研一上课程数理课件第4章

1、第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 到目前为止，我们已经系统地学习了用分离变量法，行波法求解数学物理方程定解问题。本章我们讨论用Green函数法求解拉普拉斯方程边值问题。把拉普拉斯方程第一边值问题的解通过格林函数以积分的形式表示出来。 1 格林公式2 拉普拉斯方程的边值问题和基本解3 调和函数的基本积分公式和性质 4 格林函数 5 格林函数的求解 注1 公式（5）和公式（6）分别称为第一Green格林公式和第二Green格林公式。它们广泛用于偏微分方程以及电磁学、热学和流体力学等诸多领域格林函数的性质（5条）见课本P113 5 格林函数的求解 对于Laplace方程的Dirichlet问题 我们

2、可以利用公式 求得其解，但需要先求出 上的格林函数 对于某些特殊的区域，它的格林函数G(x0,x)可用镜像法求出。下面分别讨论半空间和球形区域上的格林函数。 0,(32),uxuf x 00(, )()( )G x xu xf xdsn 001(, )4x xG x xvr5.1 半空间的格林函数及Dirichlet问题 求解上半空间Z0内的Dirichlet问题 先求出格林函数G(M0，M).为此，在上半空间Z0的点M0(x0，y0，z0）处放置一单位正电荷，在点M0(x0，y0，z0）关于平面Z=0的对称点M1(x0，y0，-z0）处放置一单位负电荷，如图5.1所示。由它们所形成的静电场的

3、电位在平面Z=0上恰好为0，因此上半空间的格林函数为00,0(33)( , ),xxyyzzzuuux yzuf x yx y 010111G(M,M )=()(34)4MMMMrr图5.1 为了求出(33)的解，由公式（32）知，需要计算 。由于在上平面Z0的外法线方向是OZ轴的负向，因此 将（35）带入到（32），得 Gn23202020002320202002320202000021)35(41zyyxxzzzyyxxzzzzyyxxzzzGnGzzz 注1 在（34）当中，M1为M0关于Z=0的对称点。若把平面Z=0看成镜子，则M1为M0的像，所以这种求格林函数的方法称作镜像法。)36

4、()()(),(21),(23202020000000 dxdyzyyxxzyxfzyxu例1 设在均匀的半空间的边界上保持定常温度，在圆K：x2+y21内等于1，而在其外等于0，求在半空间内温度的分布。 解：半空间内温度分布为如下的Dirichlet问题的解 由（36）式有 特别的在OZ轴的正半轴上，有 22220,01,1( , ,0)0,1xxyyzzuuuzxyu x yxyKdxdyzyyxxzzyxu232020200000)()(12),(201021200232020232020200011212), 0 , 0(zzzrrdrdzdxdyzyxzzuK于是，当点（0，0，Z0

5、）沿着OZ轴的正半轴趋于正无穷远时，u （0，0，Z0）0.5.2 球域上的格林函数及Dirichlet问题 考虑如下的Dirichlet问题 我们仍然利用镜像法求球域上的格林函数。为此，在球的内部任取一点M0(x0，y0，z0），连接OM0，并延长至M1，使 点M1称为M0关于球面的反演点，如图5.2所示。在M0放置单位正电荷，在点M1放置单位负电荷，我们要适当的选择q的值，使得这两个电荷产生的电位在球面上相互抵消。设P是球面上任意点，从而有 012*(38)OMOMrrR2222220,(37)( , , )( , , ),xxyyzzuuuxyzRu x y zf x y z xyzR0

6、1144M PM PqrrR0M1MoPR0M1MoM图5.2故 由于 OPM0与 OPM1在点O有公共角，而夹角的相应两边满足(38)，即 ，因此这两个三角形相似，从而有 也就是说我们必须在点M1处放置 个单位负电荷。在球面上的电位刚好为0，这时所形成的电场的电位为 因为v不仅在 内是调和函数，在 上也是一次连续可微，而且在 上满足 即10M PMPrqr01O MO MrRRr100M PMPOMrRqrr0O MRr014OMM MRvrr001144OMOMM MRrrr00111()04M POMM PRrrr所以球域上的格林函数为 为了求得问题（37）的解，我们需要计算 。注意到

7、其中 是OM与OM1的夹角。由 ，得球域上的格林函数 在球面 上 001011(,)()4M MOMM MRG M MrrrGn0220022111112cos112cosM MM Mrrrr rrrrrr0101,M MOMOMrrrrrr20 1r rR0222224000011(,)42cos2cosRG M Mrrr rr rR r rR 代入公式 得问题的解为 或写成球面坐标的形式 2000332222242200002203222001cos(cos )4(2cos )(2cos)14(2cos )r Rr RGGnrrrr rRrRrrr rr rR r rRRrRRrRr 00(,)()()G MMu Mf Mdsn 22003222001()()(40)4(2cos )Rru Mf MdsRRrRr222000030022200( ,)( , , )sin(41)4(2cos )RRru rf Rd dRrRr 其中 ，为点M0的坐标， 为球面 上点的坐标， 是OM0与OP夹角的余弦。因为向量的方向余弦分别为 与 所以 公式（40）或（41）称为球面的柏松公式。000( ,)r ( , , )R cos00000(sincos,sins