常微分方程应用题及答案

1、应用题(每题10分)1、设f(x)在(_g,8)上有定义且不恒为零，又f'(x)存在并对任意x,y恒有f(x+y)=f(x)f(y),求f(x)。2、设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(产)内满足以下条件f(x)=g(x),g(x)=f(x),f(0)=0,f(x)g(x)=2ex(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式。3、已知连续函数f(x)满足条件f(x)=j：fjdt+e2x,求f(x)。4、已知函数f(x)在(0,)内可导，f(x)>0,limf(x)=1,且满足x,：him01f(xhx)hf"()1=ex)，

2、求f(x)。5、设函数f(x)在(0,+w)内连续，f(1)=5,且对所有x,tw(0,)，满足条件2xtxtJ1f(u)du=t(f(u)du+x(f(u)du,求f(x)。16、求连续函数f(x),使它满足J。f(tx)dt=f(x)+sinx-x。.xf(t)7、已知可微函数f(t)满足3W一Ldt=f(x)1,试求f(x)o1t3f(t)-t2x18、设有微分方程y'-2y=(x)其中中(x)。试求在(血产)内的连续函0x1数y=y(x)使之在(g,1)和(1,收)内部满足所给方程，且满足条件y(0)=0。-172i-c,、-3、9、设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，一，其

3、上任一点P(x,y)处的法线与y轴的I22)交点为Q,且线段PQ被x轴平分。(1)求曲线y=f(x)的方程；y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直线x轴旋转一周的旋转体体积最小。(2)已知曲线y=sinx在0,n上的弧长为l,试用l表示曲线y=f(x)的弧长s。10、求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕11、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为a,已知|MA|=|OAj,且L过点'-,-i,求L的方程。2212、设曲线L的极坐标方程为r=r(e),M(rQ)为L上任一点，M0(2,0)为L上一

4、定点,若极径OMo,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上Mo,M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。13、设y1=乂和y2=xlnx是二阶齐次线性方程y"+p(x)y+q(x)y0勺两个解，求p(x),q(x)以及该方程的通解。14、设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x)勉的切线在y轴上的截距等于1x,-J。f(t)dt，求f(x)的一般表达式。15、设函数f(x),g(x)满足f'(x)=g(x),g'(x)=2exf(x),且f(0)=0,g(0)=2,求二幽.f(x)0|1x(1x)2dx。16、设函数y=y(x)在(,收)内具有二阶导数

5、，且y'#0,x=x(y)是y=y(x)的反一,工、一a、井口山八，八、十口d2x'，dx"、a、，函数。(1)试将x=x(y)满足的效分方程2十(y+sinx)=0,变换为y=y(x)dy<dy；所满足的微分方程；3(2)求变换后的微分万程满足初始条件y(0)=0,y'(0)=的解。2x17、已知连续函数f(x)满足ff(tx)dt=x4+f(x)f(t)dt，求f(x).UxU1x21x解：设u=tx,则原式化为一Jf(u)du=x+f(x)-一1f(t)dtx0x0x即2dt=x3+xf(x)由f(x)连续知上式右端可导即f(x)可导一，-_1所求

6、函数为对上式两端关于x求导，得一阶线性方程f'(x)-f(x)=-3xx1dxf(x)=ex(-3xe1dx2xdx+c)=cx3x2c为任意常数18、.对于任意简单闭曲线l,恒有22xyf(x2)dx+f(x2)-x4dy=0L其中f(x)在(D有连续的导数，且f(0)=2.求f(x).19、设f(x)满足f'(x)=f(1-x)，求f(x)x20、设中(x)=ex(x-u)邛(u)du淇中或x)为连续函数，求/x)21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。(1)如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？44(2)如在3小时的时候，有细菌数10个

7、，在5小时的时候有4x10个，那么在开始时有多少个细菌？应用题答案1、解：首先从导数定义出发，证明f(x)处处可微，并求出f(x)与f'(x)满足的关系，最后定出f(x)。由于f(x)不恒为零，设f(%+0)00,因而f(x)=f(x+0)=f(0x)f(0)f(0)=1又由f'(0)存在，对任意x有f'(x)=叫f(xlx)-f(x)lxf(x)f(：x)-f(x)二x:limf(x)fGx)7一0xf(x)f(0)df由此可见f(x)处处可微且满足f'(x)=f(x)f'(0)即=f'(0)dxf解得f(x)=cef'(0)x又由“0

