间立体也有形心的概念，其计算公式是否也地求得？3转动惯量平面薄片的转动惯量转动惯量是对物体在转动过程中的惯性大小的度量。对于质量为m、且位于平面上(x,y)处的质点，其转动惯量为:2.222、Ix=ym,Iy=xm,I0=(x+y)m；对于质点系:质量m,坐标(x,y。，i=1,2,用，n,则n22、Io =£ (xi +yi )mi ；i 4nn2

9、2Ix=£yimi,Iy=£xrn,i1i4对于平面薄片D,密度函数为P(x,y),相对于x轴的转动惯量微元：dIx=y2P(x,y)d。，从而Ix=HDdIx=JDy2P(x,y)db,同理Iy=口Dx2P(x,y)d。，以及Io=WD(x2+y2)P(x,y)da;完全类似地可得空间物体V的转动惯量。最后，让我们来看一下重积分在现实生活中的应用(飓风的能量有多大)在一个简化的飓风模型中，假定速度只取单纯的圆周方向，其大小为zrv(r,z)=Creha,其中r,z是柱坐标的两个坐标变量，G,h,a为常量。以海平_z*面飓风中心处作为坐标原点，如果大气密度P(z)=P0eh

10、,求运动的全部动能。并问在哪一位置速度具有最大值？解求动能E：1 21212因为E=-mv,dE=v，Am=-v，PdV，2 221 9一E=-v2pdVo2 v因为飓风活动空间很大，在选用柱坐标计算中z由0T",所以其中r 3e a dr0用部分积分法算得为3 48a，长 3 -2rh 3 +°° hr e a dr =e h =一,303最后有卜面计算何处速度最大：zr由于v(r,z)=Creha,所以zr"h-azrzrV1-1-=C(eha+r-)eha)=0。土a由第一式得r=0。显然，当r=0时，v=0,不是最大值(实际上是最小值)z舍去。由第二式解得r=a。止匕时v(