固体物理习题解答第二章

1、1第二章习题解答第二章习题解答2.1 原子间相互作用势能可写为原子间相互作用势能可写为nmrBrA) r (u从概念上阐明，从概念上阐明，m、n两个系数中哪一个较大？两个系数中哪一个较大？设设 A、B0。稳定时有。稳定时有0rBnrAmru1n01m0rr0mAnBrmn0要形成稳定的晶体，要形成稳定的晶体，u(r0)必定为必定为u(r) 的极小值，即的极小值，即方法方法120rB) 1n(nrA) 1m(mru2n02m0rr220A) 1m(mB) 1n(nrmn0A) 1m(mB) 1n(nmAnBmn 方法方法2mAnBr mn0又有：又有：0rB) 1n(nrA) 1m(mru2nm

2、2mmrr22m因为因为 A、B0，3A) 1m(mB) 1n(nrmnmrm为两原子的最大距离，必定有为两原子的最大距离，必定有0mrr mAnBA) 1m(mB) 1n(n又因为又因为 A、B0，mn 42.2 对线型离子晶体，在一条直线上交替地载有电对线型离子晶体，在一条直线上交替地载有电荷荷q的的2N个离子，最近邻之间的排斥势能为个离子，最近邻之间的排斥势能为nrb（1）试证明在平衡间距下）试证明在平衡间距下)n11 (r42lnNq2)r (U0020（2）令晶体被压缩，使）令晶体被压缩，使r0 r r0 0(1-(1-) )。求证，在晶。求证，在晶体被压缩单位长度的过程中，（外力）

3、所做的体被压缩单位长度的过程中，（外力）所做的功主项为功主项为2C21其中，其中，002r42lnq) 1n(C歧义歧义5+q-q+q-q+q-q+q-qr02N个离子，长度个离子，长度 L=2Nr0 rb)r1(4qN) rbr4q(N )r (uN221UN21j1jnj1j102N21jnj1j102N21jj1（1） 由式由式(2.2-2)设设rrj1j121234534j解解:6)rBr4q(N br1)1(r4qNUn02N21jN21jnj1nj102其中其中2ln24131211141312111)1(N21jj1N21jnj1bB对一维情况，将参考点取在第一个原子上，则对一维

4、情况，将参考点取在第一个原子上，则 1j=j异号取负，同号取正异号取负，同号取正1)x , 1nx) 1()x1ln( (0n1nn令运用7)rBr2ln24q(NUn02在在 r = r0 处，处，0)rnBr2ln24q(Nru1n02002rr0nr42ln2qB1n002)r1nrr1(42ln2NqUn1n002)n11 (r42lnNq2)r (UE0020b结合能结合能8（2）令晶体被压缩，使）令晶体被压缩，使r0 r0(1-)晶体被压缩，两原子间距离缩小，晶体内能增大。晶体被压缩，两原子间距离缩小，晶体内能增大。2111 )r1nrr1(42ln2Nq) r (U n1n002

5、)1 (1n111r142ln2Nq)1 (r 1nr)1 (r1(42ln2Nq) r (U n002n01n0002)1(rr02n2) 1n(nn1)1 (1及及9222n21nn112) 1n(nn1 n11)1 (1n1112002020020022002)1(rr21nr42lnNq2)r (U21nr42lnNq2)n11 (r42lnNq2)21nn11 (r142ln2Nq) r (U 0200220020)1(rrr42lnq) 1n(2N221nr42lnNq2)r (U) r (UU 0内能增大内能增大10002r42lnq) 1n(C外力对晶体单位长度所做的功：外力对

6、晶体单位长度所做的功：2220020C2121nr42lnq2NrUA 2002r42lnq) 1n(C（可对比量纲）（可对比量纲）外力对每对离子做功：外力对每对离子做功：22002C21r42lnq) 1n(212NUA 11或：或：晶体被压缩，晶体被压缩，r0 r0(1-)。考虑到。考虑到或或 r0 是小量。是小量。)r1nrr1(42ln2Nq) r (U n1n0022002200220002202n01n0300220rr1n1n020220rr2220rr220rrr42lnq) 1n(2N2) 1n(r42lnNq221)r1nr2(42lnNq221)r(rr ) 1n(r24