8、卜1所以f(x)=ef，(0)x2、解：(1)F(x)=f'(x)g(x)+f(x)g(x)=g2(x)+f2(x)=f(x)g(x)2-2f(x)g(x)=(2e2)2-2F(x)于是F(x)满足一阶线性微分方程y'+2y=4e2x(2)按一阶线性微分方程的通解公式，F(x)=e1即'j4e2x£的)*+C)=e,x4e4xdx+C)=e2x十Ce“x由F(0)=f(0)g(0)=0得C=1,曰l/2x2x于F(x)=e-e.3、解：方程两端同时对x求导，得到f'(x)=3f(x)+2e2x由题设知道f(0>0e°=。1一入0y-3y

9、-2e2x故令f(x)=y即得yM与=13dxe.22x_3dx3xc.cB3xc2xy=eL|Ci2eedx二e|C12edx=Ce-2e由yx=1得到c=3是f(x)=3e3x-2e2x.4、解：设y=f(x+hx)f(x)/lny=1因为阿nyim0h1nf(xhx)故眄0由已知条件得f(xhx)f(x)xlnf(x)ef(x)1、h1ex，,f仅hx)ln.f(x)xlnf(x-hx)-lnf(x)xlnx(')ehx=xlnf(x)',一.1因此xlnf(x)'=一,即lnx1f(x)2.x1解之得f(x)=Ce%。5、解:由limf(x)=1,得XJ,二=1

10、。由题意可知，等式的每一项都是x的可导函数，于是等式两边对tx求导，得5ttf=t+J1f(u)du,(2)tf(xt)=tf(x)f(u)du5在(1)式中令x=1,由f(1)=一,得2f(t)是(0,+s)内的可导函数，(2)式两边对t求导，得f(t)tf吟f(t)f'(t)o2t上式两边求积分，得5f(t)=TntC2f(1)=是f(t)=a(ln1)26、解:令u=tx,du=xdt,原方程变为1x；0f(u)du两边求导数，得到f(x)=f(x)xf(勾2xsinxxcoxf'(x)=-2sinx-xcosx积分得f(x)=2cosx-xdsinx=2cosx-xsi

11、nxcosxC=cosx一xsinxC.7、解：首先从题设可求得f(1)=1,方程两边求导得3f(x)=f'(x).x3f(x)x记y=f(x)y'=Fy一考虑x3yxx=x(y),方程可化为伯努利方程dx13-x=xdyyxL1令u=x?du-2x,dxdu21一udyy变量还原得-2dyTC+J-22dye"dy。-常-3y或者f2(x)23f3(x)=C.x3又因为f(1)=1,代入上式可得C=53-2_f(x).235f(x)=1.x338、解:当x<1时，y'2y=22dx_2dxy=eC12ey(0)x1=0代入得C1=1时y'_2y

12、=0,2xdx=e所以I2exdx=C1e2x-1x：1y=ex-1(x：二1)通解为y=c?edx_2x=C2e处y(x)是连续的(x1)limC2e2x=C2e2=lim(e2-1)=e-1.x：10x1-0所以22C?e-e-1是若补充函数值C2=1-e2.x+=e2-1，则得到(-00,00)上连续函数是所求的函数e2x-1y(X)2、2x(1-e)e是所求的函数。9、解：(1)曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为丫-y1.-(X-x)，其y(X,Y)为法线上任意一点的坐标，令X=0,则x丫=y+一,y1一一一.一一、，-X1,X-故Q点坐标为0,y+。由题设知y+y+=0,

13、即2ydy+xdx=0。'、.一yJy'积分得X2+2y2=C(C为任意常数)。,122由y2=一知C=1,故曲线y=f(x)的万程为x+2y=1(x20,y±0)。f2(2)曲线y=sinx在0,冗上的弧长为H1=22、.1cos2xdx.-0曲线y=f(x)的参数方程为x=cos,y=sinJ2ji0£UM,2故其弧长为s=J2Jsin28+1cos26d日0222Jsin2dl-0(令日号-1)2，一cost(-dt)1=2Ho2Jcos2di10、解：原方程可以改写为一阶线性方程2dx应用其通解公式得y=exdy2d1y=-1,dxx-dx-exdx

