固体物理习题解答第五章

1、第五章 习题5.1 已知下列的金属电子密度 n(cm-3)，计算它们的费米能EF和费米球半径。ì (k= (3p2n)1/3í(3= ïfï(3îì （ïï (1h2k2= ï E0= f 2míïfï(1.ïîLiNiCun (×1022 cm-3)4.72.658.45kf （×1010 m-1）1.120.921.36EF (eV)4.723.247.02h25.2 限制在边长为L的正方形中的N个电子，单电子能量为E =(k+ k

2、y )22x2m求：（1）能量E E+dE中的状态数和态密度g(E) 。（2）0K时的费米能E 0。fky设面积为 S = L2，总电子数为N二维自由电子气能态密度g(E)g(E) = 2 dwkEdEk+dkkxh2h2E =(k2 + k2 ) =k2xy2m2mE+dELLdw = ()2 DS= ()2 2pkdk状态数k2p2p= ( L )2 2p2mE2m 1 E-1/ 2dE = ( L )2 2p( m )dE2p2ph2h2h22态密度dwS2mg(E) = 2=()dE2ph2为常数在 T = 0 时E0E0¥S2mS2mffòòò

3、 2pN =f (E)g(E)dE =g(E)dE =dE =E0f2ph2h2000h2h2h2NEf = 2p 2m=(2m2pn)=022fkS2m其中，n = N =N=2pn面积电子数，或称电子面密度； k为为费米波矢。L2fS设该平面为钠晶体的（100）面。钠晶体的晶格常数 a=0.429nm。an = N =N11(0.429´10-9 )2= 5.43´1018 / m3Na2a2S(100)(1.054´10-34)2= 2p2´ 9.11´10-31´ 5.43´10= 2.08´10(J) =

4、 1.30(eV)-19018Ef2p = 6.16´10-25 (mkg/s)p= hk= h2pn = h费米动量：ffa面积有n个电子的二维电子气的化学势 m 。5.3 计算¥¥2m ¥S2mS1N = ò f (E)g(E)dE =ò f (E) 2pò e(E-m)/ k BTdE =2p+1 dE =h2h2000¥ò¥ò-m/ k BTexS2mdxS2m=2pkBT 1+ ex = 2p) =kBTd(ln1+ exh2h2-m / k BTS2m kT ln(1+ e

5、m/ kBT )=B2ph2n = Nh21m/ k BT2pn= ln(1+ e 2m k T)其中SBpnh2m = kBTln(eB-1)mk T令 x = E - mkBT(6p2 )1/ 3k=05.4 一个金属中的自由电子气体在温度为0K时能级被填充到，其中 a3 为每个原子所占据的体积，试求：Fa（1）计算每个原子的价电子数目。n = N = 晶体内总价电子数 = 原胞数N ´ 原胞内原子数N'´每个原子的价电子数N" =原胞数N ´ 每个原胞的体积vCV晶体总体积N' N"= N" = N"=

6、每个原胞内的原子数N' ´ 原子体积va3v00(6p2 )1/ 3N2N"Qkf = (3p n)021/ 3n =Va3=a3aN"= 2即原子有2个价电子（2）导出自由电子气在温度为0K时的费米能。(36p4 )1/3h2h2Ef =2m002(k )fa22m5.5 已知电子浓度为n，用自由电子模型，= (3p2n)1/3k0见讲义P 152，式5.1.12。(1)证明k空间费米球的半径为f(2)证明当n/na = 1.36时，费米球和面心立方晶格的第一布里渊区边界相切，na为原子密度。1.732 pa见讲义P158面心立方晶格的布里渊区的边界为k

7、= (3p2n)1/3 = 1.732 p令fan = 5.44a34=n设原子密度为n ，对面心立方：aa3an= 1.36na（每个原子的平均价电子数）（3）对CuZn合金，求费米球与布里渊区边界相切时，Zn与Cu的原子数之比。pa布里渊区的边界为： 1.732方法1： 设锌原子取代了铜原子位置，并保持晶体总原子数N、总体积V不变。N = NZn + NCupa12= (3p2n)1/3 = ()p1/ 3k对于纯铜：fcu= (3p2n')1/3 = 1.732 p =a3 pak'按题意，对于ZnCu合金：fZnCu3 pk'fZnCu =apa12kfCu1/