7、2lnNq221)r ()r1nrnr1(r42ln2Nq21)r (rU21)r (rU21)r (rU) r (U0000=0122.3 有一晶体，平衡时体积为有一晶体，平衡时体积为V0，原子间总的相互作，原子间总的相互作用能为用能为U0。如果原子间相互作用能可写为。如果原子间相互作用能可写为nmrr) r (u请证明该晶体的体弹性模量请证明该晶体的体弹性模量K00V9mnU1K（注：书中符号有误）（注：书中符号有误） )rr(2NUN1jnj1mj1晶体总相互作用能：晶体总相互作用能：设设rrj1j113)rBrA(2N)1r1r(2NUnmN1jnj1nN1jmj1m设平衡时设平衡时

8、r = r0 。由。由2.1题题令令 V= Cr3 。V为晶体总体积，为晶体总体积，r为相邻两原子间距。为相邻两原子间距。VrrUVU rUV)Vr(Vr)rU()VrrU(VVU 222214rU)Vr(VrrUrUVrrVrVrrU2222222平衡时平衡时 r = r0，V=V00)rU(0r0000rr22VV2VVrr22rU)Vr()VU( 由由 V= Cr3， V0= Cr030040222rr22VCr91rC91)Cr3(1)rV(1)Vr(0rB) 1n(nrA) 1m(m2NrU2n02m0rr220152m02m02m0mn02m0rr22rA)mn(m2NA) 1n(

9、mA) 1m(mr12NmAnBB) 1n(nA) 1m(mr12NrB) 1n(nA) 1m(mr12NrU 0由由2.1题题mAnBrmn0（1）又因为又因为Annmr12N)mAnBBA(r12N)rBA(r12N)rBrA(2NUm0m0mn0m0n0m0016Anmnr12NUm00（nm）合并（合并（1）和（）和（2）（2）020r22Urmn)rU(0由杨氏模量定义：由杨氏模量定义：00020000r22r20V220V9mnUUrmnVCr91V)rU()Vr(V)VU(VK000172.4 NaCl晶体体弹性模量为晶体体弹性模量为 2.41010Pa，在，在2109Pa的气压

10、作用下，晶体中两相邻离子间的距离将缩的气压作用下，晶体中两相邻离子间的距离将缩小百分之几？小百分之几？)VP(V1K VPVKKPVV或或设设 V= Cr3KPrr3CrrCr3VV32%7 . 2104 . 23102K3PK3PPKP31rr1090（P0 为一个大气压，为一个大气压，1.01325105Pa）在约在约2万个大气压作用下，晶体内两原子的间距仅仅缩小不到百分之万个大气压作用下，晶体内两原子的间距仅仅缩小不到百分之3。182.5 实验测量如实验测量如LiF晶体的结合能为晶体的结合能为 Eb=-U(r0)=-1017.7 kJ/mol 最近邻距离最近邻距离r0=2.01410-1

11、0m。试计算。试计算LiF的体弹性模量。的体弹性模量。00221br4eZZ)n11 (2NE mol/100177. 1r4eZZ)n11 (2N600221Z1，Z2=1； =1.747（与（与NaCl相同）。相同）。设在设在 1 mol的晶体中，共有的晶体中，共有NA个个Li+和和NA个个F-。总数有。总数有2NA个离子。个离子。mol/100177. 1eZZr4N2n11622100（1）198414. 0)10602. 1 (747. 110014. 21082. 8410022. 6100177. 1)10602. 1 (747. 110014. 21082. 84100177.

12、 1N22n11219101223621910126A30. 6n （2）体弹性模量）体弹性模量KeZZr721n 221400Pa1022. 7)10014. 2(1085. 872) 13 . 6()10602. 1 (747. 1) 1n(r72eZZK1041012219400221202.6 如果如果NaCl结构中离子的电荷增加一倍，晶体的结合结构中离子的电荷增加一倍，晶体的结合能及离子间的平衡距离将发生多大的变化？能及离子间的平衡距离将发生多大的变化？n0221rBr4ezzN21U 0rBnr4ezzN21rU1n0200221r022101n0ezznB4r)n11 (r4ez

13、zN21)r (U00221021当当 z12z1，z22z2 时，时，B不变，不变，r0 r0，u(r0) u(r0)1n022101n0r41ez2z2nB4r01n122100r)41(ez2z2nB4r1nn1n1000022100221000b0b4)4(4rr4)n11 (r4ezzN21)n11 (r4ez2z2N21)r (U)r ( U)r (E)r (E若取若取n=9，距离比为，距离比为0.84；能量比值约为；能量比值约为4.76。22补充题：补充题：两个相距为两个相距为r 的原子的相互作用能通常可写为：的原子的相互作用能通常可写为：8rr) r (u其中其中 ， 为常数。为常数。1）求原子的平衡距离）求原子的平衡距离 r0。2）平衡时排斥势能与吸引势能的比值。）平