第一章线性系统理论第1章

1、2010-09-25 当 m = n时，将有理分式进行严格真化，有(bn -1 - bn an -1 ) pn -1 + L + (b0 - bn a0 )p n+ an -1 p n -1+ L + a1 p + a0y = bn +u则同理可设ì y(n)+ ay(n-1)+ a y(1)+ a y = un-11+0íîy = (b- b a) y(n-1)+ (b - b a ) y + b un-1n n-10n 0n于是可以得到y = (b0 - bn a0 ) x1 + L + (bn -1 - bn an -1 ) xn + bnu则写成向量形式：

2、éêùé0ù01úê ú= êú X + êú uXêúê0úê1ú01ê-aú-a-aë0n-1 ûë û1y = (b0 - bna0 ), (bn-1 - bnan-1 )X + bnu12010-09-25例：给定系统的输入输出描述为y (3) + 16 y ( 2) + 194 y (1) + 640 y = 4u (3) + 160u (1) +

3、 720u解：先得出m=n，则由上面变换公式，可以直接得到系统的状态空间描述为é x1 ùé0010-19401ù é x1 ùé0ùê x ú = êú ê x ú + ê0ú uê2 úêú ê2 úê úêë x3 úûêë-640-16úû êë x3

4、 úûêë1úûé x1 ù-64ê x2 ú + 4uy = -1840-616êúêë x3 úû例：给定系统的输入输出描述为y (3) + 16 y ( 2) + 194 y (1) + 640 y = 4u (3) + 160u (1) + 720u解：得出 m=n，则由上述变换公式，可以直接得到：é x1 ùé0010-19401ù é x1 ùé0

5、9;ê x ú = êú ê x ú + ê0ú uê2 úêú ê2 úê úêë x3 úûêë-640-16úû êë x3 úûêë1úûé x1 ù-64ê x2 ú + 4uy = -1840-616êú&#

6、234;ë x3 úû22010-09-251.4 状态方程的对角线规范形和约当规范形线性定常系统的系统矩阵A 的特征值是表征系统的动力学特征的一个重要参量。（一）对角线规范形给定系统的状态& 方程X = AX + Bu系统的特征值定义为如下特征方程det(I - A) = 0 的根。复习：（1） 一个阶数为 n 的系统，必有且仅有 n 个特征值，可为实数或共轭复数。（2） 称一个非零列向量 vi 为矩阵 A 的属于特征值 li 的特征向量。如果满足 (li I - A)vi = 0 。（3）对于某个特征值li ，其特征向量是不唯一的。（4）当 n 个特征

7、值l1 , 2 ,L, n为两两互异时，则任取的n 个v1 , v2 ,L, vn 必是线性无关的。特征向量32010-09-25结论：某线性系统，设其特征值 l1 , l2 ,L, ln 为两两互异， 并利用它们的特征向量组成变换矩阵 P = v1 , L , vn ， 那么系统的状态方程在变换X = P -1X 下必可化为如下的对角线规范形：él 1êùúl= êú X + Bu2Xêúúêlën ûB = P-1B证明： 由 X = P -1 X ，可导出X&

8、= P -1 X& = P -1APX + P -1Bu = AX + Bu其中 A = P -1 AP ,P = v1 , L, vn ,可得到： AP = Av1 , L , Avn = 1v1 ,= Avii viL , n vn él1ùél1ùúúln úû êú = P ê= v , vêêëúln úûêêë1n上式两边左乘P -1得，él1ùú

9、úln úûA = P-1AP = êêêë42010-09-25例：给定线性定常系统的状态方程为-1-1ùé2é7ùX = ê00 ú X + ê2ú u-12êêë0ú1 úûê úêë3úû要求化为对角线规范形。解：求出系统的特征值为l1 = 2 , l2 = 1, l3 = -1找到相应的一组特征向量为：é1&

10、#249;é1ùé 0 ùv = ê0ú ,v = ê0ú ,= ê 1 úvê úêë0úûê úêë1úûêúêë-1úû123则可构造出变换矩阵，为-1 11-1ùé11010 ùé1P = ê01 úP-1 = ê01 úê

11、;êë0ú-1úûêêë0ú0 úû52010-09-25再求出：é20100ùé2ùA = P-1AP =³ ê00úB = P-1B = ê5úêêë0ú1úûê úêë2úû于是得到系统的对角线：é x1 ùé20100 ù 

12、3; x1 ùé2ùêxú = ê00 ú êx ú + ê5ú uê2 úêêë0ú ê2 úê úêë x3 úû-1úû êë x3 úûêë2úû说明： 对角规范形中，各个状态变量间实现了完全解耦，即可表成为n 个的状态变量方程； 如果原始系

13、统的系统矩阵 A 具有形式éê01ùúúúA = êê01ê-aú-a-aë0n-1 û162010-09-25且其特征值 l1 , l2 , L , ln 两两不相等，则变换矩阵为éê11ùúúúllP = ê11êêúlln-1n-1ë 1nû 当特征值 1 , 2 , L, ln 中包含复数特征值时，P 、 A及B 都将为复数矩阵，没有实际物理含义。但

14、不影响对系统结构特征的分析。（二）约当规范形若系统的特征值为非互异，则状态方程一般不能变换为对角线规范形，但可变换为准对角线规范形，即约当规范形。 约当规范形给定系统的状态方程，设其特征值为 l1 (1重)， l2 (2重），¼， ll (l重) ， (1 + 2 + L + l ) = n ，则存在可逆变换矩阵 Q ，通过引入变换 X = Q% -1 X ，可使状态方程化为如下的约当规范形：72010-09-25éJ1ùX = Q-1AQX + Q-1Bu = êú X + BuêúêëJl ú