8、 3( p )Cu有一个价电子，Zn有2个价电子。合金中有NZn个Zn原子，NCu个Cu原子。总原子数：N=NZn+ NCu总电子数为:2 NZn+ NCu2NZn + NCu= (3p2n')1/32NZn + NCuk'fZnCun'V N= () n= ()= ()=1/ 31/ 31/ 3(3p2n)1/3N+ NkfCuZnCuV2 NZn3 p2 NZn+1+1NCu=a= p3 = 1.3603 4NCu= ()1/ 3paNZn12NZn+11/ 3()+1pNCuNCuNZn= 0.3603 = 0.563Zn与Cu的原子数之比：NCu0.6397方法

9、2： 设Zn取代Cu后，晶体体积不变，晶格常数a不变。设晶胞内Zn锌原子数为NZn、Cu原子数为NCu。锌铜合金的费米波矢为kf、价电子密度为n 由题意：3 papk ' = (3p2n')1/3 =kf ' =3afn' = 晶体内总价电子数 = 晶胞内价电子数 =晶体总体积晶胞体积´ 2 + NCupa3= NZn=3a3（1）+ NCu = 4（2）NZn面心立方性质：2NZn + NCu =3p即N+ N= 4ZnCu晶体内锌原子数 = 晶胞内锌原子数 = NZn= 0.563晶体内铜原子数 晶胞内铜原子数NCu5.6 Cu的费米能EF=7.0

10、eV，试求电子的费米速度vF，在273K时铜的电阻率为1.56×10-8W，求电子的平均自由时间 zF 和平均自由程 l 。2h2k2´ 7 ´1.602´10-1912EEF =mvF2 f2mv= 1.57 ´106 (m / s) FmF9.11´10-3124a34(0.362´10-9 )3n = 8.47 ´1028(m-3)对于铜1ne2ne2Qs = r =tF »tFm*mmt=(s)Frne平均自由程：6-14l = vFzF = 1.57´10 ´ 2.69

11、80;10= 4.22´10-8 (m) = 42.2(nm)由此可见： l >> a » 0.5nml << L和纳米材料？5.7 若金属中电子的碰撞阻力可写成 mv/z，则电子的漂移速度v的方程为m( dv + v) = -qez中，求金属的电导率s。dt-iwte = e0e证明在外电场-iwtv = v0e设代入方程：m(-iw+ 1 )v1= -qe-iw-iw-iwmv0 (-iw)e+ z v0e) = -qe0e00z- qe0- qe0v=e-iwtv =0m(-iw+ 1 )m(-iw+ 1 )zzeq2nzq2nz11-iwt-

12、iwtj = se = -qnv = -=e0e=e 0em(-iw+ 1 )1- iwzm1- iwzmzs = q nz2= q nz1+ iwz21+ iwz1= s(0)虚部表示能量损耗。m1-iwzm1+ (wz)21+ (wz)2补充题1： 将晶体中的电子气看作是理想气体。（1）证明：在绝对温度为零时，其压强p为：（2）估算铜电子气的压强，并与一个标准大气压比较。p = 2 nEpV = 2 NE = 2 U或0333其中，n为电子密度，V为晶体体积， EU0为晶体电子基态总能量。对晶体电子气态密度有：为一个电子的平均能量,h233见式（5.1-12）和（5.1-13）E =E=(

13、3p n) 5 2m022 / 3f5¶U¶E¶E035Qp = -= -N= -Nf ¶V¶V¶V¶E0¶¶h2h2=(3p N) =(3p N)-2 / 3=22 / 322 / 3 f ¶V (V)¶V 2m¶V2m= -h2h2= - 22 1(3p N)2 / 3-2 / 3-1(3p n)222 / 3VV3 2m3 V 2m¶E0 = 3h2p = - 32 1= 2 N 3p22 / 30Nf N(3n)Ef¶V553 V 2m3 V 5= 2 N E = 2 nE3 V3pV = 2 NE3或pV = 2 U3或U 为晶体电子基态总能量。0022 N 3p =nE =30fQE(2)由题5.1：3 V 5= 11.23´10-19(J)E0n= 8.45×1022cm-3= 8.4