14、'xC-dx=Cx2x由y=Cx2+x,x=1,x=2,y=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体,一,2n0,31。157、体积为V(C)=J兀(x+Cx2)2dx=nlC2+C+'1(523)由V'(C)=n162C+*=0解得驻点C0=q"由于V''(C)=%n>0,故52124575752Co=-是唯一的极小值点，因而也是最小值点，于是得所求曲线为y=x-x2。12412411、解：设点M的坐标为由切线MA的方程为Y-y=y'(X-x)令X=0,则Y=y-xy',故点A的坐标为(0y-xy')由|MA|=

15、|OA,|有|y-xy'|=.(x-0)2(y-yxy')2一一，r19化间后彳导2yy'y=-x。x八2/曰dzz令z=y,得一一=一x。dxxdx(-r1dx)解得z=exJxexdx+C=x(x+C)。IJ即y2=-x2+Cx。由于所求曲线在第一象限内，故y-qCx一x2。再以条件y|31=3i代入得c=3。于是曲线方程为22y=3x-x2(0：x:3),12、解：由已知条件得-r2d9=%r2+r'd6,2020两边对6求导得r2=Jr2+r'2,即r'=±rJr2-1,dr,.从而一f=：±d8。rr2-1一，dr1

16、1.因为fj=-arcsi-n+C，所以arcsin-+C=土日r.r2-1rr冗jA由条件r(0)=2,知C=二，故所求曲线L的方程为rsin二,81=66丁13、解：由.1.一-y；=1,y1=0,y2=lnx+1,y2=一；分别代入方程得到xp(x)xq(x)=0p(x)(lnx1)q(x)xlnx曰1r1(1)M|nx(2)得一p(x)=即p(x)=一xx1.1把p(x)=代入(1)式得q(x)=xx.1.1所以原方程为y-1yJ2y=0xx又由于y/y2=lnx不为常数，必，丫2是齐次方程的基本解组原方程的通解为y=Gx+c2xlnx。14、解：曲线y=f(x)上点(x,f(x)处的

17、切线方程为过令X=0,得截距Y=f(x)xf'(x)。Y-f(R=f'(x)(Xx)由题意，知x10f(t)dt=xf(x)xf'(x),上式对x求导，化简得xf"(x升f'(汨，0即(xf'(x)4O0dx积分得xf'(x>C因此f(x)=Glnx+C2(其中Ci,C2为任意常数)于是有15、解：(解法一)由是f'(x)=g(x)得f"(x)=g'(x)=2ex-f(x),J_xf"(x)+f(x)=2e,<f(0)=0,解之得f(x)=sinx-cosx+ex。f'(0)=2,

18、dx(1x)产rg(x)_f(x):rng(x)(1+x)f(x)0|t1x-(1x)2-0(1x)2二二f(x)一01x二-f'(x)(1x)；f(x)dx0(1x)2(解法二)同解法，得f(x)二_f(二)1x01二-f(0)f(x)=sinx-cosxex；普)dx-普dx(x)d出-S*dxf(-)1二1ex-”0);警01x由此得到代入原微分方程得(2)方程y-y=0设方程(*)的特解为dx1_,dx,16、解：(1)由反函数的求导公式=一得y=1。dyy'dydxd2xc两端关于x求导，得y2+d4(y)2=0dydy2dxd2x=dyytydy2(y)2(y)3(

19、*)y"y=sinx。的通解为Y=C1ex,C2e。y=Acosx+Bsinx,1 1代入方程(*)求信A=0,B=,故y=sinx,2 21从而方程(*)的通斛是y=C1e+C2e-sinxo2,.3由y=°,y得clig-1。故所求值问题的解为x_x1.y=e-esinx。2-,121X.17、解：设u=tx,则原式化为一1f(u)du=x2+f(x)ff(t)dtx0x0x3对上式两端关于x求导，得一阶线性方程一.1一f(x)f(x)-3xxc为任意常数所求函数为即2If(t)dt=x3+xf(x)由f(x)连续知上式右端可导即f(x)可导|ldxJ.dxf(x)=ex(-3xexdxc)=cx-3x18、解：根据积分与路径无关的充要条件有一l?xyf(x)1二一If(x二)-x-1.y二x即2xf(x2)="(：)2x-4x3或，(x)-f(x2)=2x2二x二x设x2=tf9-f(t)=2tdt-2e，c由一阶线性方程的求解公式有f(t)=e'"ii2te'&qu