学年第一学期概率试题B卷

1、忻州师院计算机科学与技术系20062007学年第一学期?概率论与数理统计?期末测试试题B卷测试班级：2006级计本18班测试时间：110分钟一.此题总分值35分,共有5道小题,每道小题7分.1 .掷2颗均匀的骰子,令：A第一颗骰子出现4点B两颗骰子出现的点数稳为7.试求PA,PB,PAB；判断随机事件A与B是否相互独立？2 .设连续型随机变量X的密度函数为cx0x3xfx23x4,20其它求：常数c；概率P2X6.3 .设随机变量X和Y的数学期望分别是2和2,方差分别是1和4,而相关系数为0.5.求EXY及DXY；试用切比雪夫Chebyshev不等式估计概率PXY6.4.在总体XN52,6.3

2、2中随机抽取一个容量为36的样本,求P50.8X53.8.附,标准正态分布N0,1的分布函数x的局部值:x0.190.291.141.091.631.71x0.57530.61410.87290.86210.94840.95645.设总体XN,2,其中且与2都未知,20.现16从总体X中抽取容量n16的样本观测值Xi,x2,Xi6,算出xi8060,i116Xi24060802.试在置信水平1i10.95T,求的置信区间.t0.05151.7531,10.05161.7459,t.3152.131510.025162.1199.二.此题总分值45分,共有5道小题,每道小题9分.6.甲、乙、内三

3、人独立地破译一份密码.甲、乙、丙三人能译出的概111率分别为1、-、-.求密码能被破译的概率.密码已经被破译,534求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率.7 .某学生参加一项测试,他可以决定聘请5名或者7名考官.各位考官独立地对他的成绩做出判断,并且每位考官判断他通过测试的概率均为0.3,如果至少有3位考官判断他通过,他便通过该测试.试问该考生聘请5名还是7名考官,能使得他通过测试的概率较大？8 .设二维随机变量X,Y的联合密度函数为212fx,yx2y1其它.求EX,EY及EXY;.分别求出求X与Y的边缘密度函数；.判断随机变量X与Y是否相关？是否相互独立？9 .某快餐店出售四种

4、快餐套餐,这四种快餐套餐的价格分别为6元、10元、15元和18元.并且这4种快餐套餐售出的概率分别为0.2、0.45、0.25和0.1.假设某天该快餐店售出套餐500份,试用中央极限定理计算：该快餐店这天收入至少为5500元的概率.15元套餐至少售出140份的概率.附,标准正态分布N0,1的分布函数x的局部值：x0.390.481.481.550.65170.68440.93060.9394x10 .设总体XN0,2,X1,X2,Xn是取自该总体中的一个样本.求2的极大似然估计量；求pPX1的极大似然估计量.三.此题总分值20分,共有2道小题,每道小题10分.11 .设随机变量与相互独立,且服

5、从同一分布.的分布律为1Pi-i1,2,3.3又设Xmax,Ymin,.求出二维随机变量X,Y的联合分布律及随机变量X及Y各自的边缘分布律；求EX、EY及EXY.12 .设总体X的数学期望为,方差为20,现从中分别抽取容量为与出的两个独立样本,这两个样本的样本均值分别为元与又2.证实：对于满足ab1的任何常数a及b,YaX1bX2是的无偏估计,并确定常数a及b,使得YaX1bX2的方差到达最小.06-07概率试题B卷一.此题总分值35分,共有5道小题,每道小题7分.1 .掷2颗均匀的骰子,令：A第一颗骰子出现4点B两颗骰子出现的点数和为7.试求PA,PB,PAB;判断随机事件A与B是否相互独立

6、？解：掷2颗骰子,共有6236种情况样本点总数.A事件含有6个样本点,故PA1.366B事件含有6个样本点,故PB1.3661AB事件含有1个样本点,故PAB.436分.、.111由于PAB11PAPB,所以随机事件A与B相互独立.36667分2 .设连续型随机变量X的密度函数为cx0x3xfx2-3x4,20其它求：常数c；概率P2X6.解：1由密度函数的性质fxdx1,得0341fxdxfxdxfxdxfxdxfxdx0340dxcxdx03x_dx0dx2422x4所以,得c即随机变量X的密度函数为4分其它xdxdxxdxdx3-dx26dx60dx42x1222x4152;r7分3.设

7、随机变量X和Y的数学期望分别是方差分别是1和4,而相关系数为0.5.；试用切比雪夫(Chebyshev)不等式估计概率PX分)解：令Z那么有2covX,DY2,DX、DY21、40.53根据切比雪夫不等式,有X,Y4DZ31PXY6PZ6PZEZ6一一.7分636124.在总体XN52,6.32中随机抽取一个容量为36的样本,求P50.8X53.8.附,标准正态分布N0,1的分布函数x的局部值:x0.190.291.141.091.631.710.86210.94840.95640.5753x解：由于总体XN52,0.61410.87296.32,而且样本量n36,所以XN52,36所以,P5

8、0.8X53.8P50.8526.3526.353.8526.3分53.8526.350.8526.31.711.141.711.1410.95640.87290.8293.5.设总体X-N4分70.现16从总体X中抽取容量n16的样本观测值X1,X2,X16,算出Xi8060,i1162xii14060802.试在置信水平10.95T,求的置信区间.已知：t0.05151.7531,t0.05161.7459,t0.025152.131510.025162.1199.解：SXnt由于正态总体N,2中期望与方差2都未知,所以所求置信区间为Sn1,Xtn12n2.由0.05,n16,得一0.02