15、;û其中，B% = Q-1 B ，Ji 为 i ´ i 矩阵，它具有以下形式：éJi1ù= êú ,i = 1, 2,J, lêúiêúJiaëi û其中，l 为相异特征值li的个数。称Ji 为相应于重特征值li 的约当块。（共l 个）而Jik 称为相应于特征值li 的约当小块，且具有以下形式：éliê1ùú1 ú= êú ,为r ´ r 矩阵Jêikikikêl ú

16、ëi û其中，k = 1, 2,L, i82010-09-25结论：（1）矩阵A 的特征值为各种重数的重值时，不能通过变换而实现完全解耦，约当规范形只可能达到最简耦合形式。（2）在这种规范形中，每一个状态变量的方程和下一序号的状态变量耦合。 特征值的代数重数和几何重数定义：设 li 为矩阵A 的一个特征值，且有ìlI - A) = (l - l ) b (sl)det(iiiíîbi (li ) ¹ 0则称si 为 li 的代数重数。再设 rank (li I - A) = n - ai ，则称ai 为 li 的几何重数。92010-

17、09-25说明：（1）li 的几何重数 ai， 为其约当小块的个数；（2）li 的代数重数si，则是所有属于 li 的约当小块的阶数ai= å rikk =1s i之和，即定义：称 ai为 (i I - A) 的零空间的维数。(li - A)h = 0- A) 的零空间定义为，使而(i I成立的非零向量h 的集合。亦即 i 为li 的几何重数。说明：只有当所有特征值的几何重数等于其代数重数，即ai = si =1 , i = 1, 2,L, l此时，n维线性系统具有互异特征值，则系统规范形具有对角线规范形的形式。广义特征向量定义：称一个非零向量 vi 是矩阵 A的属于li（ si 重

18、）的 k 级广义ì(l I - A) v = 0k特征向量，当且仅当iií(l I - A)v ¹ 0k -1îii当 k=1 时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。102010-09-25广义特征向量具有一些基本性质：性质1：设vi 是 A 的属于 li 的 k 级广义特征向量，则如下定义的 k 个向量必是线性无关的：ìv(k )vii(k -1)ï(l I - A)vïviiiíïï(l I - A)vk -1(1)vî iii并且称此向量组为长度是k 的广义特征向量链。性

19、质2：矩阵 A 的属于不同特征值的广义特征向量之间必为线性无关。112010-09-251.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵多输入多输出系统(MIMO)：传递函数阵表征了输入输出特性。由状态空间描述，导出系统的传递函数矩阵。u 传递函数阵对于多输入多输出(MIMO)的线性定常系统，设L ,u 2 ,u p输入变量组为：u 1 ,L ,y 1 ,yq输出变量组为：y 2 ,假定，MIMO系统的初始条件为零，y i ( s ) 和 uj ( s ) 分别为 yi 和 uj 的拉斯变换，gij ( s ) 表示第 j 个输入端到第 i 个输出端的传递函数，其中：i = 1 , 2 , L , q

20、;j = 1 , 2 , L ,p则有ì y1(s) = g11(s)u1(s) + g12 (s)u2 ( s) + g1 p ( s)up( s)ï y(s) = g (s)u (s) + g (s)u ( s) + g( s)u ( s)ï22112222 ppíïïî y1(s)u1(s) + gp ( s)up ( s)122010-09-25其向量方程的形式为：é y1 (s) ùé g11 (s)g1 p (s)ù é u1(s) ùY (s) = &

21、#234;ú = êú êúêêë yúêú êúgqp (s)úû êëup (s)úû1 (s)= G(s)U (s)G ( s ) 称为传递函数矩阵，为q ´ p的一个有理分式矩阵。说明：（1） 当 G ( s ) 的元传递函数 gij (s) (其中，i =1,2,L, q ; j =1,2,L, p)除严格真外还包括真有理分式时，称为真有理分式矩阵；（2） 当 g ij ( s ) 均为

22、严格真有理分式时，称为严格真有理分式矩阵；lim G(s) = 零阵，严格真的。s®¥lim G(s) = 非零阵，真的。s®¥（3）当G ( s ) 为真的或严格真的有理分式矩阵时，MIMO系统物理上可实现。132010-09-25MIMO系统状态空间描述为：ì X = AX + Bu ,X (0) = 0í y = CX + Duî传递函数阵为： G ( s ) = C( sI - A )-1 B + D说明：（1）上式中D¹ 0 时，G ( s ) 为真的；D = 0 时，G( s )为严格真且的有，： li

23、m G(s) = Ds®¥（2）G (s) 在理论分析中很重要，但计算不方便。G ( s ) 的实用计算关系式：先计算a (s)=det(sI - A) = sn+an-1sn-1+¼+a1s +a0ìEn-1 = CB和ïE= CAB + aCBn-2n-1ïíïE= CAn-2B + aCAn-3B + a CBï1n-12= CAn-1B + aCAn-2B + a CBïEî 0n-11则1a (s)G(s) =sn-1 + Esn-2 + E s + E + DEn-1n-2

24、10142010-09-25举例：某给定的MIMO系统的状态空间描述为：é20ùé12ù023X = ê00ú X + ê10ú uêêë0y = 1ú1úû2 Xêêë3ú1úû1解：其特征多项式为： (s) = det( sI - A) = ( s - 2)2 ( s - 1) = s3 - 5s2 + 8s - 4计算系数矩阵：é12ù2ê10ú = 8E2 = CB = 141êêë3ú1