9、5.查表,得t0025152.13152116由样本观测值,得XXi503.75,16i111615i115162Xii12nx6.2022.4分所以,503.756.2022162.1315500.445,-stn1n2503.756.2022,162.1315507.055,因此所求置信区间为500.445,507.055.7分二.此题总分值45分,共有5道小题,每道小题9分.6.甲、乙、内三人独立地破译一份密码.甲、乙、丙三人能译出的概求密码能被破译的概率.密码已经被破译,求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率.解:设A甲破译出密码B乙破译出密码,C丙破译出密码D密码被破译.那

10、么DABC,因止匕,PDPABC1PABC1PABC423231.4分D1破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人53455D1ABCABCABC,所以PD1PABCABCABCPABCPABCPABCPAPBPCPAPBPC123413421534534534注意到D1D,所求概率为PD1D分PAPBPC11213105153013PD1DPD13013PDPD318597.某学生参加一项测试,他可以决定聘请5名或者7名考官.各位考官独立地对他的成绩做出判断,并且每位考官判断他通过测试的概率均为0.3,如果至少有3位考官判断他通过,他便通过该测试.试问该考生聘请5名还是7名考官,能使得他通过

11、测试的概率较大？解：设A一位考官判断他通过考试,那么PA0.3.B该考生通过测试.由于各位考官独立地对他的成绩做出判断,因此考生聘请n位考官,相当于做一个n重Bernoulli试验.令X表示判断他通过测试的测试人数,那么XBn,0.3,因此PXkC：0.3k0.7nk,k0,1,n.1假设考生聘请5位考官,相当于做一个5重Bernoulli试验.所以,PBPX3PX3PX4PX5C；0.330.72C50.340.71C；0.350.700.16308.4分假设考生聘请7位考官,相当于做一个7重Bernoulli试验.所以,2PBPX31PX31PXkk01C00.300.77C；0.310.

12、76C"0.320.750.3529305.所以聘请7位考官,可以使该考生通过测试的概率较大.9分8 .设二维随机变量X,Y的联合密度函数为fx,y212一xy40x2y1其它.求EX,EY及EXY;.分别求出求X与Y的边缘密度函数;.判断随机变量X与Y是否相关？是否相互独立?解:(1).Exfx,ydxdy2111dxx3ydyx221813x141xdxEXY.当yfx,ydxdy211dx4122xydyx212x1dx71x212.dx-9xyfx,ydxdy,32,dxxydy41x2714x6dx0(3分)1x1时,2112HfXxfx,ydyxydy4x2所以,随机变量

13、X的边缘密度函数为212x81x4212一x81x其它当0y1时,fYxfx,ydx214y2.xydxy73yx72y所以,随机变量X的边缘密度函数为72fYy2y00y1其它6分.由于covX,YEXYEXEY0,所以X与Y不相关.fx,yfXxfYy,所以X与Y不独立.9分6元、10元、9 .某快餐店出售四种快餐套餐,这四种快餐套餐的价格分别为15元和18元.并且这4种快餐套餐售出的概率分别为0.2、0.45、0.25和0.1.假设某天该快餐店售出套餐500份,试用中央极限定理计算：该快餐店这天收入至少为5500元的概率.15元套餐至少售出140份的概率.附,标准正态分布N0,1的分布函

14、数x的局部值:x0.390.481.481.55x0.65170.68440.93060.9394解：设X表示售出一份套餐的收入,那么X的分布律为X6101518P0.20.450.250.1贝UEX60.2100.45150.25180.111.25,_2_2_22_2一EX60.2100.45150.25180.1140.85,DXEX2EX2140.8511.25214.2875.令Xi表示出售的第i套快餐套餐的收入,i1,2,500.那么X1,X2,X500独立同分布,且Xii1,2,500的分布都与X的分布550011.25500.50014.2875相同.那么500PXi5500i

15、1500Xi11.25500500Xi11.255001.4811.481.480.93066分Pi1.50014.2875设Y表示售出的500份套餐中15套餐的份数,那么YB500,0.25.那么Y5000.251405000.25PY140P.5000.250.755000.250.751PYPi114.28750.251.5511.5510.93940.0606.9分5000.250.7510.设总体XN0,2,X1,X2,Xn是取自该总体中的一个样本.求2的极大似然估计量；解：.总体X的密度函数为求pPX1的极大似然估计量.所以似然函数为122eXp2_2L2n2eXp2Xi1Xi1,

16、2,所以,取对数,得lnL21nn2Xi1Xi1,2,所以,InL2Xii12Xii1解方程-1nLd2122Xi0,得2Xi2的极大似然估计量为?2分由于Xi22的极大似然估计量为Xi2(6又函数J2具有单值反函数,因此的极大似然估计量为.？1nxi,ni1又函数-具有单值反函数,因此的极大似然估计量为11nxi,ni1分.此题总分值20分,共有2道小题,每道小题10分.11.设随机变量与相互独立,且服从同一分布.的分布律为i1,2,3.又设Xmax求出二维随机变量X,Y的联合分布律及随机变量X及Y各自的边缘分布律；求EX、EY及E解:由与的取值都是1,2,3,可知Xmax与Ymin的取值也是1,2,1,1,1,0；1,2,1,2,2,2,PX2,Y3P0;PX3,Y1P3,1P1,31111233339PX3,Y2P3,2P2,3P3P2P3,YP3,11112333396分因此二维随机变量X,Y的联合分布律及X的边缘分布律为EXY4.10分12.设总体X的数学期望为,方差为20,现从中分别抽取容量为与出的两个独立样本,这两个样本的样本均值分别为元与女2.证实：对于满足ab1的任何常数a及b,YaXibX?是的无偏估计,并确定常数a及b,使彳YYaXib